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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数学案设计
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数学案设计，共12页。
教材知识探究
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，….
问题 依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？
提示 2x个，3次，8次；由2x＝N可知当N已知时，x的值即为分裂次数.
1.对数的概念
（1）对数的概念
一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作
x=lga N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
(2)常用对数与自然对数
熟记无理数e的大小，在后面估算中经常用到
通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把lg10N记为lg__N，另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把lgeN记为ln__N.
2.对数与指数的关系 易得algaN＝N，lgaab＝b.
根据对数的定义，可以得到对数与指数之间的关系：
当a>0，且a≠1时，ax＝Nx＝lgaN.
3.对数的有关结论 对数的有关结论是解题的重要依据
(1)零和负数没有对数；
(2)1的对数为零，即lga1＝0(a>0且a≠1)；
(3)底数的对数为1，即lgaa＝1(a>0且a≠1)
教材拓展补遗
[微判断]
1.根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以lg(－2)16＝4.(×)
提示 因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以错误.
2.对数式lg32与lg23的意义一样.(×)
提示 lg32表示以3为底2的对数，lg23表示以2为底3的对数，所以错误.
3.对数的运算实质是求幂指数.(√)
[微训练]
1.若lg3(2x－1)＝0，则x＝________.
解析 若lg3(2x－1)＝0，则2x－1＝1，即x＝1.
答案 1
2.若lgx8＝3，则x＝________.
解析 由指对互化知x3＝8，所以x＝2.
答案 2
[微思考]
1.任何一个指数式都可以化为对数式吗？
提示 不是，如(－3)2＝9，不能写成lg(－3)9＝2.
2.在对数的定义中为什么不能取a≤0及a＝1呢？
提示 ①a<0，N取某些值时，lgaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(x)＝2成立，所以lg－eq \f(1,2)2不存在，所以a不能小于0.
②a＝0，N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义lgaN；N＝0时，任意非零实数x，有ax＝N成立，lgaN不确定.
③a＝1，N≠1时，lgaN不存在；N＝1，lga1有无数个值，不能确定.
题型一 对数的定义及其应用
【例1】 (1)在对数式y＝lg(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是________.
(2)将下列指数式、对数式互化. eq \a\vs4\al(指对互化的重要依据ab＝NlgaN＝b)
①54＝625；②lg216＝4；③10－2＝0.01；④lgeq \r(5)125＝6.
(1)解析 由题意可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－x>0，,x－2>0，,x－2≠1，))解得2答案 (2，3)∪(3，4)
(2)解 ①由54＝625，得lg5625＝4.
②由lg216＝4，得24＝16.
③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2.
④由lgeq \r(5)125＝6，得(eq \r(5))6＝125.
规律方法 指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
【训练1】 将下列指数式、对数式互化：
(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(m)＝n；(4)lg 1 000＝3.
解 (1)因为43＝64，所以lg464＝3；
(2)因为ln a＝b，所以eb＝a；
(3)因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(m)＝n，所以lgeq \s\d9(\f(1,2))n＝m；
(4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.
题型二 对数相关结论的应用
【例2】 求下列各式中的x的值. eq \a\vs4\al(利用对数的结论由外层到内层求解)
(1)lg2(lg3x)＝0；
(2)lg5(lg2x)＝1；
(3)lg(eq \r(3)＋1)eq \f(2,\r(3)－1)＝x.
解 (1)因为lg2(lg3x)＝0，所以lg3x＝1，所以x＝3.
(2)因为lg5(lg2x)＝1，所以lg2x＝5，所以x＝25＝32.
(3)eq \f(2,\r(3)－1)＝eq \f(2（\r(3)＋1）,2)＝eq \r(3)＋1，
所以lg(eq \r(3)＋1)eq \f(2,\r(3)－1)＝lg(eq \r(3)＋1)(eq \r(3)＋1)＝1.∴x＝1.
规律方法 求解此类问题时，应根据对数的两个结论lga1＝0和lgaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算.
【训练2】 求下列各式中的x的值.
(1)lg8[lg7(lg2x)]＝0；
(2)lg2[lg3(lg2x)]＝1.
解 (1)由lg8[lg7(lg2x)]＝0，得lg7(lg2x)＝1，
即lg2x＝7，∴x＝27.
(2)由lg2[lg3(lg2x)]＝1，∴lg3(lg2x)＝2，∴lg2x＝9，∴x＝29.
题型三 利用指数式与对数式的互化求值
【例3】 (1)求下列各式的值.
