高中数学第七章 复数7.3* 复数的三角表示课时作业

这是一份高中数学第七章 复数7.3* 复数的三角表示课时作业，共34页。试卷主要包含了、复数三角形式的乘、除运算等内容，欢迎下载使用。

第6讲复数的三角表示 (核心考点讲与练)

一 、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角主值

一般地，如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝，
根据任意角余弦、正弦的定义可知
cos θ＝，sin θ＝.
因此a＝rcos θ，b＝rsin θ，如图所示，从而z＝a＋bi＝(rcos θ)＋(rsin θ)i＝r(cos θ＋isin θ)，
上式的右边称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的辐角．
显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z
二 、复数三角形式的乘、除运算
若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则
(1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)×r2(cos θ2＋isin θ2)
＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
(2)＝ [cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
(3)[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn[cos(nθ)＋isin(nθ)].

考点一：复数的三角表示
例1．（2021·全国·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
复数的三角表示为，对比选项得到答案.
【详解】
复数的三角表示为：，其中，B选项满足.
故选：B.
例2．（2021·全国·高一课时练习）已知的三角形式为，则的三角形式是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据三角形式的表达式知，的三角形式是，根据诱导公式判断选项符合的即可.
【详解】
由题知，的三角形式是，
结合诱导公式知，，
故选：B
例3．（2021·全国·高一课时练习）已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（ ）
A．若i，则i
B．若i，则i
C．若i，i，则i
D．若i，i，则i
【答案】A
【分析】
A. ii，所以该选项正确；
B. i，所以该选项错误；
C. i，所以该选项错误；
D. ii.所以该选项错误.
【详解】
A. 若i，则ii，所以该选项正确；
B. 若i，则i，所以该选项错误；
C. 若i，i，则i，所以该选项错误；
D. i，i，则ii.所以该选项错误.
故选：A
例4．（2021·全国·高一课时练习）已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的辐角，．若复数，其共扼复数为，则下列说法①复数z的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的辐角为；其中正确的命题个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
对于①，的实部为1，虚部为；对于②，直接计算判断即可；对于③，由点的对称关系判断即可；对于④，由辐角的定义求解即可
【详解】
解：对于①，复数的虚部为，所以①错误；
对于②，因为，所以，所以，，所以，所以②错误；
对于③，和在复平面对应的点分别为，两点关于实轴对称，所以③正确；
对于④，，所以复数z的辐角为，所以④正确，
故选：B
例5．（2021·全国·高一课时练习）设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先把复数化为三角形式，再根据题中的条件求出复数，利用复数相等的条件得到和的值，求出.
【详解】
因为，
所以，
设，，，
则，
，
即，，，
故
.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的几何意义及复数的综合运算，较难. 解答时要注意将、化为三角形式然后再计算.
例6．（2021·全国·高一课时练习）是著名的欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系.若，，恒成立且，则表示的复数不可能位于复平面中的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】BCD
【分析】
利用平方关系及二倍角的余弦公式可求得，再根据复数的乘法运算及，可求得的范围，再根据欧拉公式及复数的几何意义即可得出答案.
【详解】
解：




，
由，，
则，，
所以，
又因为恒成立，
所以，所以，
根据，
则，
因为，则，所以，
所以表示的复数位于复平面中的第一象限.
故选：BCD.
例7．（2021·江苏·徐州市第一中学高一期中）已知为复数，且为纯虚数，则（ ）
A． B．的实部为0时，
C．的最大值为3 D．
【答案】ACD
【分析】
首先设，代入运算得到，直接判断AB，利用三角代换，判断CD.
【详解】
设，则，
因为是纯虚数，所以，所以，故A正确；
若的实部为0，则，那么，代入，故B不正确；
设，，，
，，
当时，的最大值是3，故C正确；

，
因为，所以，即，故D正确.
故选：ACD
例8．（2021·全国·高一课时练习）在复平面上，A、B表示复数、对应的点，若，则______．
【答案】
【分析】
利用三角形式的复数除法表示即可得出答案.
【详解】
，，
，
.
故答案为：
例9．（2021·全国·高一课时练习）若复数的辐角主值是，求实数a的值．
【答案】
【分析】
计算得到，故且，解得答案.
【详解】
，故且，解得.
例10．（2021·全国·高一课时练习）在复数范围内，验证，，1，2，…，为方程的n个根，并给出几何解释．
【答案】证明见解析；几何解释： 的个根对应的点，将单位圆等分.
【分析】
结合复数的三角形式以及三角函数值即可验证；然后结合复数的几何意义即可得出几何解释.
【详解】

