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第5讲复数的四则运算(核心考点讲与练)2021-2022学年高一数学考试满分全攻略(人教A版2019必修第二册)(解析版)
展开第5讲复数的四则运算(核心考点讲与练)
1.复数与的和的定义:
2.复数与的差的定义:
3.交换律:
4.结合律:
5.乘法运算规则:设, (、、、)是任意两个复数,那么它们的积。其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把换成,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
6.乘法运算律:
1)
2)
3)
7.复数除法定义:满足的复数()叫复数除以复数的商,记为:或者.
考点一:复数的加、减运算及其几何意义
例1.(2021·全国·高一课时练习)如果,那么复数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
直接计算得到答案.
【详解】
,故.
故选:A.
例2.(2021·全国·高一课时练习)设z1=2+b,z2=a+,当z1+z2=0时,复数a+b为( )
A.1+ B.2+
C.3 D.
【答案】D
【分析】
由已知可得(2+a)+(b+1)=0,即可求,写出复数a+b即可.
【详解】
因为z1+z2=(2+b)+(a+)=(2+a)+(b+1)=0,
所以于是
故.
故选:D.
例3.(2022·全国·高一)若,为复数,则“是实数”是“,互为共轭复数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
设,由是实数和,互为共轭复数得到的限制条件,再结合充分条件、必要条件的定义,即可判断
【详解】
由题意,不妨设
若是实数,则
故,即,由于不一定相等,故,不一定互为共轭复数,故充分性不成立;
若,互为共轭复数,则,故,故必要性成立.
因此“是实数”是“,互为共轭复数”的必要不充分条件.
故选:B
例4.(2021·山东济宁·高一期末)设复数的共轭复数为,为虚数单位,则下列命题正确的是( )
A. B.是纯虚数
C.若,则 D.若,则的最大值为2
【答案】AD
【分析】
利用复数的运算法则判断A的正误;复数的解法判断复数是实数,判断B;利用复数的模的运算法则判断C;利用复数模的几何意义判断D.
【详解】
解:因为复数与其共轭复数为的实部相等,虚部互为相反数,所以,A正确;
当为实数时,也为实数,则是实数,B错误;
若,则,C错误;
若,设,即,则表示圆上的点到原点的距离,其最大值为2,D正确,
故选:AD.
例5.(2021·浙江·高一期中)在复平面内有一个平行四边形,点为坐标原点,点对应的复数为,点对应的复数为,点对应的复数为,则下列结论正确的是( )
A.点位于第二象 B. C. D.
【答案】BC
【分析】
由题意画出图形,求出的坐标,得到,然后逐一分析四个选项得答案.
【详解】
解:如图,
由题意,,,,
为平行四边形,则,
,点位于虚轴上,故错误;
,故正确;
,故正确;
,故错误.
故选:.
例6.(2021·全国·高一课前预习)设复数z满足z+|z|=2+i,那么( )
A.z的虚部为 B.z的虚部为1
C.z=--i D.z=+i
【答案】BD
【分析】
设复数,、,由复数相等列方程求出的值即可.
【详解】
解:设复数,、,
由,得,
即;
所以,所以,所以
即的虚部为1.
故选:.
例7.(2022·全国·高一)______.
【答案】##
【分析】
直接根据复数的加减法运算计算即可得出答案.
【详解】
解:.
故答案为:.
例8.(2022·全国·高一)已知为复数,且,则的最大值为____________.
【答案】
【分析】
由题意,设,得到,则,利用复数的模的几何意义,即可得解.
【详解】
由题意设,则
,,即,
即的模的轨迹可理解为以为圆心,半径为2的圆.
则,可理解为求点到点之间的距离,
数形结合可知,的最大值为4.
故答案为:
例9.(2021·全国·高一课时练习)计算:
(1);
(2);
(3).
【答案】(1) (2) (3)
【分析】
(1)根据复数的加法与减法的运算,准确运算,即可求解;
(2)根据复数的加法与减法的运算,准确运算,即可求解;
(3)根据虚数单位的运算法则,准确运算,即可求解.
(1)解:由复数的运算法则,可得.
(2)解:由复数的运算法则,可得.
(3)由的运算规律及方法,可得.
例10.(2022·全国·高一)已知向量对应的复数为,若点对应的复数为,求点对应的复数.
【答案】
【分析】
设点对应的复数为,利用复数的几何意义可以及复数相等可求得实数、的值,即可得解.
