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第12讲随机抽样（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（解析版）
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这是一份第12讲随机抽样（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（解析版），共37页。试卷主要包含了获取数据的途径，方法二，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第12讲随机抽样（核心考点讲与练）
一．简单随机抽样
(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．
(3)应用范围：总体中的个体数较少．
二．系统抽样
(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．
(2)系统抽样的操作步骤
第一步编号：先将总体的N个个体编号；
第二步分段：确定分段间隔k，对编号进行分段，当(n是样本容量)是整数时，取k＝；
第三步确定首个个体：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
第四步获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．
(3)应用范围：总体中的个体数较多．
三．分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
四、获取数据的途径：
1、通过调查获取数据：
（1）适用类型：对于有限总体问题，如人口总数、城乡就业状况、农村贫困人口脱贫状况、生态环境改善状况、青少年受教育状况、高中生近视的比例、产品合格率、高中生日平均上网时间等问题，我们一般通过抽样调查或普査的方法获取数据。
（2）注意事项：在实际应用中，关键在于是否能充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误。
2、通过试验获取数据：
（1）适用类型：没有现存的数据可以查询，就需要通过对比试验的方法去获取样本观测数据。
（2）注意事项：通过试验获取数据时，我们需要严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量，为获得好的分析结果奠定基础。
3、通过观察获取数据：
（1）适用类型：很多自然现象都不能被人类所控制，自然现象会随着时间的变化而变化，不能用我们已经学过的有限总体来刻画，也就不能用抽样的方法获取观测数据；另一方面，由于自然现象不能被人为控制，也不能通过试验获取观测数据。研究这类现象，只能通过长久的持续观察获取数据。
（2）注意事项：对于各个不同的行业，往往需要专业测量设备获取观测数据。随着科技水平的提高，专业测量设备的自动化程度越来越高，通过观测获取和存储数据的成本越来越低，这成为大数据产生的根源。
4、通过查询获取数据：
（1）适用类型：有些问题，可能有众多专家研究过，他们在研究中所收集的样本观测数据可能存储于学术论文、专著、新闻稿、公报或互联网上，这些数据是宝贵的财富，我们可以收集前人的劳动成果并加以利用，从而减少收集数据的成本。我们往往把这样获得的数据叫做二手数据。随着信息技术的发展，通过互联网获取数据越来越成为获取二手数据的主要方式。
（2）注意事项：从网络上查找的数据，因为数据来历和渠道多样，所以质量会参差不齐，必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真，为进一步的数据分析奠定基础。
考点一： 简单随机抽样
例1.下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
（1）从无数个个体中抽取50个个体作为样本；
（2）仓库中有l万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；
（3）某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴四川参加抗震救灾工作；
（4）一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．
【解析】（1）不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．
（2）不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．
（3）不是简单随机抽样．因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．
（4）是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．
【总结升华】 要判断所给的抽样方法是否是简单随机抽样．关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点：（1）总体的个数有限；（2）逐个抽取；（3）是不放回的抽取；（4）每个个体被抽到的可能性必须是相同的．
【变式1】下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
（1）某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动．
（2）从20个零件中一次性抽出3个进行质量检验．
（3）一小孩从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩．玩后放回再拿下一件，连续玩了5件．
【解析】（1）不是简单随机抽样．因为这不是等可能抽样．
（2）不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．
（3）不是简单随机抽样．因为这是有放回抽样．
例2．某大学为了支援西部教育事业，现从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组．请用抽签法设计抽样方案．
【解析】方案如下：
第一步：将18名志愿者编号，号码是01，02，…，18；
第二步：将号码分别写在形状、大小相同的纸条上，揉成团，制成号签；
第三步：将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀；
第四步：从袋子中依次抽取6个号签，并记录上面的编号：
第五步：所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．
【总结升华】一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否容易被搅匀．一般地，当样本容量和总体容量较小时可用抽签法．
【变式1】一个学生在一次竞赛中要回答的8道题是这样产生的：从15道物理题中随机抽3道；从20道化学题中随机抽3道；从12道生物题中随机抽2道．使用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科问题的序号（物理题的编号为01～15，化学题的编号为16～35，生物题的编号为36～47）．
【解析】第一步：将试题的编号01～47分别写在形状、大小相同的纸条上，将纸条揉成团制成号签，并将物理、化学、生物题的号签分别放在三个不透明的袋子中，充分搅匀．
第二步：从装有物理题的袋子中逐个抽取3个号签，从装有化学题的袋子中逐个抽取3个号签，从装有生物题的袋子中逐个抽取2个号签，并记录所得号签上的编号．这便是所要回答的三门学科问题的序号．
例3．从30个足球中抽取10个进行质量检测，说明利用随机数法抽取这个样本的步骤及公平性．
【思路点拨】首先将30个足球编号，在随机数表中随机的选一个数作为开始．从选定的数字向右读，得到二位数字，将它取出，把大于29的去掉，按照这种方法继续向右读，取出的二位数若与前面相同，则去掉，依次下去，就得到一个具有10个数据的样本，利用随机数表抽取样本保证了各个个体被抽取的机会是等可能的．
【解析】第一步：首先将30个足球编号：00，01，02，…29，
第二步：在随机数表中随机的选一个数作为开始．
第三步：从选定的数字向右读，得到二位数字，将它取出，把大于29的去掉，按照这种方法继续向右读，取出的二位数若与前面相同，则去掉，依次下去，就得到一个具有10个数据的样本．
其公平性在于：第一随机表中第一个位置上出现的哪一个数都是等可能的，
第二从30个个体中抽到哪一个个体的号码也是机会均等的，
基于以上两点，利用随机数表抽取样本保证了各个个体被抽到的机会是等可取的．
【总结升华】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略，在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．
【变式1】某校有学生1200人，为了调查某种情况，打算抽取一个样本容量为50的样本，问此样本若采用简单随机抽样将如何进行？
【解析】首先将该校学生都编上号码：0001，0002，0003，…，1200，如用随机数表法，则先在随机数表中选定一个数，如第5行第9列的数字6，从6开始向右连续读取数字，以4个数为一组，遇到右边线时向下错一行向左继续读取，所得数字如下：6438，5482，4622，3162，4309，9006，1844，3253，2383，0130，3046，1943，6248，3469，0253，7887，3239，737l，2845，3445，9493，4977，2261，8442，…，所抽取的数字如果小于或等于1 200，则对应此号的学生就是被抽取的个体；如果所抽取的数字大于1200，而小于或等于2400，则减去1200，剩余数字即是被抽取的学生号码；如果所抽取的数字大于2400，而小于或等于3600，则减去2400；依此类推．如果遇到相同的号码，则只留取第一次读取的数字，其余的舍去，这样被抽取的学生所对应的号码依次是：0438，0682，1022，0762，0709，0606，0644，0853，1183，0130，0646，0743．0248，1069，0253，0687，0839，0171，0445，1045，1093，0177，1061，0042，…，一直取足50人为止．
【变式2】要从10架钢琴中抽取4架进行质量检验，请你设计抽样方案．
【解析】解法一：（随机数表法）
第一步，将10架钢琴编号，号码是0，1，…，9．
第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第3行第6列的数“2”，向右读．
第三步，从数“2”开始，向右读，每次读取1位，重复数字只记录一次，依次可得到2，7，6，5．
第四步，以上号码对应的4架钢琴就是要抽取的对象．
解法二：（抽签法）
第一步，将10架钢琴编号，号码是0，1，…，9．
第二步，将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签
第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀．
第四步，从袋子中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号．
第五步，所得号码对应的4架钢琴就是要抽取的对象．
【总结升华】（1）将钢琴编号从0开始，10架钢琴用0—9就可表示，这样总体中的所有个体可用一位数表示，便于使用随机数表．
（2）用抽签法抽样关键是将号签搅匀．
考点二; 系统抽样
【例1】 (1)已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________．
(2)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )
A．50 B．40 C．25 D．20
解析 (1)由系统抽样知识知，第一组1～8号；第二组为9～16号；第三组为17～24号；第四组为25～32号；第五组为33～40号．第一组抽出号码为2，则依次为10，18，26，34.
(2)由系统抽样的定义知，分段间隔为＝25.故答案为C.