，，1，2，…，，
所以（，1，2，…，）是方程的n个根，
设,，……，（，1，2，…，），
则是由逆时针方向旋转而得到（模不变，），
故是以原点为圆心的单位圆的个等分点，即的个根对应的点，将单位圆等分.
例11．（2021·全国·高一课时练习）已知
（1）当为何值时，取得最大值，并求此最大值；
（2）若，求（用表示）.注：是辐角主值.
【答案】（1）时，取最大值；（2）当时，；当时，.
【分析】
（1）求出，即得解；
（2）设，，再对分 和两种情况讨论得解.
【详解】
（1）
所以，当时，即时，取最大值.
（2）要求，可以把写成三角形式，但较为困难，故可先求出的正切值.
设，则由于
所以.
因为，所以的实部，的虚部.
当时，，所对应的点位于第四象限.
由于，所以.
当时，，所对应的点位于第一象限（或轴正半轴）.
由于，所以.
例12．（2021·上海师大附中高一期末）已知，且，若．
（1）求复数的三角形式，并且复数的辐角主值；
（2）求．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据复数的三角形式的概念即可直接求出结果；
（2）根据复数相等的条件求出，然后结合复数运算法则求出，进而利用模长公式即可求解.
【详解】
（1）因为，
所以；
（2）设，又因为，，，
则，即，所以，
故，
则.
例13．（2021·全国·高一课时练习）设，求的取值范围．
【答案】
【分析】
设，则，，根据复数的几何意义计算辐角主值最大值和最小值，得到答案.
【详解】
设，则，，
如图所示：表示圆心为，半径为的圆面，
当分别与圆相切时对应的辐角主值最大最小，易知，
故的最大值为，最小值为.
故的取值范围为.

例14．（2021·上海·高一单元测试）在复平面内，设为坐标原点，点所对应的复数分别为，且的辐角主值分别为，模长均为1.若的重心对应的复数为，求.
【答案】
【解析】
根据题意，写出复数的三角形式，由重心坐标的计算公式，可得重心对应的复数的形式，结合题目已知条件，即可求解.
【详解】
由题意，可知.
∵的重心对应的复数为，
∴，即，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题综合考查复数的三角形式的理解和认知，属三角形式中的中档题.注意本题中还涉及和差化积公式.
考点二：复数乘、除运算的三角表示 及其几何意义
例1．（2021·北京交通大学附属中学分校高一期末）复数在复平面上对应的点位于第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
化简复数即可判断.
【详解】

因为对应的点位于第一象限，所以
故选：C.
例2．（2021·上海·高一课时练习）复数等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由复数的三角形式得， ，代入运算可得选项.
【详解】
解：，故，
=，故，
所以
.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的三角形式的运算，属于基础题.
例3．（2021·上海交大附中高一期末）设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】
根据题意，结合复数的乘方与开方，表示出集合，再把选项中的值分别代入计算得到集合，一一判断即可求解.
【详解】
由，得，
即，故，0，1，2，4，5，
因此集合.
当时，同理得，
此时不存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，
同理可知，时，也不满足题意，故ACD错；
当时，得：
，
当时，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，故B正确.
故选B.
例4．（2021·全国·高一课时练习）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，则复数是_____________.(用代数形式表示).
【答案】
【分析】
把与复数−i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转45°得到z=(cos45°+isin45°)×(−i)，再把三角形式转化为代数形式运算即可.
【详解】
由题意得.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查复数的代数形式与三角形式的转化及其运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
例5．（2021·全国·高一课时练习）已知m∈R，复数z＝（2+i）m2﹣m（1﹣i）﹣（1+2i）（其中i为虚数单位），若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是_____
【答案】
【分析】
化复数z为a+bi的形式，由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．
【详解】
解：∵复数z＝（2+i）m2﹣m（1﹣i）﹣（1+2i）＝（2m2﹣m﹣1）+（m2+m﹣2）i
在复平面上对应的点位于第四象限，
∴ ，解得 ．
∴实数m的取值范围是．
故答案为：．
例6．（2021·湖北·华中师大一附中高一期中）设复数，其中为虚数单位，若满足，则____________．
【答案】
【分析】
根据题意，求出复数的代数形式，结合其三角形式即可求解.
【详解】
由，得，即，
因，
所以.
故答案为：.
例7．（2021·全国·高一课时练习）计算:4(cos 80°+isin 80°)÷[2(cos 320°+isin 320°)].
【答案】
【分析】
利用复数三角形式的除法运算，结合特殊角的三角函数值，即可得到答案；
【详解】
解：



