高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第一课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第一课时导学案，共7页。

知识点 周期函数
1．周期函数的概念
[研读]并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一；如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．
2．最小正周期的概念
3．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
eq \a\vs4\al(【思辨】) 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)由于sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(π,3))) ＝sin eq \f(π,3) ，则 eq \f(π,3) 是正弦函数y＝sin x 的一个周期．( × )
(2)若T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的周期．( √ )
(3)函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(3,2)x)) 是奇函数．( × )
(4)函数y＝－cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,4)x)) 是偶函数．( × )
【解析】 (1)因为sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋x)) ≠sin x，所以 eq \f(π,3) 不是正弦函数y＝sin x的一个周期．
(3)y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(3,2)x)) ＝cs eq \f(3,2) x，且cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)x)) ＝cs eq \f(3,2) x，
所以是偶函数．
(4)y＝－cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,4)x)) ＝sin eq \f(π,4) x，
且sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)x)) ＝－sin eq \f(π,4) x，
所以是奇函数．
eq \(\s\up7(),\s\d5( 求三角函数的周期))
eq \a\vs4\al(例1) 求下列函数的周期．
(1)f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6))) ； (2)f(x)＝|cs x|.
解：(1)方法一：因为f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6)＋2π)) ＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＋\f(π,6))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2))) ，
即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2))) ＝f(x)，所以f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6))) 的周期为 eq \f(π,2) .
方法二：因为f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6))) ，ω＝4，
所以函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6))) 的周期为T＝ eq \f(2π,4) ＝ eq \f(π,2) .
(2)作出函数f(x)＝|cs x|的图象如图所示，由图可知，函数f(x)＝|cs x|的周期为π.
活学活用
已知函数y＝ eq \f(1,2) sin x＋ eq \f(1,2) |sin x|.
(1)画出该函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其周期．
解：(1)y＝ eq \f(1,2) sin x＋ eq \f(1,2) |sin x|
＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin x，x∈[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z），,0，x∈[2kπ－π，2kπ）（k∈Z），)) 画出函数图象如图所示．
(2)由图象知该函数是周期函数，周期是2π.
[规律方法]
求三角函数周期的方法：
(1)定义法．
(2)公式法：y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cs (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω>0)，则周期T＝ eq \f(2π,ω) .
(3)图象法．
eq \(\s\up7(),\s\d5( 三角函数的奇偶性))
eq \a\vs4\al(例2) 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(5π,2))) ；
(2)f(x)＝x2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x)) .
解：(1)函数f(x)＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(5π,2))) 的定义域为R．
因为f(x)＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(5π,2))) ＝－3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－3x))
＝－3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－3x)) ＝－3cs 3x，
所以f(－x)＝－3cs (－3x)＝－3cs 3x＝f(x)，
所以f(x)＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(5π,2))) 是偶函数．
(2)f(x)＝x2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x)) 的定义域为R．
因为f(x)＝x2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x)) ＝x2sin x，
f(－x)＝－x2sin x＝－f(x).
所以f(x)＝x2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x)) 是奇函数．
活学活用
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝ eq \r(3) cs 2x；
(2)f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)＋\f(3π,2))) ；
(3)f(x)＝x cs x.
解：(1)因为x∈R，f(－x)＝ eq \r(3) cs (－2x)＝ eq \r(3) cs 2x＝f(x)，
所以f(x)＝ eq \r(3) cs 2x是偶函数．
(2)因为x∈R，f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)＋\f(3π,2))) ＝－cs eq \f(3x,4) ，所以f(－x)＝
－cs eq \f(3（－x）,4) ＝－cs eq \f(3x,4) ＝f(x)，所以函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)＋\f(3π,2))) 是偶函数．
(3)因为x∈R，f(－x)＝－x·cs (－x)＝－x·cs x＝－f(x)，
所以f(x)＝x cs x是奇函数．
eq \(\s\up7(),\s\d5( 三角函数的奇偶性与周期性的应用))
eq \a\vs4\al(例3) 定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的周期为π，且当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) 时，f(x)＝sin x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3))) 等于( D )

A．－ eq \f(1,2) B． eq \f(1,2) C．－ eq \f(\r(3),2) D． eq \f(\r(3),2)
【解析】 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－π)) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－π)) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3))) ＝sin eq \f(π,3) ＝ eq \f(\r(3),2) .
活学活用
若函数f(x)是以 eq \f(π,2) 为周期的偶函数，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3))) ＝1，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,6))) ＝__1__．
【解析】 因为函数f(x)是以 eq \f(π,2) 为周期的偶函数，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,6))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－5×\f(π,2)－\f(π,3))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3))) ＝1，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,6))) ＝1.
1．下列函数中，周期为 eq \f(π,2) 的是( D )
A．y＝sin x B．y＝sin 2x
C．y＝cs eq \f(x,2) D．y＝cs 4x
【解析】 y＝cs 4x的周期是 eq \f(π,2) .
2．函数f(x)＝ eq \f(1＋sin x－cs2x,1＋sinx) ( B )
A．是奇函数
B．是非奇非偶函数
C．是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
【解析】 因为1＋sin x≠0，所以sin x≠－1，即x≠－ eq \f(π,2) ＋2kπ，k∈Z，故f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数．
3．若函数y＝sin (x＋φ)是偶函数，则φ可以是( C )

A．0 B．π C． eq \f(π,2) D． eq \f(π,4)
【解析】 当φ＝ eq \f(π,2) 时，y＝sin (x＋φ)＝cs x，此时函数是偶函数．
4．已知函数f(x)＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3))) ，则f(x)的最小正周期是__4π__．
【解析】 由f(x)＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3))) ，得T＝ eq \f(2π,\f(1,2)) ＝4π.
5．函数f(x)＝sin x＋cs 2x的一个周期是__2π__．(答案不唯一)
【解析】 因为f(x＋2π)＝sin (2π＋x)＋cs (2x＋4π)＝sin x＋cs 2x＝f(x)，所以2π是函数的一个周期．
eq \a\vs4\al(温馨说明：课后请完成高效作业40 ) 条件
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个__非零__常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且__f(x＋T)＝f(x)__
结论
函数f(x)叫做__周期函数__，__非零常数T__叫做这个函数的__周期__
条件
周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的__正数__
结论
这个最小__正数__叫做f(x)的最小正周期
函数
y＝sin x
y＝cs x
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
__2π__
__2π__
奇偶性
__奇函数__
__偶函数__