①lg981＝________.②lg0.41＝________.③ln e2＝________.
(2)求下列各式中x的值. eq \a\vs4\al(注意指对互化关系式在解题中的应用)
①lg64x＝－eq \f(2,3)；
②lgx8＝6；
③lg 100＝x；④－ln e2＝x.
(1)解析 ①设lg981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即lg981＝2；②设lg0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即lg0.41＝0；③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2.
答案 ①2 ②0 ③2
(2)解 ①由lg64x＝－eq \f(2,3)得x＝64－eq \f(2,3)＝43×(－eq \f(2,3))＝4－2＝eq \f(1,16)；
②由lgx8＝6，得x6＝8，又x>0，即x＝8eq \s\up6(\f(1,6))＝23×eq \f(1,6)＝eq \r(2)；
③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2；
④由－ln e2＝x，得ln e2＝－x，所以e－x＝e2，－x＝2，x＝－2.
规律方法 对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解.
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.
②利用幂的运算性质和指数的性质计算.
【训练3】 利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x值.
(1)lg2x＝－eq \f(1,2)；(2)lgx25＝2；
(3)lg5x2＝2；(4)2lg3x＝4.
解 (1)由lg2x＝－eq \f(1,2)，得2－eq \f(1,2)＝x，∴x＝eq \f(\r(2),2).
(2)由lgx25＝2，得x2＝25.
∵x>0，且x≠1，∴x＝5.
(3)由lg5x2＝2，得x2＝52，
∴x＝±5.∵52＝25>0，(－5)2＝25>0，
∴x＝5或x＝－5.
(4)由2lg3x＝4＝22，得lg3x＝2，
所以x＝32，即x＝9.
一、素养落地
1.通过学习对数、常用对数、自然对数的概念，提升数学抽象素养.通过运用对数的结论求简单的对数值，提升数学运算素养.
2.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝NlgaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得eq \a\vs4\al(记住这两个式子有利于简化运算)两个常用恒等式：(1)lgaab＝b；
(2)algaN＝N.
3.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
二、素养训练
1.有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以5为底25的对数等于±2；(4)3lg3(－5)＝－5成立.其中正确的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 (1)正确；(2)，(3)，(4)不正确.
答案 B
2.使对数lga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
A.a>eq \f(1,2)且a≠1 B.0C.a>0且a≠1 D.a解析 由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2a＋1>0，,a>0，,a≠1，))解得0答案 B
3.方程lg(2x－3)＝1的解为________.
解析 由lg(2x－3)＝1知2x－3＝10，解得x＝eq \f(13,2).
答案 eq \f(13,2)
4.计算：2lg23＋2lg31－3lg77＋3ln 1＝________.
解析 原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.
答案 0
5.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
(1)2－3＝eq \f(1,8)；(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))eq \s\up12(a)＝b；(3)lg eq \f(1,1 000)＝－3；
(4)ln 10＝x.
解 (1)由2－3＝eq \f(1,8)可得lg2eq \f(1,8)＝－3；
(2)由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))eq \s\up12(a)＝b得lgeq \s\d9(\f(1,7))b＝a；
(3)由lg eq \f(1,1 000)＝－3可得10－3＝eq \f(1,1 000)；
(4)由ln 10＝x可得ex＝10.
基础达标
一、选择题
1.lgab＝1成立的条件是( )
A.a＝b B.a＝b且b>0
C.a>0，a≠1 D.a>0，a＝b≠1
解析 由lgab＝1得a>0，且a＝b≠1.
答案 D
2.有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；
④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是( )
A.①③ B.②④
C.①② D.③④
解析 lg(lg 10)＝lg 1＝0，ln(ln e)＝ln 1＝0，故①②正确；若10＝lg x，则x＝1010，故③错误；若e＝ln x，则x＝ee，故④错误.
答案 C
3.设a＝lg310，b＝lg37，则3a－b的值为( )
A.eq \f(10,7) B.eq \f(7,10)
C.eq \f(10,49) D.eq \f(49,10)
解析 3a－b＝3a÷3b＝3lg310÷3lg37＝10÷7＝eq \f(10,7).
答案 A
4.已知lg3(lg5a)＝lg4(lg5b)＝0，则eq \f(a,b)的值为( )
A.1 B.－1
C.5 D.eq \f(1,5)
解析 由lg3(lg5a)＝0得lg5a＝1，即a＝5，同理b＝5，故eq \f(a,b)＝1.