例8．（2021·全国·高一课时练习）已知复数z＝（m2+m﹣6）+（m2+m﹣2）i（m∈R）在复平面内所对应的点为A．
（1）若复数z+4m为纯虚数，求实数m的值；
（2）若点A在第二象限，求实数M的取值范围；
（3）求|z|的最小值及此时实数m的值．
【答案】（1）m＝﹣6 ；（2）﹣3＜m＜﹣2，或1＜m＜2 ；（3） m＝ 时；有最小值．
【分析】
（1）将z+4m化为代数形式，令其实部为0，虚部不为0，
（2）点A在第二象限，应实部小于0，虚部大于0．
（3）根据复数模的计算公式，得出关于m的函数求出最值．
【详解】
解：（1）复数z+4m＝（m2+5m﹣6）+（m2+m﹣2）i
由
解得m＝﹣6
（2）由
解得﹣3＜m＜﹣2，或1＜m＜2
（3）|z|2＝（m2+m﹣6）2+（m2+m﹣2）2
令m2+m﹣2＝t
t∈[ ，+∞）
则|z|2＝2t2﹣4t+16＝2（t﹣22+8
所以当t＝2，即m＝时，有最小值
例9．（2021·全国·高一课时练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1) (2) (3) (4)
【分析】
（1）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.
（2）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.
（3）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.
（4）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.
(1)

(2)
.
(3)

(4)

.

一、单选题
1．（2021·全国·高一课时练习）设z∈C，且|z|＝1，当|（z﹣1）（z﹣i）|最大时，z＝（ ）
A．﹣1 B．﹣i C．﹣﹣i D． +i
【答案】C
【分析】
可设出复数的三角函数形式，再结合的三角函数知识进行求解．特别注意：令sinθ+cosθ＝t，则sinθcosθ＝
【详解】
解：|z|＝1，设z＝cosθ+isinθ，则|（z﹣1）（z﹣i）|＝2
令sinθ+cosθ＝t，则sinθcosθ﹣sinθ﹣cosθ+1＝
∴当t＝即θ＝ 时，|（z﹣1）（z﹣i）|取最大值，此时，z＝﹣﹣i．
故选：C
2．（2021·全国·高一课时练习）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先求，再求，根据对数对应的点所在的象限，求复数的辅角主值.
【详解】
，复数对应的点是，位于第三象限，且，所以.
故选：B
3．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）若（为虚数单位），则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】
当时，，
当时，可以取，此时，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
4．（2021·上海·高一课时练习）把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（ ）
A．， B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题可知，即可求出，再根据对应的坐标即可得出它的辐角主值.
【详解】
由题可知，
则，
，
可知对应的坐标为，则它的辐角主值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的三角形式，属于基础题.
5．（2021·全国·高一课时练习）复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.
【详解】



，
故选：C.
6．（2021·重庆巴蜀中学高三阶段练习）复数都可以表示，其中为的模，称为的辐角．已知复数满足 ，则的辐角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，先求出复数，再结合，即可求出.
【详解】
由得，
故，
所以.
故选C．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知复数满足且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先根据条件求得复数，再利用三角函数表示复数，以及结合欧拉公式，计算复数的值.
【详解】
设，
，即，
，解得：
，
当时，
，
则

，
当时，

则

，
故选：D
二、多选题
8．（2021·全国·高一课时练习）欧拉公式(其中i为虚数单位，)，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项能确的是（ ）
A．复数对应的点位于第三象限 B．为纯虚数
C．的共轭复数为； D．复数的模长等于
【答案】BCD
【分析】
对于，，根据，，即可判断出；对于，根据欧拉公式逐项计算，然后判断正误即可．
【详解】
解：对于，由于，
，，
，，
表示的复数在复平面中位于第二象限，故错误；
对于，，可得为纯虚数，故正确；
对于，，的共轭复数为，故正确．
对于，，
可得其模的长为
，故正确；
故选：．
9．（2022·山西·临县第一中学高三期末）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABC
【分析】
若 ，则， ，利用复数代数运算，可以判断AB；利用复数的三角运算，可以判断C；利用数形结合，可以判断D.
【详解】
对于A：
若 ，则，故，
所以A正确；
对于B：
若，则，
所以B正确；
对于C：
设 ，
则 ，故 ，
所以C正确；
对于D：
如下图所示，若 ，，则，，故 ，
所以D错误.