答案 (1)2，10，18，26，34 (2)C
【规律方法】(1)系统抽样又称“等距抽样”，所以依次抽取的样本对应的号码就组成一个等差数列，首项就是第1组所抽取的样本号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码，但有时也不是按一定间隔抽取的．(2)系统抽样时，如果总体中的个体数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．
例2．下列抽样中不是系统抽样的是（ ）．
A．从号码为1～15的15个球中任选3个作为样本，先在1～5号球中用抽签法抽出i0号，再将号码为i0+5，i0+10的球也抽出
B．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间的过程中，检查人员从传送带上每5 min抽取一件产品进行检验
C．弄某项市场调查，规定在商店门口随机地抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止
D．某电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈
【答案】C
【解析】本题的判定依据是系统抽样方法的特征：系统抽样适用于个体数目较多但均衡的总体．判断一种抽样是不是系统抽样，首先看是否在抽样前知道总体是由什么构成的，抽样的方法能否保证每个个体按事先规定的条件等可能入样，再看抽样过程中是否将总体分成了几个均衡的部分，是否在每个部分中进行简单随机抽样．
本题C显然不是系统抽样，因为事先不知道总体，抽样方法也不能保证每个个体等可能入样，总体也没有分成均衡的几部分，故C不是系统抽样．
【总结升华】系统抽样的特点：①适用于总体容量较大的情况；②剔除多余个体及第一段抽样都用简单随机抽样，因而与简单随机抽样有密切联系；③是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是n／N．
【变式1】下列抽样中，最适宜用系统抽样法的是（ ）
A．某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶8∶8∶2，从中抽取200名学生做样本
B．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本
C．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本
D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本
【答案】C
【解析】A中各区学生有区别，不好分成均衡的几部分，不适宜，B中抽取样本容量太小，不适宜．D中总体个数较少，不适宜．故选C
【总结升华】系统抽样适合总体容量较大且个体间差异较小的情况．
例3．为了了解某大学一年级新生英语学习的情况，拟从503名大学一年级学生中抽取50名作为样本，如何采用系统抽样方法完成这一抽样？
【思路点拨】由题设条件可知总体的个数为503，样本容量为50，不能整除，可采用随机抽样的方法从总体中剔除3个个体，使剩下的个体数500能被样本容量50整除，然后再采用系统抽样方法进行抽样．
【解析】
第一步，将503名学生用随机方式编号为1，2，3，…，503．
第二步，用抽签法或随机数表法剔除3个个体，这样剩下500名学生，对剩下的500名学生重新编号为1，2，3，…，500．
第三步，确定分段间隔k，将总体分为50个部分，每一部分包括10个个体，这时，第l部分的个体编号为1，2，…，10；第2部分的个体编号为11，12，…，20；依此类推，第50部分的个体编号为491，492，…，500．
第四步：在第1部分用简单随机抽样的方法确定起始的个体编号，例如5．
第五步：依次在第2部分，第3部分，…，第50部分取出号码为15，25，…，495的个体，这样就得到一个容量为50的样本．
【总结升华】 总体中的每个个体都必须等可能的入样，为了实现“等距”入样且又等概率，应先剔除，再“分段”，后定起始位．采用系统抽样是为了减少工作量，提高其可操作性，减少人为误差．
【变式1】为了了解某年级学习情况，计划从该年级504名学生中抽取50名学生作为样本，问如何采用系统抽样的方法完成这一抽样？
【解析】
第一步：将504名学生随机编号为1，2，3，…，503，504；
第二步：用抽签法或者随机数表法，剔除4个个体.这样剩下500名学生，对剩下的500名学生重新编号为1，2，3，…，500；
第三步：由于样本容量与总体容量的比为50：500=1：10，我们可将总体平均分成50部分，其中每一部分包含10 个个体，这样第一部分的个体编号为1，2，3，…，10；第二部分的个体编号为11，12，13，…，20；依次类推，第50 部分的个体编号为491，492，493，…，500；
第四步：从1到10号进行简单随机抽样，抽取一个号码，比如是5；
第五步，依次在第2部分，第3部分，…，第50部分，取出号码分别为15，25，35，…，495.这样就得到了一个样本容量为50的样本.
【变式2】某校高中三年级有学生322名，为了了解学生的某种情况，按1∶8的比例抽取一个样本，请用系统抽样的方法进行抽取，并写出抽样过程．
【解析】因为322÷8=40余2，故先剔除2名学生，把剩下的320名学生编号为1，2，3，…，320．把总体分为40个部分，每一个部分都有8个个体，例如第一部分的个体编号为：1，2，3，…，8．然后在第一部分随机抽取一个号码，比如6号，那么从6号开始，每隔8个号码抽取1个，得到号码6，14，22，30，…，310，318，这样就得到一个容量为40的样本．
考点三: 分层抽样
例1．在下列问题中，各采用什么抽样方法抽取样本?
（1）从20台彩电中抽取4台进行质量检验；
（2）科学会堂有32排座位，每排有40个座位（座号为1～40），一次报告会坐满了听众，会后为听取意见留下了座号为18的所有32名听众进行座谈；
（3）光远中学有180名教职工，其中教师136名，管理人员20名，后勤服务人员24名，为征求某项意见，现从中抽取一个容量为15的样本．
【答案】（1）简单随机抽样；（2）系统抽样；（3）分层抽样．
【解析】（1）所述问题中总体中的个体数和样本容量均较少，故宜用简单随机抽样法；（2）所述问题具有总体中的个体数较多，且每个个体无明显差异的特点，所以适宜用系统抽样法；（3）所述问题的总体中的个体具有明显差异，即出现了3个层次，因此适宜用分层抽样法．
【总结升华】总体容量较小宜用抽签法；总体容量较大，而样本容量较小宜用随机数表法；总体容量较大，样本容量也较大的宜用系统抽样法；总体是由差异明显的几个层次组成，宜用分层抽样法．
【变式1】一个单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人，为了了解职工的收入情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如何去抽取？
方法一：将160人从1到160编上号，然后将用白纸做成的有1～160号的160个号签放入箱内搅匀，最后从中抽取20个签，与签号相同的20个人被选出．
方法二：将160人从1至160编号，按编号顺序分成20组，每组8人，令1～8号为第一组，9～16号为第二组，……，153～160号为第20组．从第一组中用抽签方式抽到一个为k号（1≤k≤8），其余组是（k+8n）号（n=1，2，3，…，19），以此抽取20人．
方法三：按20∶160=1∶8的比例，从业务员中抽取12人，从管理人员中抽取5人，从后勤服务人员中抽取3人，都用简单随机抽样法从各类人员中抽取所需人数，他们合在一起恰好抽到20人．
以上的抽样方法，依次是简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的顺序是（ ）．
A．方法一、方法二、方法三 B．方法二、方法一、方法三
C．方法一、方法三、方法二 D．方法三、方法一、方法二
【答案】C
例2．一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？
【思路点拨】总体由不到35岁、35岁至49岁与50岁及50岁以上的个体构成，个体的差异较大，适合用分层抽样法．
【解析】用分层抽样来抽取样本，步骤是：
（1）分层．按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．
（2）确定每层抽取个体的个数．抽样比为，则在不到35岁的职工中抽125×=25（人）；
在35岁至49岁的职工中抽280×=56（人）；
在50岁及50岁以上的职工中抽95×=19（人）．
（3）在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本．
（4）综合每层抽样，组成样本．
【总结升华】本小题主要考查分层抽样的概念和运算以及抽样过程. 求解总体由差异明显的个体构成的问题时，适合用分层抽样法.分层后，各层的个体数较多时，可采用系统抽样或随机数表法抽取出各层中的个体，一定要注意按比例抽取．
【变式1】某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生．
【答案】40
【变式2】某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组（1～5号，6～10号，…，196～200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．
【答案】37 20
【变式3】某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽取二年级女生的可能性0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为________．
【答案】16
【思路点拨】由题意，二年级女学生数为2000×0.19=380人，由此可计算三年级学生数和三年级学生所占的比例，按此比例即可求出三年级抽取的学生人数．
【解析】由题意，二年级女学生数为2000×0.19=380人，
所以三年级的学生数为：2000―373―377―380―370=500人，所占比例为
所以应在三年级抽取的学生人数为
故答案为：16
考点四：获取数据的途径
例1．（2020·江苏苏州·高一期中）某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级名学生的考试成绩，从中随机抽取了名学生的成绩，就这个问题来说，下面说法正确的是（ ）
A．名学生是总体 B．每个学生是个体
C．名学生的成绩是一个个体 D．样本的容量是
【答案】D
【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的概念即可判断.
【详解】由题可得，总体为名学生的成绩，个体是每个学生的成绩，样本是抽取的100名学生的成绩，样本容量为100.
故选：D.
【变式1】（2019·河南·信阳市第一高级中学高一期中（理））某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生人数是高一学生人数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生人数为
A．8 B．11
C．16 D．10
【答案】A
【详解】若设高三学生数为x，则高一学生数为，高二学生数为＋300，所以有x＋＋＋300＝3 500，解得x＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为＝8.
故答案为：A
点睛：设出高一年级的人数，根据三个年级人数之间的关系，写出高二和高三的人数，根据学校共有的人数，得到关于高一人数的方程，解方程得到高一人数，用人数乘以抽取的比例，得到结果．本题考查分层抽样，在分层抽样之前有一个小型的运算，是一个基础题，运算量不大，可以作为选择和填空出现．分层抽样主要用于个体数量较多，且个体间具有明显差异的，这时采用分层抽样合适．
【变式2】（2022·江苏淮安·高一期末）为了加快新冠病毒检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再单独做检测．该检测机构采用了“10合1检测法”对2000人进行检测，检测结果为5人呈阳性，且这5个人来自4个不同的检测组，则总检测的次数是（ ）
A．210 B．230 C．240 D．250
【答案】C
【分析】根据第一轮、第二轮检测的次数求得总检测的次数.
【详解】根据题意，采用“10合1检测法”对2000人进行检测，
需要先将2000人按每组10人进行分组，需要分200组，即需要检测200次，
结果为5人呈阳性，且这5个人来自4个不同的检测组，需要对这4组进行第二轮检测，需要检测40次，
则一共需要检测200+40=240次.