答案 A
5.对于a>0且a≠1，下列说法正确的是( )
①若M＝N，则lgaM＝lgaN；②若lgaM＝lgaN，则M＝N；③若lgaM2＝lgaN2，则M＝N；④若M＝N，则lgaM2＝lgaN2.
A.①② B.②③④
C.② D.②③
解析 ①中若M，N小于或等于0时，lgaM＝lgaN不成立；②正确；③中M与N也可能互为相反数；④中当M＝N＝0时不正确.
答案 C
二、填空题
6.若lg3(a＋1)＝1，则lga2＋lg2(a－1)＝________.
解析 由lg3(a＋1)＝1得a＋1＝3，即a＝2，所以lga2＋lg2(a－1)＝lg22＋lg21＝1＋0＝1.
答案 1
7.方程3lg2x＝eq \f(1,27)的解是________.
解析 ∵3lg2x＝3－3，∴lg2x＝－3，x＝2－3＝eq \f(1,8).
答案 eq \f(1,8)
8.若正数a，b满足2＋lg2a＝3＋lg3b＝lg6(a＋b)，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝________.
解析 设2＋lg2a＝3＋lg3b＝lg6(a＋b)＝k，则a＝2k－2，b＝3k－3，a＋b＝6k，即4a＝2k，27b＝3k，所以108ab＝6k，∴108ab＝a＋b，∴108＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b).
答案 108
三、解答题
9.将下列指数式、对数式互化.
(1)35＝243；(2)2－5＝eq \f(1,32)；
(3)lgeq \s\d9(\f(1,3))81＝－4；(4)lg2128＝7.
解 (1)lg3243＝5；(2)lg2eq \f(1,32)＝－5；(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－4)＝81；
(4)27＝128.
10.求下列各式中的x的值.
(1)lgx27＝eq \f(3,2)；
(2)lg2x＝－eq \f(2,3)；
(3)lgx(3＋2eq \r(2))＝－2；
(4)lg5(lg2x)＝0；
(5)x＝lg27eq \f(1,9).
解 (1)由lgx27＝eq \f(3,2)，得xeq \s\up6(\f(3,2))＝27，∴x＝27eq \s\up6(\f(2,3))＝32＝9.
(2)由lg2x＝－eq \f(2,3)，得2－eq \f(2,3)＝x，
∴x＝eq \f(1,\r(3,22))＝eq \f(\r(3,2),2).
(3)由lgx(3＋2eq \r(2))＝－2，得3＋2eq \r(2)＝x－2，
即x＝(3＋2eq \r(2))－eq \f(1,2)＝eq \r(2)－1.
(4)由lg5(lg2x)＝0，得lg2x＝1.∴x＝2.
(5)由x＝lg27eq \f(1,9)，得27x＝eq \f(1,9)，
即33x＝3－2，则3x＝－2，
所以x＝－eq \f(2,3).
能力提升
11.(1)若f(10x)＝x，求f(3)的值；
(2)计算23＋lg23＋35－lg39.
解 (1)令t＝10x，则x＝lg t，
∴f(t)＝lg t，即f(x)＝lg x，∴f(3)＝lg 3.
(2)23＋lg23＋35－lg39＝23·2lg23＋eq \f(35,3lg39)
＝23×3＋eq \f(35,9)＝24＋27＝51.
12.若lg2(lgeq \s\d9(\f(1,2))(lg2x))＝lg3(lgeq \s\d9(\f(1,3))(lg3y))＝lg5(lgeq \s\d9(\f(1,5))(lg5z))＝0，试确定x，y，z的大小关系.
解 由lg3(lgeq \s\d9(\f(1,3))(lg3y))＝0，
得lgeq \s\d9(\f(1,3))(lg3y)＝1，lg3y＝eq \f(1,3)，y＝3eq \s\up6(\f(1,3))＝(310)eq \s\up6(\f(1,30)).
由lg2(lgeq \s\d9(\f(1,2))(lg2x))＝0，
得lgeq \s\d9(\f(1,2))(lg2x)＝1，lg2x＝eq \f(1,2)，x＝2eq \s\up6(\f(1,2))＝(215)eq \s\up6(\f(1,30)).
由lg5(lgeq \s\d9(\f(1,5))(lg5z))＝0，
得lgeq \s\d9(\f(1,5))(lg5z)＝1，lg5z＝eq \f(1,5)，z＝5eq \s\up6(\f(1,5))＝(56)eq \s\up6(\f(1,30))，
∵310>215>56，∴y>x>z.
课标要求
素养要求
1.理解对数的概念.