【详解】
设点对应的复数为,
则向量对应的复数为,
所以,解得,
因此,点对应的复数为.
例11.(2021·全国·高一课时练习)已知复数,试在复平面上作出下列运算结果对应的向量:
(1);
(2).
【分析】
(1)在复平面上作出对应的向量,再作出对应的向量,根据减法的几何意义及向量(复数)相等的定义,即为
(2)再作出对应的向量,根据减法的几何意义及向量(复数)相等的定义,即为.
(1)设复数对应的向量为.
图1
设复数对应的向量为,则两个复数的差对应两个向量的差,如图①所示,即为
(2)设复数对应的向量为,则两个复数的差对应两个向量的差,如②所示,即为.
图2
例12.(2022·全国·高一)已知复数在复平面内所对应的点为A
(1)若复数为纯虚数,求实数的值;
(2)若点A在第二象限,求实数的取值范围
【答案】(1)-6 (2)
【分析】
(1)先求得,根据其为纯虚数,可得,即可求得m值.
(2)先求得点A在复平面内坐标,根据其在第二象限,可得,即可求得m的范围.
(1)由题意得,
因为为纯虚数,
所以,解得.
(2)复数z在平面内所对应的点为,
因为点A在第二象限,
所以,解得或,
所以实数的取值范围为
例13.(2021·全国·高一课时练习)求证:若复数,则z为纯虚数的充要条件是.
【分析】
分别证明充分性和必要性,设,,则,带入计算得到证明;设,不同时为0,则,得到,得到证明.
【详解】
必要性:设,,则,;
充分性:设,不同时为0,则,,
故,故,,即为纯虚数.
综上所述:z为纯虚数的充要条件是.
例14.(2022·全国·高一)根据复数加法的几何意义,证明:.
【分析】
设复数所对应的向量是,复数所对应的向量是,分复数,有一个为0,或者均为0,向量,不是零向量且共线以及向量,不是零向量且不共线三种情况分类讨论即可证出结论.
【详解】
设复数所对应的向量是,复数所对应的向量是,
若复数,有一个为0,或者均为0,不等式显然成立;
若向量,不是零向量且共线时,显然成立,
不等式左侧在两向量共线反向时等号成立,不等式右侧在两向量共线同向时等号成立;
若向量,不是零向量且不共线时,如图:
由三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,可得成立.
综上:.
考点二:复数的乘、除运算
例1.(2022·全国·高一)若.设,则( )
A.2i B.2 C. D.
【答案】B
【分析】
根据求出,结合复数的乘法运算即可.
【详解】
由,得,
所以.
故选:B
例2.(2022·全国·高一)设复数满足,其中为虚数单位,则的共轭复数( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【详解】
由,得,.
故选:D.
例3.(2022·全国·高一)已知为虚数单位,复数,则的模为( )
A. B.3 C. D.
【答案】D
【分析】
利用复数的除法运算求出复数,再用复数模的定义计算作答.
【详解】
依题意,,则,
所以的模为.
故选:D
例4.(2022·全国·高一)已知,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】AD
【分析】
根据复数相等的定义得解.
【详解】
,,
,,,
故选:AD.
例5.(2021·全国·高一课时练习)已知复数z=1+2i(i为虚数单位),则下列结论错误的是( )
A.|z|= B.z2≥0
C.|z-|=2 D.z·=5
【答案】ABC
【分析】
利用复数模的计算,共轭复数的概念及复数四则运算,即可得到答案;
【详解】
对,,故不正确;
对,,不能和0比较大小,故不正确;
对C中,,故不正确;
对中,,故D正确;
故选:ABC
例6.(2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习)设有下面四个命题:
:若复数满足,则;
:若复数满足,则;
:若复数满足,则;
:若复数满足,则.
其中的真命题为( )
A. B. C. D.
【答案】BC
【分析】
根据复数的定义以及复数的分类,对命题的真假进行逐一判断即可.
【详解】
设,,
对于,若,即,则,
当,时,,故为假命题.
对于,若,则,即,则,故为真命题.
对于,若,则,即,,则,故为真命题.
对于,若,即,
则,不能推出,故不一定属于,故为假命题.
故选:BC.
例7.(2021·湖北·大冶市第一中学高一阶段练习)下列命题中正确的有( )
A.若复数满足,则; B.若复数满足,则;
C.若复数满足,则; D.若复数,则.