故选：C
【变式3】（2021·浙江温州·高一期末）某高中共有30个班级，每班40人，每班选派2人参加反诈骗知识调查活动，在此次调查活动中样本量是（ ）
A．40 B．60 C．80 D．1200
【答案】B
【分析】由题意直接计算即可
【详解】解：因为共有30个班组，且每班选派2人参加反诈骗知识调查活动，
所以共选派60人参加反诈骗知识调查活动，
所以样本容量为60，
故选：B
【变式4】（2021·山西太原·高一期末）将一个容量为的样本分成2组，已知第一组频数为8，第二组的频率为0.80，则为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
【答案】B
【分析】先求出第一组的频率，再利用频数与频率的关系可求出
【详解】解：因为将一个容量为的样本分成2组，第二组的频率为0.80，
所以第一组的频率为，
因为第一组频数为8，
所以，
故选：B
【变式5】（2021·吉林·四平市第一高级中学高一期末）下列调查方式中，不适合的是（ ）
A．调查一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式
B．调查某班学生的体重，采用普查的方式
C．调查一条河流的水质，采用抽查的方式
D．调查某鱼塘中草鱼的平均重量，采用抽查的方式
【答案】A
【分析】用普查与抽查的定义逐一判断即可
【详解】对于A：调查一批灯泡的使用寿命，破坏性较强，应采用抽查的方式；
对于B：调查某班学生的体重，要求结果精确，故因采用普查的方式；
对于C：调查一条河流的水质，因为所调查的对象范围广，应采用抽查的方式；
对于D：调查某鱼塘中草鱼的平均重量，因为所调查的对象范围广，且捕捉不易，应采用抽查的方式；
故选：A
【变式6】（2021·天津河西·高一期末）下列情况适合用全面调查的是（ ）．
A．了解一批玉米种子的发芽率
B．了解某城市居民的食品消费结构
C．调查一个县各村的粮食播种面积
D．调查一条河的水质
【答案】D
【分析】根据全面查得抽样调查的定义逐一判断即可
【详解】A．了解一批玉米种子的发芽率适合抽样调查，故不符合题意；
B．了解某城市居民的食品消费结构适合抽样调查，故不符合题意；
C．调查一个县各村的粮食播种面积适合抽样调查，故不符合题意；
D．调查一条河的水质适合全面调查，故符合题意；
故选：D．
【变式7】（2021·湖北孝感·高一期末）下列调查方式合适的是（ ）
A．为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查的方式
B．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式
C．为了了解一条河流的水质，采用抽查的方式
D．为了了解一个班级的学生每周体育锻炼的时间，采用抽查的方式
【答案】C
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答
【详解】解：对于A，为了了解一批炮弹的杀伤半径，具有破坏性，只能采用抽样调查，所以A错误，
对于B，为了了解一批玉米种子的发芽率，数量太多，所以只能采用抽样调查，所以B错误，
对于C，为了了解一条河流的水质，数量多，所以只能采用抽样调查，所以C正确，
对于D，为了了解一个班级的学生每周体育锻炼的时间，数量少，所以采用普查的方式，所以D错误，
故选：C
【变式8】（2021·天津·高一期末）一支田径队有男、女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层随机抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是（ ）
A．12 B．15
C．18 D．21
【答案】A
【分析】根据分层抽样等比例关系列式即可求出.
【详解】解析：由题意，抽取女运动员的人数为．
故选：A.
例2（多选）．（2020·江苏·苏州新草桥中学高一期中）为了了解参加运动会的名运动员的年龄情况，从中抽取了名运动员的年龄进行统计分析.就这个问题，下列说法中正确的有（ ）
A．名运动员是总体； B．所抽取的名运动员是一个样本；
C．样本容量为； D．每个运动员被抽到的机会相等.
【答案】CD
【分析】根据总体、样本、总体容量、样本容量等概念及在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会均等即可求解.
【详解】由已知可得，名运动员的年龄是总体，名运动员的年龄是样本，总体容量为，样本容量为，在整个抽样过程中每个运动员被抽到的机会均为，所以A、 B 错误，C、D正确.
故选：CD.
【点睛】本题主要考查总体、样本、总体容量、样本容量等概念及抽样的公平性问题，属基础题.
【变式1】（多选）（2021·江苏·高一期末）某市12月17日至21日期间空气质量呈现重度及以上污染水平,经市政府批准,该市启动了空气重污染红色预警,期间实行机动车“单双号”限行等措施.某报社会调查中心联合问卷网,对2400人进行问卷调查,并根据调查结果得到如下饼图则下列结论正确的是（ ）
A．“不支持”部分所占的比例大约是整体的;
B．“一般”部分所占的人数估计是800人;
C．饼图中如果圆的半径为2,则“非常支持”部分扇形的面积是;
D．“支持”部分所占的人数估计是1100人
【答案】ACD
【解析】根据支持是，约占总体的一半，所以圆的面积是，依次进行判断即可。
【详解】A选项：“不支持”部分所占，所以比例大约是整体的，正确。
B选项：“一般”部分所占比例为，所以占的人数估计是人，不正确；
C选项：“非常支持”部分占比例，所以面积是，正确；
D选项：“支持”部分所占比例，共有，正确.
故选：ACD
【点睛】此题考查饼图在实际问题的应用，注意各部分所占比重，属于简单题目。
例3．（2021·广东佛山·高一期末）经问卷调查，某班学生对“羽毛球”运动分别执“爱好”、“不爱好”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不爱好”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生对班级是否购置羽毛球拍进行表决，如果选出5位“爱好”羽毛球的同学，1位“不爱好”羽毛球的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“爱好”羽毛球的比全班人数的一半还多___________人．
【答案】3
【分析】根据分层抽样的比例设出各层人数，然后根据“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人求解出各层人数，由此可知“喜欢羽毛球”的人数以及全班人数，则结果可求.
【详解】按分层抽样方法从全班选出部分学生对班级是否购置羽毛球拍进行表决，
5位“爱好”羽毛球的同学，1位“不爱好”羽毛球的同学和3位执“一般”态度的同学，
因为采用的是分层抽样且三类同学的人数比例为，
所以可设三类同学的人数分别为，
依题意，解得，
所以“喜欢”羽毛球的同学共有人，全班共有人，
所以人，
那么全班学生中“爱好”羽毛球的比全班人数的一半还多人.
故答案为：3.
【变式1】（2021·江苏·泰州中学高一期末）某地有1000人参加自学考试，为了了解他们的成绩，从中抽取一个样本，若每个考生被抽到的概率都是0.04，则这个样本的容量是__________.
【答案】40
【分析】每个考生被抽到的概率等于样本容量与总体数目的比值.
【详解】由题知，样本容量.
故答案为：40.
【变式2】（2017·河南·安阳三十五中高一期末）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为______.
【答案】
试题分析：设应抽取的男生人数为为，所以有，应抽取25人
考点：分层抽样
例4．（2019·新疆·奎屯市第一高级中学高一期末（文））针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：
支持
保留
不支持
岁以下
岁以上（含岁）
(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了人，求的值；
(2)在接受调查的人中，有人给这项活动打出的分数如下：，，，，，，，，，，把这个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过的概率．
【答案】(1)120;(2).
【分析】（1）参与调查的总人数为20000，其中从持“不支持”态度的人数5000中抽取了30人，由此能求出n.（2）总体的平均数为9，与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2,8.3,9.7，由此能求出任取1个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.
【详解】（1）参与调查的总人数为8000+4000+2000+1000+2000+3000=20000,其中不支持态度的人数2000+3000=5000中抽取了30人，所以n=.
（2）总体的平均数
与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2,8.3,9.7，所以任取一个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.
【点睛】本题主要考查了样本容量的求法，分层抽样，用列举法求古典概型的概率，属于中档题.
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．（2022·北京师大附中高一期末）从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成，等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得B等级的学生人数为（ ）
A．30 B．60 C．80 D．28
【答案】C
【分析】根据分层抽样的概念即得．
【详解】由题可知该样本中获得B等级的学生人数为．
故选：C．
2．（2022·宁夏·银川二中高一期末）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生人数是高一学生人数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300人，现在用分层抽样的方法抽取的样本容量为35，则应抽取高一学生人数为（ ）
A．8 B．11 C．16 D．10
【答案】A
【分析】先求出高一学生的人数，再利用抽样比，即可得到答案；
【详解】设高一学生的人数为人，则高二学生人数为，高三学生人数为，
，
，
故选：A
3．（2022·广西桂林·高一期末）要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查有关消费购买力的某项指标；（2）从某中学高一年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况；应采用的抽样方法分别是（ ）
A．（1）用简单随机抽样，（2）用分层随机抽样 B．（1）（2）都用简单随机抽样
C．（1）用分层随机抽样，（2）用简单随机抽样 D．（1）（2）都用分层随机抽样
【答案】C
【分析】根据简单随机抽样、分层抽样的适用条件进行分析判断.
【详解】因为有关消费购买力的某项指标受家庭收入的影响，而社区家庭收入差距明显，所以①用分层抽样；
从10名体育特长生中抽取3人调查学习情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单随机抽样.
故选：C
4．（2022·河南焦作·高一期末）某校高一､高二､高三的学生人数分别为800，750，650，为了解学生的视力情况，现用分层随机抽样的方法从中抽取部分学生进行调查，若样本中高二学生的人数为30，则这次调查的样本容量为（ ）
A．88 B．90 C．92 D．94
【答案】A
【分析】设样本容量为x，然后由分层抽样的定义列方程求解即可
【详解】设样本容量为x，则，解得x=88.
故选：A
5．（2022·广西北海·高一期末）某地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大，为了解该地区中小学生的视力情况，最合理的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样 B．按性别分层随机抽样
C．按学段分层随机抽样 D．其他抽样方法
【答案】C
【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样.
【详解】因为某地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，男、女生视力情况差异不大，然而学段的视力情况有较大差异，则应按学段分层抽样，
故选：.