2.知道自然对数和常用对数.
3.通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.
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1.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化.
2.理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养
教材知识探究
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，….
问题 依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？
提示 2x个，3次，8次；由2x＝N可知当N已知时，x的值即为分裂次数.
1.对数的概念
（1）对数的概念
一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作
x=lga N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
(2)常用对数与自然对数
熟记无理数e的大小，在后面估算中经常用到
通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把lg10N记为lg__N，另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把lgeN记为ln__N.
2.对数与指数的关系 易得algaN＝N，lgaab＝b.
根据对数的定义，可以得到对数与指数之间的关系：
当a>0，且a≠1时，ax＝Nx＝lgaN.
3.对数的有关结论 对数的有关结论是解题的重要依据
(1)零和负数没有对数；
(2)1的对数为零，即lga1＝0(a>0且a≠1)；
(3)底数的对数为1，即lgaa＝1(a>0且a≠1)
教材拓展补遗
[微判断]
1.根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以lg(－2)16＝4.(×)
提示 因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以错误.
2.对数式lg32与lg23的意义一样.(×)
提示 lg32表示以3为底2的对数，lg23表示以2为底3的对数，所以错误.
3.对数的运算实质是求幂指数.(√)
[微训练]
1.若lg3(2x－1)＝0，则x＝________.
解析 若lg3(2x－1)＝0，则2x－1＝1，即x＝1.
答案 1
2.若lgx8＝3，则x＝________.
解析 由指对互化知x3＝8，所以x＝2.
答案 2
[微思考]
1.任何一个指数式都可以化为对数式吗？
提示 不是，如(－3)2＝9，不能写成lg(－3)9＝2.
2.在对数的定义中为什么不能取a≤0及a＝1呢？
提示 ①a<0，N取某些值时，lgaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(x)＝2成立，所以lg－eq \f(1,2)2不存在，所以a不能小于0.
②a＝0，N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义lgaN；N＝0时，任意非零实数x，有ax＝N成立，lgaN不确定.
③a＝1，N≠1时，lgaN不存在；N＝1，lga1有无数个值，不能确定.
题型一 对数的定义及其应用
【例1】 (1)在对数式y＝lg(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是________.
(2)将下列指数式、对数式互化. eq \a\vs4\al(指对互化的重要依据ab＝NlgaN＝b)
①54＝625；②lg216＝4；③10－2＝0.01；④lgeq \r(5)125＝6.
(1)解析 由题意可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－x>0，,x－2>0，,x－2≠1，))解得2
(2)解 ①由54＝625，得lg5625＝4.
②由lg216＝4，得24＝16.
③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2.
④由lgeq \r(5)125＝6，得(eq \r(5))6＝125.
规律方法 指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
【训练1】 将下列指数式、对数式互化：
(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(m)＝n；(4)lg 1 000＝3.
解 (1)因为43＝64，所以lg464＝3；
(2)因为ln a＝b，所以eb＝a；
(3)因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(m)＝n，所以lgeq \s\d9(\f(1,2))n＝m；
(4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.
题型二 对数相关结论的应用
【例2】 求下列各式中的x的值. eq \a\vs4\al(利用对数的结论由外层到内层求解)
(1)lg2(lg3x)＝0；
(2)lg5(lg2x)＝1；
(3)lg(eq \r(3)＋1)eq \f(2,\r(3)－1)＝x.
解 (1)因为lg2(lg3x)＝0，所以lg3x＝1，所以x＝3.
(2)因为lg5(lg2x)＝1，所以lg2x＝5，所以x＝25＝32.
(3)eq \f(2,\r(3)－1)＝eq \f(2（\r(3)＋1）,2)＝eq \r(3)＋1，
所以lg(eq \r(3)＋1)eq \f(2,\r(3)－1)＝lg(eq \r(3)＋1)(eq \r(3)＋1)＝1.∴x＝1.
规律方法 求解此类问题时，应根据对数的两个结论lga1＝0和lgaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算.
【训练2】 求下列各式中的x的值.
(1)lg8[lg7(lg2x)]＝0；
(2)lg2[lg3(lg2x)]＝1.
解 (1)由lg8[lg7(lg2x)]＝0，得lg7(lg2x)＝1，
即lg2x＝7，∴x＝27.
(2)由lg2[lg3(lg2x)]＝1，∴lg3(lg2x)＝2，∴lg2x＝9，∴x＝29.
题型三 利用指数式与对数式的互化求值
【例3】 (1)求下列各式的值.
