高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质导学案

正弦函数、余弦函数的图象

如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，这就是简谐运动的图象．数学中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．

[问题]　(1)你能画出y＝sin x, x∈[0，2π]的图象吗？

(2)y＝sin x，x∈[0，2π]上的五个关键点的坐标是什么？

知识点　正弦函数、余弦函数的图象

1．“五点法”只是画出y＝sin x和y＝cos x在[0，2π]上的图象；若x∈R，可先作出正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的图象，然后通过不断向左、右平移可得到y＝sin x，x∈R和y＝cos x，x∈R的图象．

2．将y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度得y＝cos x，x∈R的图象，因此y＝sin x，x∈R与y＝cos x，x∈R的图象形状相同，只是在直角坐标系中的位置不同．　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数y＝sin x的图象关于y轴对称．(　　)

(2)函数y＝cos x的图象与y轴只有一个交点．(　　)

(3)将余弦曲线向右平移个单位就得到正弦曲线．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√

2．在“五点法”中，正弦曲线最低点的横坐标与最高点的横坐标的差等于(　　)

A.　　　 B．π　　　　

C.　　　 D．2π

答案：B

3．函数y＝－cos x，x∈[0，2π]的图象与y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于________对称．

答案：x轴

4．用“五点法”作函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点是(0，1)，，(π，1)，________，(2π，1)．

答案：

[例1]　(1)下列图象中，是y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是(　　)

(2)下列函数图象相同的是(　　)

A．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(π＋x)

B．f(x)＝sin与g(x)＝sin

C．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(－x)

D．f(x)＝sin(2π＋x)与g(x)＝sin x

[解析]　(1)由y＝sin x在[0，2π]上的图象作关于x轴的对称图形，知y＝－sin x在[0，2π]上的图象为选项D中的图象．故选D.

(2)A项，因为g(x)＝sin(π＋x)＝－sin x，f(x)＝sin x，所以不正确；

B项，因为f(x)＝sin＝－cos x，g(x)＝sin＝cos x，所以不正确；

C项，因为g(x)＝sin(－x)＝－sin x，f(x)＝sin x，所以不正确．故D正确．

[答案]　(1)D　(2)D

解决正、余弦函数图象的注意点

对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．　　　　

[跟踪训练]

已知函数y＝sin x的部分图象如图所示，完成下列各题：

(1)点A的坐标为________，点E的坐标为________；

(2)|BD|＝________，|AE|＝________．

答案：(1)(－2π，0)　　(2)2π　

[例2]　(链接教科书第199页例1)用“五点法”作出下列函数的简图：

(1)y＝sin x－1，x∈[0，2π]；

(2)y＝2＋cos x，x∈[0，2π]．

[解]　(1)按五个关键点列表：

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．

(2)按五个关键点列表：

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．

作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤

[跟踪训练]

用“五点法”画出函数y＝2sin x在区间[0，2π]上的图象．

解：按五个关键点列表如下：

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．

角度一　解有关三角不等式

[例3]　利用正弦曲线，求满足<sin x≤的x的集合．

[解]　首先作出y＝sin x在[0，2π]上的图象．如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和；

作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和.

观察图象可知，在[0，2π]上，当<x≤，或≤x<时，不等式<sin x≤ 成立．

所以<sin x≤的解集为.

用三角函数图象解三角不等式的方法

(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；

(2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；

(3)写出不等式的解集．　　　　

角度二　求有关三角函数的定义域

[例4]　函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为________．

[解析]　要使函数有意义，则必有2sin x＋1>0，即sin x>－.画出y＝sin x，x∈的草图，如图所示．

当－<x<时，不等式sin x>－成立，所以sin x>－的解集为.

可知函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为.

[答案]　

求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式(组)，这时可利用基本三角函数的图象直观地求得解集．　　　　

[跟踪训练]

1．在[0，2π]内，求不等式sin x<－的解集．

解：画出y＝sin x，x∈[0，2π]的草图如下．

因为sin ＝，所以sin＝－，sin＝－.即在[0，2π]内，满足sin x＝－的x＝或.可知不等式sin x<－在[0，2π]内的解集是.

2．求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝ ；

(2)f(x)＝lg cos x＋.

解：(1)要使函数有定义，需满足2cos2x＋sin x－1≥0，

即2sin2x－sin x－1≤0，

解得－≤sin x≤1，由正弦函数的图象(图略)，可得.

(2)由题意，得x满足不等式组

即作出y＝cos x的图象，如图所示．

结合图象可得：

x∈∪∪.

1．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是(　　)

A．0，，π，π，2π　　　　 B．0，，，π，π

C．0，π，2π，3π，4π  D．0，，，，

解析：选B　由五点作图法，令2x＝0，，π，π，2π，解得x＝0，，，π，π.

2．函数y＝－cos x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为(　　)

A.  B．(π，1)

C．(0，1)  D．(2π，1)

解析：选B　用五点作图法作出函数y＝－cos x(x>0)的一个周期的图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π，1)．

3．函数y＝2－sin x，x∈[0，2π]的简图是(　　)

解析：选A　列表：

观察各图象发现A项符合．

4．已知函数f(x)＝3＋2cos x的图象经过点，则b＝________．

解析：b＝f＝3＋2cos＝4.

答案：4

5．函数y＝cos x＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点坐标为________．

解析：作出函数y＝cos x＋4，x∈[0，2π]的图象(图略)，容易发现它与直线y＝4的交点坐标为，.

答案：，