6．（2021·江西景德镇·高一期末）总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．08 B．15 C．16 D．19
【答案】D
【分析】直接根据随机数表依次选取，遇到超出范围或重复的数据要丢弃
【详解】随机数表第1行的第5列和第6列数字为15，则选取的5个个体依次为：15，08，02，16，19
故选出来的第5个个体的编号为19
故选：D
7．（2022·江西·景德镇一中高一期末）总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
第1行78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98
第2行32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
A．19 B．25 C．26 D．27
【答案】B
【分析】利用随机数表法列举出样本的前个个体的编号，由此可得出结论.
【详解】由随机数表法可知，样本的前个个体的编号分别为、、、、，
因此，选出的第个个体的编号为.
故选：B
8．（2022·浙江省开化中学高一期末）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和估计抽取的高中生近视人数分别为（ ）
A．180，40 B．180，20 C．180，10 D．100，10
【答案】B
【分析】利用总量乘以抽取比例即可得到样本容量；根据图表可知高中生近视率 从而估计抽取的高中生近视人数
【详解】所有学生数为3000+4000+2000=9000，故样本容量为 9000×2%=180，
根据图甲以及抽取百分比可知，样本中高中生人数为2000×2%=40，
根据图乙可知，抽取的高中生近视人数为40×50%=20，
故选：B．
9．（2022·山东潍坊·高一期末）国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的末来”.某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第三个号码为（ ）
随机数表如下：
A．13 B．24 C．33 D．36
【答案】D
【分析】随机数表进行读数时，确定开始的位置以及位数，逐一往后即可，遇到超出范围或重复的数字跳过即可.
【详解】根据随机数表的读取方法，第2行第4列的数为3，每次从左向右选取两个数字，所以第一组数字为32，作为第一个号码；第二组数字58，舍去；第三组数字65，舍去；第四组数字74，舍去；第五组数字13，作为第二个号码；第六组数字36，作为第三个号码，所以选取的第三个号码为36
故选：D
二、填空题
10．（2022·江西·高一期末）某校高一（1）班有30名男生和20名女生，采用分层随机抽样的方法从中抽取10名学生进行学习习惯调查，则抽取的男生人数为______.
【答案】6
【分析】根据题意，求得抽样比，即可求得男生应抽取的人数.
【详解】根据题意，分层抽样的抽样比为，故抽取的男生人数为人.
故答案为：.
11．（2022·安徽蚌埠·高一期末）利用随机数表法对一个容量为90，编号为00，01，02，…，89的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第2行第3列的数开始向右读数（下面摘取了随机数表中的第1行至第5行），根据下图，读出的第3个数是___________.
【答案】75
【分析】根据随机数表法进行抽样即可.
【详解】从随机数表的第2行第3列的数开始向右读数，第一个编号为62，符合；第二个编号为38，符合；第三个编号为97，大于89，应舍去；下一个编号为75，符合.
所以读出的第3个数是：75.
故答案为：75.
12．（2022·江西·新余市第一中学高一期末）某学校在校学生有2000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且，全校参加登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取人数为______.
【答案】
【分析】由题意求得样本中抽取的高三的人数为人进而求得样本中高三年级参加登山的人，即可求解.
【详解】由题意，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且，
所以样本中抽取的高三的人数为人，
又因为全校参加登山的人数占总人数的，
所以样本中高三年级参加登山的人数为，
所以样本中高三年级参加跑步的人数为人.
故答案为：.
13．（2021·广东广州·高一期末）某公司青年、中年、老年员工的人数之比为10∶8∶7，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是0.2，则该公司青年员工的人数为__________．
【答案】200
【分析】先根据分层抽样的方法计算出该单位青年职工应抽取的人数，进而算出青年职工的总人数.
【详解】由题意，从中抽取100名员工作为样本，需要从该单位青年职工中抽取（人）.因为每人被抽中的概率是0.2，所以青年职工共有（人）.
故答案为：200.
14．（2020·江西九江·高一期末）将一个共有20个个体的总体编号为00，01，02，…，19，根据随机数表法从中抽取一个容量为8的样本，从随机数表的第13行、第11列开始读，依次获取样本号码，直至取满为止，则取出的第5个样本编号为______（附：随机数表第13行：83 45 39 96 34 06 28 89 80 83 13 74 57 00 78 18 47 54 06 10 68 71 17 78 17）
【答案】10
【分析】随机数表第13行、第11列的数字为0，依次取出即可.
【详解】随机数表第13行、第11列的数字为0，故依次可得：
06,28（舍），89（舍），80（舍），83（舍），13,74（舍），57（舍），00,78（舍），18,47（舍），54（舍），06,10，
故第5个样本编号为10，
故答案为：10
三、解答题
15．（2021·山东菏泽·高一期末）某机械厂三个车间共有工人1000名，各车间男､女工人数如下表：
第一车间
第二车间
第三车间
女工
170
120
男工
180
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是，其中第三车间的男女比例为.
（1）求，，的值.
（2）现用分层抽样的方法在全厂男工人中抽取55名工人进行技术比武，则在第三车间抽取多少名男工人？
【答案】（1），，；（2）24名.
【分析】（1）根据题意可得，可求出，再由第三车间的工人数是，以及男女比例即可求解.
（2）根据分层抽样比即可求解.
【详解】解：（1）由，得.
因为第一车间的工人数是，
第二车间的工人数是，
所以第三车间的工人数是.
所以，.
（2）设应从第三车间抽取名工人，
共有男工人，
则由，得，
所以应在第三车间抽取24名男工人.
16．（2021·福建省福州第一中学高一期末）为了解某年级学生对《居民家庭用电配置》的了解情况，校有关部门在该年级进行了一次问卷调查(共10道题)，从该年级学生中随机抽取24人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]五组，得到如下频率分布直方图.
（1）估计这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（2）用分层随机抽样的方法从[4，6)，[6，8)，[8，10]的组别中共抽取12人，分别求出抽取的三个组别的人数；
（3）若从答对题数在[2，6)内的人中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2，4)内的概率.
【答案】（1）；（2）4人､6人､2人；（3）.
【分析】（1）利用频率分布直方图的各组的中间值进行计算求出平均值的估计值；
（2）根据[4，6)，[6，8)，[8，10]的频率，求出此区间内的总人数，再根据需要取的样本总数，确定分层比例，即可求出结果；
（3）利用列举法求出所有结果，根据古典概型即可求出结果．
【详解】解：（1）在[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]的概率分别为，，，，
则估计这组数据的平均数为.
（2）由题意可知在中的总人数为人；
又采用分层抽样的方法抽取人，所以内抽取人；
所以内抽取人；
所以内抽取人；
所以在分别抽取4人､6人､2人，
（3）由题图可知，答对题数在[4，6)中有6人，分别设为，，，，，，
答对题数在[2，4)中有3人，分别设为，，，
从答对题数在[2，6)内的人中随机抽取2人的情况有
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
共有36种.
恰有1人答对题数在[2，4)内的情况有
，，，，，，，，，，，，，，，，，，
共有18种.
故所求概率.
17．（2021·天津滨海新·高一期末）垃圾分类，人人有责.2020年12月1日，天津市正式实施《天津市生活垃圾管理条例》，根据条例，市民要把生活垃圾分类后方能够投放．已知滨海新区某校高一、高二、高三3个年级学生的环保社团志愿者人数分别为30，15，15．现按年级进行分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取4名同学参加垃圾分类知识交流活动．
（1）应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取多少人？
（2）设抽出的4名同学分别用表示，现从中随机抽取2名同学分别在上午和下午作交流发言．
（i）写出这个试验的样本空间；
（ii）设事件“抽取的2名同学来自不同年级”，求事件发生的概率．
【答案】（1）高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取2人、1人、1人；（2）（i）;
（ii）．
【分析】（1）求出抽样比，从而可求出答案；
（2）（i）列举法即可写出样本空间；（ii）列举法求出事件包含的样本点，再根据古典概型的概率计算公式求解即可．
【详解】解：（1）设抽取高一､高二､高三3个年级的环保社团志愿者人数分别为，
由分层抽样，得，
解得，
∴应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取2人、1人、1人；
（2）（i）样本空间为：
，
共有12个样本点，每个样本点都是等可能发生的；
（ii）由（1），不妨设抽出的4名同学中，来自高一年级的是，来自高二年级的是，来自高三年级的是，
∵，
∴，
∴事件发生的概率．
18．（2020·山东日照·高一期末）已知某中学高一、高二、高三三个年级的青年学生志愿者人数分别为180,120,60，现采用分层抽样的方法从中抽取6名同学去森林公园风景区参加“保护鸟禽，爱我森林”宣传活动.
（1）应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（2）设抽取的6名同学分别用A，B，C，D，E，F表示，现从中随机抽取2名学生承担分发宣传材料的工作设事件M=“抽取的2名学生来自高一年级”，求事件M发生的概率.
【答案】（1）从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，1人,（2）
【解析】(1)根据分层抽样的方法求解即可.
(2)利用古典概型的方法枚举所有基本事件求解即可.
【详解】（1）由己知，高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：1，
由于采用分层抽样的方法从中抽取6名学生，抽样比为，
故从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，1人.
（2）从抽取的6名学生中随机抽取2名同学的所有可能结果为，，共15种.
不妨设抽取的6名学生中，来自高一的是A，B，C，则从抽取的6名学生中随机抽取2名同学来自高一年级的所有可能结果为共3种，
所以事件M发生的概率为.