故选：ABC
三、填空题
10．（2021·全国·高一课时练习）设复数，那么的共轭复数的代数形式是______．
【答案】##-i+
【分析】
计算，再计算共轭复数得到答案.
【详解】
，故.
故答案为：.
11．（2021·全国·高一课时练习）复数的三角形式是______．
【答案】
【分析】
直接利用辅助角公式计算得到答案.
【详解】
.
故答案为：.
12．（2021·全国·高一单元测试）设，，则的三角形式为___________.
【答案】
【分析】
先将化简，然后计算，再转化为三角形式即可
【详解】
因为，
，
所以



，
故答案为：
13．（2021·全国·高一课时练习）________.
【答案】i##
【分析】
根据复数的三角形式的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】
根据复数的三角形式的运算法则，可得：

.
故答案为：
14．（2021·上海交大附中高一期末）复数的辐角主值是______．
【答案】
【分析】
根据题意，结合复数的三角形式即可求解.
【详解】
由，，
得，
因此复数的辐角主值为.
故答案为：.
15．（2021·全国·高一课时练习）设复数在复平面上对应的向量为，将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，若，则自然数的最小数值为___________
【答案】
【分析】
将复数表示为三角的形式，可得出的三角表示，根据可得出关于的表达式，进而可求得自然数的最小值.
【详解】
因为，
将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，
则，
因为，所以，，所以，，
所以，，当时，取得最小值.
故答案为：.
16．（2021·福建·仙游一中高一阶段练习），则__________.
【答案】400
【分析】
将分子、分母化为复数的三角形式，根据复数乘除的几何含义，求的三角形式，即可求.
【详解】
，
若，则，
∴.
故答案为：.
17．（2021·上海交大附中高一期末）设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为______．
【答案】
【分析】
根据题意，将复数改写成三角形式，结合已知条件分别算出、、、和，即可求解.
【详解】
由，得，由，得，
因，所以，即，且，
又因，所以，即，且,
因此.
故答案为：.
18．（2022·全国·高三专题练习（文））对任意三个模长小于1的复数，，，均有恒成立，则实数的最小可能值是______．
【答案】10
【分析】
利用复数的三角形式结合余弦函数的性质可得的取值范围，从而得到实数的最小可能值.
【详解】
设，，，
由题设有.
又
，

，
而，
所以，
而，当且仅当终边相同时等号成立，
故，所以，
故实数的最小可能值为10，
故答案为：10.
四、解答题
19．（2021·全国·高一课时练习）求复数的模与辐角．
【分析】
根据三角函数诱导公式得到，得到答案.
【详解】
，，
故．
由此可知，这个复数的模为2，辐角为．
20．（2021·全国·高一课时练习）计算：．
【答案】64
【分析】
把复数用三角形式表达，先用辅助角公式，再利用复数三角形式下的次方公式进行求解，
【详解】
因为，所以
21．（2021·全国·高一课时练习）计算：．
【答案】
【分析】
先推导出，然后利用这个性质可计算得出所求代数式的值.
【详解】
因为，
同理可得
，
以此类推可知，对任意的，，
因此.
22．（2021·全国·高一课时练习）已知复数．
(1)求及；
(2)当复数z满足，求的最大值．
【答案】(1)， (2)
【分析】
（1）化简复数为代数形式后，再化为三角形式，即可求解．
（2）设为三角形式，和复数的代数形式，共同代入，化简后可求最大值．
(1)解：，将化为三角形式，得，
∴，．
(2)解：由于复数z满足，设，则，
，
当时，取得最大值．
所以的最大值为．
23．（2021·全国·高一课时练习）设复数，求函数的最大值以及对应的值．
【答案】当时，y取得最大值
【分析】
根据辐角的主值定义，结合两角差的正切公式、基本不等式进行求解即可.
【详解】
由，可得，
因为，所以，于是，
当且仅当时取等号，则当时取等号，即当时取等号，因此有，因此函数的最大值为，此时.
24．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知平面内并列的三个全等的正方形，利用复数证明．

【分析】
，，，计算，根据角度范围得到答案.
【详解】
，，，
，，，故，
，其辐角主值为.
是的一个辐角.
故.
25．（2021·全国·高一课时练习）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，求与所得的向量对应的复数（用代数形式表示）．
【答案】
【分析】
，根据向量旋转结合复数的三角运算得到答案.
【详解】
，
对应向量绕原点O按顺时针方向旋转，
所对应的复数为.
26．（2021·全国·高一课时练习）已知，，其中，且，，求的值．
【答案】
【分析】
结合复数的三角形式以及辐角与模的概念，结合三角恒等变换即可求出结果.
【详解】
因为，，又，则，，得，所以，．由，，得，．又，所以．又由，得，所以．所以
27．（2021·全国·高二单元测试）在的外部，分别以，为斜边作等腰直角三角形，，若F为的中点，求证：，.
【分析】
如图建立平面直角坐标系，利用复数的加、减、乘的几何意义分别表示所对应的复数，可证明，即得证
【详解】
证明：以的中点为原点，所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，

设点，则，A对应的复数为z，
所以对应的复数是.
因为是等腰直角三角形，
所以应对应的复数是.
应对应的复数是.
由于对应的复数是.
因为是等腰直角三角形，
所以应对应的复数是.
对应的复数是.
又因为，
，所以.
所以，.