【答案】AD
【分析】
根据复数的运算性质,即可判定A正确;取,可判定B不正确;取,可判断C不正确;根据复数的运算法则,可判定D正确.
【详解】
对于A中,设复数,
可得,
因为,可得,所以,所以A正确;
对于B中,取,可得,所以B不正确;
对于C中,例如:,则,此时,所以C不正确;
对于D中,设,由,可得,即,可得,所以D正确.
故选:AD
例8.(2021·全国·高一单元测试)复数的值等于______.
【答案】
【分析】
根据复数的运算直接化简即可.
【详解】
由,
故,
故答案为:.
例9.(2022·全国·高一)已知复数(i为虚数单位),则的虚部为______.
【答案】12
【分析】
先求出,然后可得其虚部,得到答案.
【详解】
由复数,则
所以的虚部为12
故答案为:12
例10.(2021·全国·高一课时练习)若是实系数一元二次方程的一个根,则______.
【答案】
【分析】
将代入方程可得,即可求出.
【详解】
因为是实系数一元二次方程的一个根,
所以,即,
整理得,
所以,解得,则.
故答案为:.
例11.(2021·全国·高一单元测试)已知复数,,那么的共轭复数为______.
【答案】##
【分析】
应用复数的加法及共轭复数的概念,即可得的共轭复数.
【详解】
,
∴的共轭复数为.
故答案为:
例12.(2021·全国·高一课时练习)计算:.
【答案】
【分析】
利用复数的除法可得结果.
【详解】
.
例13.(2021·湖北·高一期末)已知是关于的方程的一个根,其中为虚数单位.
(1)求的值;
(2)记复数,求复数的模.
【答案】(1)(2)
【分析】
(1)由题知,即,再根据复数相等求解即可;
(2)由(1)得,故,再求模即可.
(1)解:知是关于的方程的一个根,
所以,即,
所以,解得.
所以
(2)解:由(1)得复数,
所以
所以复数的模为
例14.(2021·全国·高一课时练习)在复数范围内分解因式:
(1); (2); (3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
利用完全平方公式平方差公式将所给的表达式分解因式.
(1)
(2)
(3)∵
∴
∴
例15.(2021·全国·高一课时练习)已知复数z的模为,且z的实部和虚部是相等的正数.
(1)设,求;
(2)如果,求实数a、b的值.
【答案】(1) (2),
【分析】
(1)第一步求出复数复数z的实部与虚部,可以设,所以,代入求解
(2)由(1)可知代入可以利用对应系数相等求的的值.
(1)
,
(2)
由,得解得,
故答案为:;,.
例16.(2021·全国·高一单元测试)计算下列各题:
(1); (2);
(3); (4).
【答案】(1)1+7i(2)1-34i(3)-1(4)5+i
【分析】
应用复数的加减乘除、乘方等四则运算及复数乘除的几何性质化简复数即可.
(1).
(2).
(3).
(4).
例17.(2021·江苏省运河中学高一期中)已知设复数满足使得关于的方程有实根,其中为的共轭复数,求满足条件的构成的集合.
【答案】.
【分析】
设z=a+bi(a,b∈R,a2+b2=1),代入原方程化简,实部和虚部都等于0,解方程组即可求得.
【详解】
设z=a+bi(a,b∈R,a2+b2=1).
将原方程改为(a+bi)x2+2(a-bi)x+2=0,分离实部与虚部后等价于:
…… ①
…… ②
若b=0,则a2=1,但当a=1时,①无实数解,从而,此时存在实数满足①、②,故z=-1满足条件.
若b≠0,则由②知x∈{0,2},但显然x=0不满足①,故只能是x=2,代入①解得,进而,相应有
综上,满足条件的所有复数构成的集合为.
例18.(2021·全国·高一课时练习)利用平面向量的坐标表示,可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”,即可将有序复数对视为一个向量,记作α=z1,z2.类比平面向量可以定义其运算,两个复向量α=z1,z2,β=z1',z2'的数量积定义为一个复数,记作,满足α⋅β=z1z1'+z2z2',复向量的模定义为α=α⋅α.
(1)设α=1-i,i(),,求复向量,的模;
(2)设、是两个复向量,证明柯西一布涅科夫斯基不等式仍成立,即:α⋅β≤αβ;
(3)当α⋅β=αβ时,称复向量与平行.设α=1+i,2-i()、β=i,zz∈C,若复向量与平行,求复数的值.