【点睛】本题主要考查了分层抽样以及古典概型的方法,属于基础题型.
题组B 能力提升练
一、单选题
1．（2021·广西·钦州市第四中学高二期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．有甲､乙､丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为，则样本容量为
B．若甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是甲
C．数据，，，，，的平均数､众数､中位数相同
D．某单位､､三个部门平均年龄为岁､岁和岁，又，两部门人员平均年龄为岁，､两部门人员平均年龄为岁，则该单位全体人员的平均年龄为岁
【答案】D
【分析】对于选项根据分层抽样的定义可判断正误，对于选项求出乙组数据的方程，与甲组数据的方差比较，可判断正误，对于选项求出数据的平均数、众数、中位数即可判断正误，对于选项设，，三个部门的人数为，，，根据题意可得，，从而求出该单位全体人员的平均年龄．
【详解】解：对于选项：如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为，故选项是假命题，
对于选项：乙组数据的平均数为，方差为，
因为乙组数据的方程比甲组数据的方差小，所以这两组数据中较稳定的是乙，
故选项是假命题，
对于选项：数据1，2，3，4，4，5的平均数为、众数为4、中位数为，故选项是假命题，
对于选项：设，，三个部门的人数为，，，则有：
，化简得，
，化简得，
所以该单位全体人员的平均年龄为岁，
故选项是真命题，
故选：．
2．（2020·江苏扬州·高二期中）一百个高矮互不相同的士兵，排成一个十行十列的方阵.现在从每行中选出一个最高的，再从这些最高的中选出一个最矮的，其高度记为h(高中矮)；然后从每列中选出一个最矮的，再从这个最矮的中间选出一个最高的，其高度记为h(矮中高)，则（ ）
A．h(高中矮)>h(矮中高) B．h(高中矮)h(矮中高)
C．h(高中矮)
【解析】按照高中矮者与矮中高者是否同列分两类讨论，如果不同列，再按照是否同行分两类讨论，根据高中矮者与矮中高者的定义分析可得结果.
【详解】当高中矮者与矮中高者在同一列时，高中矮者与矮中高者是同一个人，所以h(高中矮)h(矮中高)；
当高中矮者与矮中高者不在同一列且在同一行且时，h(高中矮)h(矮中高)；
当高中矮者与矮中高者不在同一列且不在同一行时，高中矮者身高大于与高中矮者同行且与矮中高者同列的那个人的身高，而矮中高者身高又小于与高中矮者同行且与矮中高者同列的那个人的身高，所以h(高中矮)h(矮中高)；
综上所述：h(高中矮)h(矮中高)
故选：B
【点睛】关键点点睛：按照高中矮者与矮中高者是否同行、同列分类讨论是解题关键.
3．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高二期中）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
【答案】A
【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．
【详解】设9位评委评分按从小到大排列为．
则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，
中位数仍为，A正确．
②原始平均数，后来平均数
平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确
③
由②易知，C不正确．
④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．
【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.
4．（2020·广东·二师番禺附属初中高一期中）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为
A．400，40 B．200，10 C．400，80 D．200，20
【答案】A
【分析】由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取的高中生近视人数.
【详解】用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，
样本容量为：，
抽取的高中生近视人数为：，
故选A.
【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有扇形图与条形图的应用，以及分层抽样的性质，注意对基础知识的灵活应用，属于简单题目.
二、填空题
5．（2021·重庆·高一期末）为了研究疫情病毒和人的血型间的关系，在被感染的2400人中，O型血有800人，A型血有600人，B型血有600人，AB型血有400人．在这2400人中，采用分层抽样的方法抽取一个容量为120人的样本，则应从O型血中抽取的人数为_____．
【答案】40
【分析】直接根据其所占比例求解即可.
【详解】因为在被感染的2400人中，O型血有800人，A型血有600人，B型血有600人，AB型血有400人，即O型血的人数占，
所以应从O型血中抽取的人数为
故答案为：40
6．（2021·广东梅州·高一期末）重庆一中高一，高二，高三的模联社团的人数分别为25，15，10，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取5名同学，若从这5名同学中再随机抽取2名同学承担文件翻译工作，则抽取的两名同学来自同一年级的概率为__________.
【答案】
【分析】由人数之比求出抽出的5名同学中高二、高三年级人数，通过列举出从这5名同学中再随机抽取2名同学的所有可能即可求出抽取的两名同学来自同一年级的概率.
【详解】解：高二高三抽取人数之比为，所以5名同学中高二有3人，高三有2人，
设高二3人为，高三2人为，则随机抽取2名同学的可能有
共十种可能，
其中抽取的两名同学来自同一年级的有四种可能，则
抽取的两名同学来自同一年级的概率为,
故答案为:.
【点睛】本题考查了分层抽样，考查了古典概型概率的求解.本题的关键是求出高二、高三各抽出的人数.
7．（2020·天津·耀华中学高一期中）某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为________．
【答案】78
【分析】由题意求出高三学生人数，再根据高一学生的抽样比计算高三抽样人数即可.
【详解】设学校有高三学生x人，则高二学生x＋30人，∴x＋(x＋30)＋480＝1290，解得x＝390人，该样本中的高三人数为×390＝78人．
【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，意在考查学生的基本运算能力，属于中档题．
三、解答题
8．（2021·河北张家口·高一期末）某公司为了解员工对食堂的满意程度，对全体100名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂打分，将最终得分按，，，，，分成6段，并得到如图所示频率分布直方图.
（1）估计这100名员工打分的众数和中位数（保留一位小数）；
（2）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取11个人，求这组抽取的人数.
【答案】（1）众数为75，中位数为；（2）7人.
【分析】（1）根据中位数和众数的定义结合频率分布直方图即可得出答案；
（2）根据频率分布直方图分别求出，，的人数，任何根据分层抽样即可求出从抽取的人数.
【详解】解：（1）由题意得众数为75，
的频率为，
的频率为，
设中位数为a，，.
（2）的人数：，的人数：，的人数：，抽样比例为，
从抽取的人数：.
9．（2020·湖南·长沙县实验中学高一期末）某高级中学今年高一年级招收“国际班”学生人，学校为这些学生开辟了直升海外一流大学的绿色通道，为了逐步提高这些学生与国际教育接轨的能力，将这人分为三个批次参加国际教育研修培训，在这三个批次的学生中男、女学生人数如下表：
第一批次
第二批次
第三批次
女
男
已知在这名学生中随机抽取名，抽到第一批次、第二批次中女学生的概率分别是.
（1）求的值；
（2）为了检验研修的效果，现从三个批次中按分层抽样的方法抽取名同学问卷调查，则三个批次被选取的人数分别是多少？
（3）若从第（2）小问选取的学生中随机选出两名学生进行访谈，求“参加访谈的两名同学至少有一个人来自第一批次”的概率.
【答案】(1)；(2)；(3).
【详解】分析：（1）由题意结合所给的数据计算可得；
（2）由题意结合分层抽样比计算可得第一批次，第二批次，第三批次被抽取的人数分别为
（3）设第一批次选取的三个学生设为第二批次选取的学生为 ，第三批次选取的学生为，利用列举法可得从这名学员中随机选出两名学员的所有基本事件为个，“两名同学至少有一个来自第一批次”的事件包括共个，由古典概型计算公式可得相应的概率值为.
详解：（1）
；
（2）由题意知，第一批次，第二批次，第三批次的人数分别是
所以第一批次，第二批次，第三批次被抽取的人数分别为
（3）第一批次选取的三个学生设为第二批次选取的学生为 ，第三批次选取的学生为，则从这名学员中随机选出两名学员的所有基本事件为：
共个，
“两名同学至少有一个来自第一批次”的事件包括：
共个，
所以“两名同学至少有一个来自第一批次”的概率.
点睛：本题主要考查古典概型，分层抽样等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．（2020·陕西·吴起高级中学高一期末）自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：
20以下
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70]
70以上
使用人数
3
12
17
6
4
2
0
未使用人数
0
0
3
14
36
3
0
（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30，50）且未使用自由购的概率；
（2）从被抽取的年龄在[50，70]使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在[50，60）的概率；
（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？
【答案】（1）．（2）；（3）个
【分析】（1）直接计算概率得到答案.
（2）列出所有情况，包含15个基本事件，满足条件的共有6个基本事件，计算得到概率.
（3）按照比例关系计算得到答案.
【详解】（1）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，
所以随机抽取一名顾客，该顾客年龄在[30，50）且未参加自由购的概率估计为．
（2）设事件A为“这2人年龄都在[50，60）”.
被抽取的年龄在[50，60）的4人分别记为a1，a2，a3，a4，
被抽取的年龄在[60，70]的2人分别记为b1，b2，
从被抽取的年龄在[50，70]的自由购顾客中随机抽取2人
共包含15个基本事件，
分别为a1a2，a1a3，a1a4，a1b1，a1b2，a2a3，a2a4，a2b1，a2b2，a3a4，
a3b1，a3b2，a4b1，a4b2，b1b2，
事件A包含6个基本事件，
分别为a1a2，a1a3，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4，
则；
（3）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有3+12+17+6+4+2＝44人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为．
【点睛】本题考查了概率的计算，总体估计，意在考查学生的计算能力和应用能力.