①lg981＝________.②lg0.41＝________.③ln e2＝________.
(2)求下列各式中x的值. eq \a\vs4\al(注意指对互化关系式在解题中的应用)
①lg64x＝－eq \f(2,3)；
②lgx8＝6；
③lg 100＝x；④－ln e2＝x.
(1)解析 ①设lg981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即lg981＝2；②设lg0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即lg0.41＝0；③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2.
答案 ①2 ②0 ③2
(2)解 ①由lg64x＝－eq \f(2,3)得x＝64－eq \f(2,3)＝43×(－eq \f(2,3))＝4－2＝eq \f(1,16)；
②由lgx8＝6，得x6＝8，又x>0，即x＝8eq \s\up6(\f(1,6))＝23×eq \f(1,6)＝eq \r(2)；
③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2；
④由－ln e2＝x，得ln e2＝－x，所以e－x＝e2，－x＝2，x＝－2.
规律方法 对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解.
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.
②利用幂的运算性质和指数的性质计算.
【训练3】 利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x值.
(1)lg2x＝－eq \f(1,2)；(2)lgx25＝2；
(3)lg5x2＝2；(4)2lg3x＝4.
解 (1)由lg2x＝－eq \f(1,2)，得2－eq \f(1,2)＝x，∴x＝eq \f(\r(2),2).
(2)由lgx25＝2，得x2＝25.
∵x>0，且x≠1，∴x＝5.
(3)由lg5x2＝2，得x2＝52，
∴x＝±5.∵52＝25>0，(－5)2＝25>0，
∴x＝5或x＝－5.
(4)由2lg3x＝4＝22，得lg3x＝2，
所以x＝32，即x＝9.
一、素养落地
1.通过学习对数、常用对数、自然对数的概念，提升数学抽象素养.通过运用对数的结论求简单的对数值，提升数学运算素养.
2.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝NlgaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得eq \a\vs4\al(记住这两个式子有利于简化运算)两个常用恒等式：(1)lgaab＝b；
(2)algaN＝N.
3.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
二、素养训练
1.有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以5为底25的对数等于±2；(4)3lg3(－5)＝－5成立.其中正确的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 (1)正确；(2)，(3)，(4)不正确.
答案 B
2.使对数lga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
A.a>eq \f(1,2)且a≠1 B.0
3.方程lg(2x－3)＝1的解为________.
解析 由lg(2x－3)＝1知2x－3＝10，解得x＝eq \f(13,2).
答案 eq \f(13,2)
4.计算：2lg23＋2lg31－3lg77＋3ln 1＝________.
解析 原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.
答案 0
5.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
(1)2－3＝eq \f(1,8)；(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))eq \s\up12(a)＝b；(3)lg eq \f(1,1 000)＝－3；
(4)ln 10＝x.
解 (1)由2－3＝eq \f(1,8)可得lg2eq \f(1,8)＝－3；
(2)由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))eq \s\up12(a)＝b得lgeq \s\d9(\f(1,7))b＝a；
(3)由lg eq \f(1,1 000)＝－3可得10－3＝eq \f(1,1 000)；
(4)由ln 10＝x可得ex＝10.
基础达标
一、选择题
1.lgab＝1成立的条件是( )
A.a＝b B.a＝b且b>0
C.a>0，a≠1 D.a>0，a＝b≠1
解析 由lgab＝1得a>0，且a＝b≠1.
答案 D
2.有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；
④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是( )
A.①③ B.②④
C.①② D.③④
解析 lg(lg 10)＝lg 1＝0，ln(ln e)＝ln 1＝0，故①②正确；若10＝lg x，则x＝1010，故③错误；若e＝ln x，则x＝ee，故④错误.
答案 C
3.设a＝lg310，b＝lg37，则3a－b的值为( )
A.eq \f(10,7) B.eq \f(7,10)
C.eq \f(10,49) D.eq \f(49,10)
解析 3a－b＝3a÷3b＝3lg310÷3lg37＝10÷7＝eq \f(10,7).
答案 A
4.已知lg3(lg5a)＝lg4(lg5b)＝0，则eq \f(a,b)的值为( )
A.1 B.－1
C.5 D.eq \f(1,5)
解析 由lg3(lg5a)＝0得lg5a＝1，即a＝5，同理b＝5，故eq \f(a,b)＝1.
答案 A
5.对于a>0且a≠1，下列说法正确的是( )
①若M＝N，则lgaM＝lgaN；②若lgaM＝lgaN，则M＝N；③若lgaM2＝lgaN2，则M＝N；④若M＝N，则lgaM2＝lgaN2.