【答案】(1);;(2)证明见解析;(3).
【分析】
(1)根据题意,直接求解即可;
(2)根据题意,结合三角不等式,即可求解;
(3)根据题意,结合(2)中等号成立的条件,即可求解.
【详解】
(1),所以,
,所以;
(2),,所以,
根据复数的三角不等式 ,
由,得,
所以,
综上所述,;
(3)考虑(2)中的等号成立条件:对于复数的三角不等式而言,复向量各分量均不为零时,
其等号成立条件是存在在非负实数使得,即,
另一方面,根据的等号成立条件,
应有,
即,结合,知,
即,也即.
例19.(2021·全国·高一专题练习)求证:
(1); (2);
(3); (4).
【解析】
(1)设,分别计算即可得到两式相等;
(2)设,分别计算即可得证;
(3)设,,分别计算即可得证;
(4)设,,分别计算即可得证.
【详解】
证明:对于(1)(2),设,则.
(1),
.
(2).
对于(3)(4),设,,则,.
(3),
,∴.
(4)∵,
∴,
又,
∴.
【点睛】
此题考查复数的运算,涉及共轭复数概念,复数模长计算,乘法、除法、乘方运算.
一、单选题
1.(2021·全国·高一单元测试)在复平面内,向量对应的复数的共轭复数是,则向量对应的复数是( )
A. B. C. D.i
【答案】B
【分析】
由已知对应的共轭复数,直接写出对应的复数即可.
【详解】
由共轭复数的概念知:对应的复数为.
故选:B
2.(2022·全国·高一)在复平面内,复数对应的点的坐标是,则的共轭复数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
依题意根据复数的几何意义得到,再根据复数代数形式的乘法运算及共轭复数的概念计算可得.
【详解】
解:由题知,,则,所以,
故选:D.
3.(2022·全国·高一)在复平面内,若复数z对应的点为(1,1),则( )
A.﹣1 B.1 C.2 D.
【答案】B
【分析】
首先由坐标确定复数z,并化简,最后求出模长
【详解】
由已知复数z对应的点为(1,1),则,
因此,所以
故选:B.
4.(2021·全国·高一课时练习)已知i是虚数单位,若为纯虚数,则实数( )
A.1 B. C.2 D.
【答案】B
【分析】
由复数除法法则化简复数为代数形式,然后由复数的定义求解.
【详解】
因为为纯虚数,
所以,.
故选:B.
5.(2021·全国·高一课时练习)已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
利用复数的除法运算法则化简复数,求出其在复平面内对应的点,再求出该点关于直线对称的点,得到复数,最后利用复数的乘法运算法则即可求得.
【详解】
因为,所以复数在复平面内对应的点为,
其关于直线对称的点为,所以,
所以,
故选:C.
6.(2021·全国·高一课时练习)方程在复数集内解的个数为( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
令,再根据复数的运算及复数的模,解方程.
【详解】
令,则,
得
当时,,或;
当时,,或(舍).
综上共有6个解:,,,
故选;C.
7.(2021·全国·高一单元测试)复数的平方是一个实数的充要条件是( ).
A.且 B.且
C. D.
【答案】D
【分析】
利用充要条件的定义和复数的运算判断即可
【详解】
因为为实数,
所以,
反之,当时,复数的平方是一个实数,
所以复数的平方是一个实数的充要条件是,
故选:D
8.(2021·全国·高一单元测试)在复数集中,一个数的平方恰好是这个数的共轭复数,具有这种特性的数共有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【分析】
利用复数相等的条件求解即可
【详解】
设复数,则由题意可得
,
所以,
所以,解得,或,或,或,
所以具有这种特性的数共有4个,
故选:D
9.(2022·全国·高一)设复数,满足,,则的最大值是( )
A.2 B. C.4 D.
【答案】B
【分析】
设,,其中a,b,c,d都是实数,由复数的运算建立方程组,求解得,从而可得选项.
【详解】
解:设,,其中a,b,c,d都是实数,
所以①,②.
又,所以,
所以③,④.
由①+②-③×2,得,所以,.
所以,由①知,故.
故选:B.
二、多选题
10.(2021·全国·高一课时练习)对任意复数为虚数单位,则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】BC
【分析】
写出共轭复数,然后计算判断各选项.