11．（2020·重庆九龙坡·高一期末）随着手机的普及，大学生迷恋手机的现象非常严重.为了调查双休日大学生使用手机的时间，某机构采用不记名方式随机调查了使用手机时间不超过10小时的50名大学生，将50人使用手机的时间分成5组：，，，，分别加以统计，得到下表，根据数据完成下列问题：
使用时间/时
大学生/人
5
10
15
12
8
（1）完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计大学生使用手机时间的中位数（保留小数点后两位）；
（2）用分层抽样的方法从使用手机时间在区间，，的大学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人取自不同使用时间区间的概率.
【答案】（1）频率分布直方图见解析，中位数约为5.33小时；（2）
【分析】（1）根据题中数据，完成频率分布表，可完成频率分布直方图，设中位数为，则，可得中位数；
（2）分别求出从6人中随机抽取2人总的事件数及2人取自不同使用时间区间的事件数，由古典概型公式可得概率.
【详解】解：（1）根据题意，可将数据做如下整理：
使用时间/时
大学生/人
5
10
15
12
8
频率
0.1
0.2
0.3
0.24
0.16
频率/组距
0.05
0.1
0.15
0.12
0.08
设中位数为，则，解得.
∴大学生每天使用手机时间的中位数约为5.33小时.
（2）用分层抽样的方法从使用时间在区间，，中抽取的人数分别为1，2，3，分别设为，，，，，，所有的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，这2名大学生取自同一时间区间的基本事件，，，，设这2名大学生取自不同使用时间区间为事件，符合条件的总事件数为15，在同一区间内的情形有4种情况，∴，
故这2名年轻人取自不同使用时间区间的概率为..
【点睛】本题考查了频率分布直方图及系统抽样的相关性质，考查了分层抽样的使用及概率的求法，考查了推理与计算能力，是中档题.
12．（2020·青海·湟川中学高一期末）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为.
（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
【答案】(1) ，；(2) ，.
【分析】(1)由及频率和为1可解得和的值；(2)根据公式求平均数.
【详解】
(1)由题得，解得，由，解得.
(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为，
乙离子残留百分比的平均值为
【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题
第12讲随机抽样（核心考点讲与练）
一．简单随机抽样
(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．
(3)应用范围：总体中的个体数较少．
二．系统抽样
(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．
(2)系统抽样的操作步骤
第一步编号：先将总体的N个个体编号；
第二步分段：确定分段间隔k，对编号进行分段，当(n是样本容量)是整数时，取k＝；
第三步确定首个个体：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
第四步获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．
(3)应用范围：总体中的个体数较多．
三．分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
四、获取数据的途径：
1、通过调查获取数据：
（1）适用类型：对于有限总体问题，如人口总数、城乡就业状况、农村贫困人口脱贫状况、生态环境改善状况、青少年受教育状况、高中生近视的比例、产品合格率、高中生日平均上网时间等问题，我们一般通过抽样调查或普査的方法获取数据。
（2）注意事项：在实际应用中，关键在于是否能充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误。
2、通过试验获取数据：
（1）适用类型：没有现存的数据可以查询，就需要通过对比试验的方法去获取样本观测数据。
（2）注意事项：通过试验获取数据时，我们需要严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量，为获得好的分析结果奠定基础。
3、通过观察获取数据：
（1）适用类型：很多自然现象都不能被人类所控制，自然现象会随着时间的变化而变化，不能用我们已经学过的有限总体来刻画，也就不能用抽样的方法获取观测数据；另一方面，由于自然现象不能被人为控制，也不能通过试验获取观测数据。研究这类现象，只能通过长久的持续观察获取数据。
（2）注意事项：对于各个不同的行业，往往需要专业测量设备获取观测数据。随着科技水平的提高，专业测量设备的自动化程度越来越高，通过观测获取和存储数据的成本越来越低，这成为大数据产生的根源。
4、通过查询获取数据：
（1）适用类型：有些问题，可能有众多专家研究过，他们在研究中所收集的样本观测数据可能存储于学术论文、专著、新闻稿、公报或互联网上，这些数据是宝贵的财富，我们可以收集前人的劳动成果并加以利用，从而减少收集数据的成本。我们往往把这样获得的数据叫做二手数据。随着信息技术的发展，通过互联网获取数据越来越成为获取二手数据的主要方式。
（2）注意事项：从网络上查找的数据，因为数据来历和渠道多样，所以质量会参差不齐，必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真，为进一步的数据分析奠定基础。
考点一： 简单随机抽样
例1.下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
（1）从无数个个体中抽取50个个体作为样本；
（2）仓库中有l万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；
（3）某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴四川参加抗震救灾工作；
（4）一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．
【解析】（1）不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．
（2）不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．
（3）不是简单随机抽样．因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．
（4）是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．
【总结升华】 要判断所给的抽样方法是否是简单随机抽样．关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点：（1）总体的个数有限；（2）逐个抽取；（3）是不放回的抽取；（4）每个个体被抽到的可能性必须是相同的．
【变式1】下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
（1）某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动．
（2）从20个零件中一次性抽出3个进行质量检验．
（3）一小孩从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩．玩后放回再拿下一件，连续玩了5件．
【解析】（1）不是简单随机抽样．因为这不是等可能抽样．
（2）不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．
（3）不是简单随机抽样．因为这是有放回抽样．
例2．某大学为了支援西部教育事业，现从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组．请用抽签法设计抽样方案．
【解析】方案如下：
第一步：将18名志愿者编号，号码是01，02，…，18；
第二步：将号码分别写在形状、大小相同的纸条上，揉成团，制成号签；
第三步：将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀；
第四步：从袋子中依次抽取6个号签，并记录上面的编号：
第五步：所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．
【总结升华】一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否容易被搅匀．一般地，当样本容量和总体容量较小时可用抽签法．
【变式1】一个学生在一次竞赛中要回答的8道题是这样产生的：从15道物理题中随机抽3道；从20道化学题中随机抽3道；从12道生物题中随机抽2道．使用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科问题的序号（物理题的编号为01～15，化学题的编号为16～35，生物题的编号为36～47）．
【解析】第一步：将试题的编号01～47分别写在形状、大小相同的纸条上，将纸条揉成团制成号签，并将物理、化学、生物题的号签分别放在三个不透明的袋子中，充分搅匀．
第二步：从装有物理题的袋子中逐个抽取3个号签，从装有化学题的袋子中逐个抽取3个号签，从装有生物题的袋子中逐个抽取2个号签，并记录所得号签上的编号．这便是所要回答的三门学科问题的序号．
例3．从30个足球中抽取10个进行质量检测，说明利用随机数法抽取这个样本的步骤及公平性．
【思路点拨】首先将30个足球编号，在随机数表中随机的选一个数作为开始．从选定的数字向右读，得到二位数字，将它取出，把大于29的去掉，按照这种方法继续向右读，取出的二位数若与前面相同，则去掉，依次下去，就得到一个具有10个数据的样本，利用随机数表抽取样本保证了各个个体被抽取的机会是等可能的．
【解析】第一步：首先将30个足球编号：00，01，02，…29，
第二步：在随机数表中随机的选一个数作为开始．
第三步：从选定的数字向右读，得到二位数字，将它取出，把大于29的去掉，按照这种方法继续向右读，取出的二位数若与前面相同，则去掉，依次下去，就得到一个具有10个数据的样本．
其公平性在于：第一随机表中第一个位置上出现的哪一个数都是等可能的，
第二从30个个体中抽到哪一个个体的号码也是机会均等的，
基于以上两点，利用随机数表抽取样本保证了各个个体被抽到的机会是等可取的．
【总结升华】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略，在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．
【变式1】某校有学生1200人，为了调查某种情况，打算抽取一个样本容量为50的样本，问此样本若采用简单随机抽样将如何进行？
【解析】首先将该校学生都编上号码：0001，0002，0003，…，1200，如用随机数表法，则先在随机数表中选定一个数，如第5行第9列的数字6，从6开始向右连续读取数字，以4个数为一组，遇到右边线时向下错一行向左继续读取，所得数字如下：6438，5482，4622，3162，4309，9006，1844，3253，2383，0130，3046，1943，6248，3469，0253，7887，3239，737l，2845，3445，9493，4977，2261，8442，…，所抽取的数字如果小于或等于1 200，则对应此号的学生就是被抽取的个体；如果所抽取的数字大于1200，而小于或等于2400，则减去1200，剩余数字即是被抽取的学生号码；如果所抽取的数字大于2400，而小于或等于3600，则减去2400；依此类推．如果遇到相同的号码，则只留取第一次读取的数字，其余的舍去，这样被抽取的学生所对应的号码依次是：0438，0682，1022，0762，0709，0606，0644，0853，1183，0130，0646，0743．0248，1069，0253，0687，0839，0171，0445，1045，1093，0177，1061，0042，…，一直取足50人为止．
【变式2】要从10架钢琴中抽取4架进行质量检验，请你设计抽样方案．
【解析】解法一：（随机数表法）
第一步，将10架钢琴编号，号码是0，1，…，9．
第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第3行第6列的数“2”，向右读．
第三步，从数“2”开始，向右读，每次读取1位，重复数字只记录一次，依次可得到2，7，6，5．
第四步，以上号码对应的4架钢琴就是要抽取的对象．
解法二：（抽签法）
第一步，将10架钢琴编号，号码是0，1，…，9．
第二步，将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签
第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀．
第四步，从袋子中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号．
第五步，所得号码对应的4架钢琴就是要抽取的对象．
【总结升华】（1）将钢琴编号从0开始，10架钢琴用0—9就可表示，这样总体中的所有个体可用一位数表示，便于使用随机数表．
（2）用抽签法抽样关键是将号签搅匀．
考点二; 系统抽样
【例1】 (1)已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________．
(2)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )
A．50 B．40 C．25 D．20
解析 (1)由系统抽样知识知，第一组1～8号；第二组为9～16号；第三组为17～24号；第四组为25～32号；第五组为33～40号．第一组抽出号码为2，则依次为10，18，26，34.