A.①② B.②③④
C.② D.②③
解析 ①中若M，N小于或等于0时，lgaM＝lgaN不成立；②正确；③中M与N也可能互为相反数；④中当M＝N＝0时不正确.
答案 C
二、填空题
6.若lg3(a＋1)＝1，则lga2＋lg2(a－1)＝________.
解析 由lg3(a＋1)＝1得a＋1＝3，即a＝2，所以lga2＋lg2(a－1)＝lg22＋lg21＝1＋0＝1.
答案 1
7.方程3lg2x＝eq \f(1,27)的解是________.
解析 ∵3lg2x＝3－3，∴lg2x＝－3，x＝2－3＝eq \f(1,8).
答案 eq \f(1,8)
8.若正数a，b满足2＋lg2a＝3＋lg3b＝lg6(a＋b)，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝________.
解析 设2＋lg2a＝3＋lg3b＝lg6(a＋b)＝k，则a＝2k－2，b＝3k－3，a＋b＝6k，即4a＝2k，27b＝3k，所以108ab＝6k，∴108ab＝a＋b，∴108＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b).
答案 108
三、解答题
9.将下列指数式、对数式互化.
(1)35＝243；(2)2－5＝eq \f(1,32)；
(3)lgeq \s\d9(\f(1,3))81＝－4；(4)lg2128＝7.
解 (1)lg3243＝5；(2)lg2eq \f(1,32)＝－5；(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－4)＝81；
(4)27＝128.
10.求下列各式中的x的值.
(1)lgx27＝eq \f(3,2)；
(2)lg2x＝－eq \f(2,3)；
(3)lgx(3＋2eq \r(2))＝－2；
(4)lg5(lg2x)＝0；
(5)x＝lg27eq \f(1,9).
解 (1)由lgx27＝eq \f(3,2)，得xeq \s\up6(\f(3,2))＝27，∴x＝27eq \s\up6(\f(2,3))＝32＝9.
(2)由lg2x＝－eq \f(2,3)，得2－eq \f(2,3)＝x，
∴x＝eq \f(1,\r(3,22))＝eq \f(\r(3,2),2).
(3)由lgx(3＋2eq \r(2))＝－2，得3＋2eq \r(2)＝x－2，
即x＝(3＋2eq \r(2))－eq \f(1,2)＝eq \r(2)－1.
(4)由lg5(lg2x)＝0，得lg2x＝1.∴x＝2.
(5)由x＝lg27eq \f(1,9)，得27x＝eq \f(1,9)，
即33x＝3－2，则3x＝－2，
所以x＝－eq \f(2,3).
能力提升
11.(1)若f(10x)＝x，求f(3)的值；
(2)计算23＋lg23＋35－lg39.
解 (1)令t＝10x，则x＝lg t，
∴f(t)＝lg t，即f(x)＝lg x，∴f(3)＝lg 3.
(2)23＋lg23＋35－lg39＝23·2lg23＋eq \f(35,3lg39)
＝23×3＋eq \f(35,9)＝24＋27＝51.
12.若lg2(lgeq \s\d9(\f(1,2))(lg2x))＝lg3(lgeq \s\d9(\f(1,3))(lg3y))＝lg5(lgeq \s\d9(\f(1,5))(lg5z))＝0，试确定x，y，z的大小关系.
解 由lg3(lgeq \s\d9(\f(1,3))(lg3y))＝0，
得lgeq \s\d9(\f(1,3))(lg3y)＝1，lg3y＝eq \f(1,3)，y＝3eq \s\up6(\f(1,3))＝(310)eq \s\up6(\f(1,30)).
由lg2(lgeq \s\d9(\f(1,2))(lg2x))＝0，
得lgeq \s\d9(\f(1,2))(lg2x)＝1，lg2x＝eq \f(1,2)，x＝2eq \s\up6(\f(1,2))＝(215)eq \s\up6(\f(1,30)).
由lg5(lgeq \s\d9(\f(1,5))(lg5z))＝0，
得lgeq \s\d9(\f(1,5))(lg5z)＝1，lg5z＝eq \f(1,5)，z＝5eq \s\up6(\f(1,5))＝(56)eq \s\up6(\f(1,30))，
∵310>215>56，∴y>x>z.
课标要求
素养要求
1.理解对数的概念.
2.知道自然对数和常用对数.
3.通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.
.
1.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化.
2.理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养
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