【详解】
由已知,
因此,,.
故选:BC.
11.(2021·浙江·丽水外国语实验学校高一阶段练习)若复数满足(其中是虚数单位),复数的共扼复数为,则( )
A. B.的实部是2
C.的虚部是1 D.复数在复平面内对应的点在第一象限
【答案】ABD
【分析】
首先根据计算出,再计算出其共扼复数为即可.
【详解】
由
所以
对于A答案,故A对.
对于B答案的实部是2,故B对.
对于C答案的虚部为,故C错误.
对于答案复平面内对应的点为在第一象限,故D对.
故选:ABD
12.(2021·江苏省郑集高级中学高一阶段练习)若复数满足(为虚数单位),则下列结论正确的有( )
A.的虚部为 B. C.的共轭复数为 D.是第三象限的点
【答案】BC
【分析】
利用复数的除法求出复数,利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.
【详解】
,,
所以,复数的虚部为,故A错误;
,故B正确;
共轭复数为,故C正确;
复数在复平面对应的点在第四象限,故D错误.
故选:BC.
三、填空题
13.(2022·全国·高一)如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是,则__________.
【答案】2
【分析】
由已知求得,进一步求得.
【详解】
由题意可知,.
所以
故答案为:2.
14.(2021·全国·高一课时练习)______.
【答案】1
【分析】
根据复数的除法和乘方运算规则计算即可得出结果.
【详解】
根据复数的运算规则知,
故答案为:1.
15.(2021·全国·高一课时练习)______.
【答案】##
【分析】
根据复数的运算规则计算.
【详解】
根据复数的运算规则得,
故答案为:.
16.(2021·全国·高一课时练习)______.
【答案】##
【分析】
根据复数的除法运算即可得出答案.
【详解】
解:.
故答案为:.
17.(2021·全国·高一单元测试)设是虚数单位,若复数是实数,则a的值为______.
【答案】2
【分析】
根据复数的运算法则,将原复数式子化简,因为该复数是实数,故得到使得其虚部为0即可.
【详解】
复数
因为原复数是实数,故得到
故答案为:2
18.(2021·全国·高一单元测试)若复数z满足:,则______.
【答案】
【分析】
设,根据题设等量关系及复数的乘除运算可得求a、b,写出复数.
【详解】
设,原式化为,则解得
∴.
故答案为:
19.(2021·全国·高一课时练习)已知复数z1=a+bi,z2=1+ai(a, b∈R),若|z1|
【分析】
根据|z1|
因为|z1|
故答案为:.
四、解答题
20.(2021·全国·高一课时练习)计算:i2 019+(+i)8-50+.
【答案】256-i
【分析】
根据复数的运算规则化简计算即可.
【详解】
原式=i4×504+3+[2(1+i)2]4-+
=i3+(4i)4-+i
=-i+256++i
=256+
=256-i.
21.(2021·全国·高一课时练习)计算i+2i2+3i3+…+2 020i2 020+2 021i2 021.
【答案】1010+1011i
【分析】
根据的概念和运算规则化简计算即可得出答案.
【详解】
原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+(9i-10-11i+12)+…+(2017i-2018-2019i+2020)+2021i=505·(2-2i)+2 021i=1010+1011i.
22.(2021·全国·高一课时练习)1.计算:
(1); (2);
(3); (4).
【答案】(1) (2) (3) (4)
【分析】
(1)分子分母同乘;(2)分子分母同乘;(3)先化简,再分子分母同乘;(4)先化简与,再分子分母同乘
(1)
(2)
(3)
(4)
23.(2021·全国·高一课时练习)设实数x、y满足,求x、y的值.
【答案】,
【分析】
根据复数乘法的运算性质,结合复数相等的性质进行求解即可.
【详解】
,
所以,.
24.(2021·全国·高一课时练习)1.计算:
【答案】-2i
【分析】
根据复数的除法法则和乘方运算即可得到答案.
【详解】
.
25.(2021·上海·高一单元测试)已知复数满足,且,求负实数的值.
【答案】
【解析】
设,代入,得到:
求解a,即得解.
【详解】
设.因为,所以
,
则
当时,,由,解得;
当时,则或,因为,所以此时无解.
综上所述,.
【点睛】
本题考查了复数的三角形式及四则运算,考查了学生转化与划归,数学运算的能力,属于较难题.
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