(2)由系统抽样的定义知，分段间隔为＝25.故答案为C.
答案 (1)2，10，18，26，34 (2)C
【规律方法】(1)系统抽样又称“等距抽样”，所以依次抽取的样本对应的号码就组成一个等差数列，首项就是第1组所抽取的样本号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码，但有时也不是按一定间隔抽取的．(2)系统抽样时，如果总体中的个体数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．
例2．下列抽样中不是系统抽样的是（ ）．
A．从号码为1～15的15个球中任选3个作为样本，先在1～5号球中用抽签法抽出i0号，再将号码为i0+5，i0+10的球也抽出
B．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间的过程中，检查人员从传送带上每5 min抽取一件产品进行检验
C．弄某项市场调查，规定在商店门口随机地抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止
D．某电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈
【答案】C
【解析】本题的判定依据是系统抽样方法的特征：系统抽样适用于个体数目较多但均衡的总体．判断一种抽样是不是系统抽样，首先看是否在抽样前知道总体是由什么构成的，抽样的方法能否保证每个个体按事先规定的条件等可能入样，再看抽样过程中是否将总体分成了几个均衡的部分，是否在每个部分中进行简单随机抽样．
本题C显然不是系统抽样，因为事先不知道总体，抽样方法也不能保证每个个体等可能入样，总体也没有分成均衡的几部分，故C不是系统抽样．
【总结升华】系统抽样的特点：①适用于总体容量较大的情况；②剔除多余个体及第一段抽样都用简单随机抽样，因而与简单随机抽样有密切联系；③是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是n／N．
【变式1】下列抽样中，最适宜用系统抽样法的是（ ）
A．某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶8∶8∶2，从中抽取200名学生做样本
B．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本
C．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本
D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本
【答案】C
【解析】A中各区学生有区别，不好分成均衡的几部分，不适宜，B中抽取样本容量太小，不适宜．D中总体个数较少，不适宜．故选C
【总结升华】系统抽样适合总体容量较大且个体间差异较小的情况．
例3．为了了解某大学一年级新生英语学习的情况，拟从503名大学一年级学生中抽取50名作为样本，如何采用系统抽样方法完成这一抽样？
【思路点拨】由题设条件可知总体的个数为503，样本容量为50，不能整除，可采用随机抽样的方法从总体中剔除3个个体，使剩下的个体数500能被样本容量50整除，然后再采用系统抽样方法进行抽样．
【解析】
第一步，将503名学生用随机方式编号为1，2，3，…，503．
第二步，用抽签法或随机数表法剔除3个个体，这样剩下500名学生，对剩下的500名学生重新编号为1，2，3，…，500．
第三步，确定分段间隔k，将总体分为50个部分，每一部分包括10个个体，这时，第l部分的个体编号为1，2，…，10；第2部分的个体编号为11，12，…，20；依此类推，第50部分的个体编号为491，492，…，500．
第四步：在第1部分用简单随机抽样的方法确定起始的个体编号，例如5．
第五步：依次在第2部分，第3部分，…，第50部分取出号码为15，25，…，495的个体，这样就得到一个容量为50的样本．
【总结升华】 总体中的每个个体都必须等可能的入样，为了实现“等距”入样且又等概率，应先剔除，再“分段”，后定起始位．采用系统抽样是为了减少工作量，提高其可操作性，减少人为误差．
【变式1】为了了解某年级学习情况，计划从该年级504名学生中抽取50名学生作为样本，问如何采用系统抽样的方法完成这一抽样？
【解析】
第一步：将504名学生随机编号为1，2，3，…，503，504；
第二步：用抽签法或者随机数表法，剔除4个个体.这样剩下500名学生，对剩下的500名学生重新编号为1，2，3，…，500；
第三步：由于样本容量与总体容量的比为50：500=1：10，我们可将总体平均分成50部分，其中每一部分包含10 个个体，这样第一部分的个体编号为1，2，3，…，10；第二部分的个体编号为11，12，13，…，20；依次类推，第50 部分的个体编号为491，492，493，…，500；
第四步：从1到10号进行简单随机抽样，抽取一个号码，比如是5；
第五步，依次在第2部分，第3部分，…，第50部分，取出号码分别为15，25，35，…，495.这样就得到了一个样本容量为50的样本.
【变式2】某校高中三年级有学生322名，为了了解学生的某种情况，按1∶8的比例抽取一个样本，请用系统抽样的方法进行抽取，并写出抽样过程．
【解析】因为322÷8=40余2，故先剔除2名学生，把剩下的320名学生编号为1，2，3，…，320．把总体分为40个部分，每一个部分都有8个个体，例如第一部分的个体编号为：1，2，3，…，8．然后在第一部分随机抽取一个号码，比如6号，那么从6号开始，每隔8个号码抽取1个，得到号码6，14，22，30，…，310，318，这样就得到一个容量为40的样本．
考点三: 分层抽样
例1．在下列问题中，各采用什么抽样方法抽取样本?
（1）从20台彩电中抽取4台进行质量检验；
（2）科学会堂有32排座位，每排有40个座位（座号为1～40），一次报告会坐满了听众，会后为听取意见留下了座号为18的所有32名听众进行座谈；
（3）光远中学有180名教职工，其中教师136名，管理人员20名，后勤服务人员24名，为征求某项意见，现从中抽取一个容量为15的样本．
【答案】（1）简单随机抽样；（2）系统抽样；（3）分层抽样．
【解析】（1）所述问题中总体中的个体数和样本容量均较少，故宜用简单随机抽样法；（2）所述问题具有总体中的个体数较多，且每个个体无明显差异的特点，所以适宜用系统抽样法；（3）所述问题的总体中的个体具有明显差异，即出现了3个层次，因此适宜用分层抽样法．
【总结升华】总体容量较小宜用抽签法；总体容量较大，而样本容量较小宜用随机数表法；总体容量较大，样本容量也较大的宜用系统抽样法；总体是由差异明显的几个层次组成，宜用分层抽样法．
【变式1】一个单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人，为了了解职工的收入情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如何去抽取？
方法一：将160人从1到160编上号，然后将用白纸做成的有1～160号的160个号签放入箱内搅匀，最后从中抽取20个签，与签号相同的20个人被选出．
方法二：将160人从1至160编号，按编号顺序分成20组，每组8人，令1～8号为第一组，9～16号为第二组，……，153～160号为第20组．从第一组中用抽签方式抽到一个为k号（1≤k≤8），其余组是（k+8n）号（n=1，2，3，…，19），以此抽取20人．
方法三：按20∶160=1∶8的比例，从业务员中抽取12人，从管理人员中抽取5人，从后勤服务人员中抽取3人，都用简单随机抽样法从各类人员中抽取所需人数，他们合在一起恰好抽到20人．
以上的抽样方法，依次是简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的顺序是（ ）．
A．方法一、方法二、方法三 B．方法二、方法一、方法三
C．方法一、方法三、方法二 D．方法三、方法一、方法二
【答案】C
例2．一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？
【思路点拨】总体由不到35岁、35岁至49岁与50岁及50岁以上的个体构成，个体的差异较大，适合用分层抽样法．
【解析】用分层抽样来抽取样本，步骤是：
（1）分层．按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．
（2）确定每层抽取个体的个数．抽样比为，则在不到35岁的职工中抽125×=25（人）；
在35岁至49岁的职工中抽280×=56（人）；
在50岁及50岁以上的职工中抽95×=19（人）．
（3）在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本．
（4）综合每层抽样，组成样本．
【总结升华】本小题主要考查分层抽样的概念和运算以及抽样过程. 求解总体由差异明显的个体构成的问题时，适合用分层抽样法.分层后，各层的个体数较多时，可采用系统抽样或随机数表法抽取出各层中的个体，一定要注意按比例抽取．
【变式1】某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生．
【答案】40
【变式2】某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组（1～5号，6～10号，…，196～200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．
【答案】37 20
【变式3】某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽取二年级女生的可能性0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为________．
【答案】16
【思路点拨】由题意，二年级女学生数为2000×0.19=380人，由此可计算三年级学生数和三年级学生所占的比例，按此比例即可求出三年级抽取的学生人数．
【解析】由题意，二年级女学生数为2000×0.19=380人，
所以三年级的学生数为：2000―373―377―380―370=500人，所占比例为
所以应在三年级抽取的学生人数为
故答案为：16
考点四：获取数据的途径
例1．（2020·江苏苏州·高一期中）某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级名学生的考试成绩，从中随机抽取了名学生的成绩，就这个问题来说，下面说法正确的是（ ）
A．名学生是总体 B．每个学生是个体
C．名学生的成绩是一个个体 D．样本的容量是
【答案】D
【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的概念即可判断.
【详解】由题可得，总体为名学生的成绩，个体是每个学生的成绩，样本是抽取的100名学生的成绩，样本容量为100.
故选：D.
【变式1】（2019·河南·信阳市第一高级中学高一期中（理））某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生人数是高一学生人数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生人数为
A．8 B．11
C．16 D．10
【答案】A
【详解】若设高三学生数为x，则高一学生数为，高二学生数为＋300，所以有x＋＋＋300＝3 500，解得x＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为＝8.
故答案为：A
点睛：设出高一年级的人数，根据三个年级人数之间的关系，写出高二和高三的人数，根据学校共有的人数，得到关于高一人数的方程，解方程得到高一人数，用人数乘以抽取的比例，得到结果．本题考查分层抽样，在分层抽样之前有一个小型的运算，是一个基础题，运算量不大，可以作为选择和填空出现．分层抽样主要用于个体数量较多，且个体间具有明显差异的，这时采用分层抽样合适．
【变式2】（2022·江苏淮安·高一期末）为了加快新冠病毒检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再单独做检测．该检测机构采用了“10合1检测法”对2000人进行检测，检测结果为5人呈阳性，且这5个人来自4个不同的检测组，则总检测的次数是（ ）
A．210 B．230 C．240 D．250
【答案】C
【分析】根据第一轮、第二轮检测的次数求得总检测的次数.
【详解】根据题意，采用“10合1检测法”对2000人进行检测，
需要先将2000人按每组10人进行分组，需要分200组，即需要检测200次，
结果为5人呈阳性，且这5个人来自4个不同的检测组，需要对这4组进行第二轮检测，需要检测40次，
则一共需要检测200+40=240次.
故选：C
【变式3】（2021·浙江温州·高一期末）某高中共有30个班级，每班40人，每班选派2人参加反诈骗知识调查活动，在此次调查活动中样本量是（ ）
A．40 B．60 C．80 D．1200
【答案】B
【分析】由题意直接计算即可
【详解】解：因为共有30个班组，且每班选派2人参加反诈骗知识调查活动，
所以共选派60人参加反诈骗知识调查活动，
所以样本容量为60，
故选：B
【变式4】（2021·山西太原·高一期末）将一个容量为的样本分成2组，已知第一组频数为8，第二组的频率为0.80，则为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
【答案】B
【分析】先求出第一组的频率，再利用频数与频率的关系可求出
【详解】解：因为将一个容量为的样本分成2组，第二组的频率为0.80，
所以第一组的频率为，
因为第一组频数为8，
所以，
故选：B
【变式5】（2021·吉林·四平市第一高级中学高一期末）下列调查方式中，不适合的是（ ）
A．调查一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式
B．调查某班学生的体重，采用普查的方式
C．调查一条河流的水质，采用抽查的方式
D．调查某鱼塘中草鱼的平均重量，采用抽查的方式
【答案】A
【分析】用普查与抽查的定义逐一判断即可
【详解】对于A：调查一批灯泡的使用寿命，破坏性较强，应采用抽查的方式；
对于B：调查某班学生的体重，要求结果精确，故因采用普查的方式；
对于C：调查一条河流的水质，因为所调查的对象范围广，应采用抽查的方式；
对于D：调查某鱼塘中草鱼的平均重量，因为所调查的对象范围广，且捕捉不易，应采用抽查的方式；
故选：A
【变式6】（2021·天津河西·高一期末）下列情况适合用全面调查的是（ ）．
A．了解一批玉米种子的发芽率
B．了解某城市居民的食品消费结构
C．调查一个县各村的粮食播种面积
D．调查一条河的水质
【答案】D
【分析】根据全面查得抽样调查的定义逐一判断即可
【详解】A．了解一批玉米种子的发芽率适合抽样调查，故不符合题意；
B．了解某城市居民的食品消费结构适合抽样调查，故不符合题意；
C．调查一个县各村的粮食播种面积适合抽样调查，故不符合题意；
D．调查一条河的水质适合全面调查，故符合题意；
故选：D．
【变式7】（2021·湖北孝感·高一期末）下列调查方式合适的是（ ）
A．为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查的方式
B．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式
C．为了了解一条河流的水质，采用抽查的方式
D．为了了解一个班级的学生每周体育锻炼的时间，采用抽查的方式
【答案】C
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答
【详解】解：对于A，为了了解一批炮弹的杀伤半径，具有破坏性，只能采用抽样调查，所以A错误，
对于B，为了了解一批玉米种子的发芽率，数量太多，所以只能采用抽样调查，所以B错误，
对于C，为了了解一条河流的水质，数量多，所以只能采用抽样调查，所以C正确，
对于D，为了了解一个班级的学生每周体育锻炼的时间，数量少，所以采用普查的方式，所以D错误，
故选：C
【变式8】（2021·天津·高一期末）一支田径队有男、女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层随机抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是（ ）
A．12 B．15
C．18 D．21
【答案】A
【分析】根据分层抽样等比例关系列式即可求出.
【详解】解析：由题意，抽取女运动员的人数为．
故选：A.
例2（多选）．（2020·江苏·苏州新草桥中学高一期中）为了了解参加运动会的名运动员的年龄情况，从中抽取了名运动员的年龄进行统计分析.就这个问题，下列说法中正确的有（ ）
A．名运动员是总体； B．所抽取的名运动员是一个样本；
C．样本容量为； D．每个运动员被抽到的机会相等.
【答案】CD
【分析】根据总体、样本、总体容量、样本容量等概念及在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会均等即可求解.
【详解】由已知可得，名运动员的年龄是总体，名运动员的年龄是样本，总体容量为，样本容量为，在整个抽样过程中每个运动员被抽到的机会均为，所以A、 B 错误，C、D正确.
故选：CD.
【点睛】本题主要考查总体、样本、总体容量、样本容量等概念及抽样的公平性问题，属基础题.
【变式1】（多选）（2021·江苏·高一期末）某市12月17日至21日期间空气质量呈现重度及以上污染水平,经市政府批准,该市启动了空气重污染红色预警,期间实行机动车“单双号”限行等措施.某报社会调查中心联合问卷网,对2400人进行问卷调查,并根据调查结果得到如下饼图则下列结论正确的是（ ）
A．“不支持”部分所占的比例大约是整体的;
B．“一般”部分所占的人数估计是800人;
C．饼图中如果圆的半径为2,则“非常支持”部分扇形的面积是;
D．“支持”部分所占的人数估计是1100人
【答案】ACD
【解析】根据支持是，约占总体的一半，所以圆的面积是，依次进行判断即可。
【详解】A选项：“不支持”部分所占，所以比例大约是整体的，正确。
B选项：“一般”部分所占比例为，所以占的人数估计是人，不正确；
C选项：“非常支持”部分占比例，所以面积是，正确；
D选项：“支持”部分所占比例，共有，正确.
故选：ACD
【点睛】此题考查饼图在实际问题的应用，注意各部分所占比重，属于简单题目。
例3．（2021·广东佛山·高一期末）经问卷调查，某班学生对“羽毛球”运动分别执“爱好”、“不爱好”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不爱好”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生对班级是否购置羽毛球拍进行表决，如果选出5位“爱好”羽毛球的同学，1位“不爱好”羽毛球的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“爱好”羽毛球的比全班人数的一半还多___________人．
【答案】3
【分析】根据分层抽样的比例设出各层人数，然后根据“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人求解出各层人数，由此可知“喜欢羽毛球”的人数以及全班人数，则结果可求.
【详解】按分层抽样方法从全班选出部分学生对班级是否购置羽毛球拍进行表决，
5位“爱好”羽毛球的同学，1位“不爱好”羽毛球的同学和3位执“一般”态度的同学，
因为采用的是分层抽样且三类同学的人数比例为，
所以可设三类同学的人数分别为，
依题意，解得，
所以“喜欢”羽毛球的同学共有人，全班共有人，
所以人，
那么全班学生中“爱好”羽毛球的比全班人数的一半还多人.
故答案为：3.
【变式1】（2021·江苏·泰州中学高一期末）某地有1000人参加自学考试，为了了解他们的成绩，从中抽取一个样本，若每个考生被抽到的概率都是0.04，则这个样本的容量是__________.
【答案】40
【分析】每个考生被抽到的概率等于样本容量与总体数目的比值.
【详解】由题知，样本容量.
故答案为：40.
【变式2】（2017·河南·安阳三十五中高一期末）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为______.
【答案】
试题分析：设应抽取的男生人数为为，所以有，应抽取25人
考点：分层抽样
例4．（2019·新疆·奎屯市第一高级中学高一期末（文））针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：
支持
保留
不支持
岁以下
岁以上（含岁）
(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了人，求的值；
(2)在接受调查的人中，有人给这项活动打出的分数如下：，，，，，，，，，，把这个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过的概率．
【答案】(1)120;(2).
【分析】（1）参与调查的总人数为20000，其中从持“不支持”态度的人数5000中抽取了30人，由此能求出n.（2）总体的平均数为9，与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2,8.3,9.7，由此能求出任取1个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.
【详解】（1）参与调查的总人数为8000+4000+2000+1000+2000+3000=20000,其中不支持态度的人数2000+3000=5000中抽取了30人，所以n=.
（2）总体的平均数
与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2,8.3,9.7，所以任取一个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.
【点睛】本题主要考查了样本容量的求法，分层抽样，用列举法求古典概型的概率，属于中档题.
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．（2022·北京师大附中高一期末）从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成，等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得B等级的学生人数为（ ）
A．30 B．60 C．80 D．28
【答案】C
【分析】根据分层抽样的概念即得．
【详解】由题可知该样本中获得B等级的学生人数为．
故选：C．
2．（2022·宁夏·银川二中高一期末）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生人数是高一学生人数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300人，现在用分层抽样的方法抽取的样本容量为35，则应抽取高一学生人数为（ ）
A．8 B．11 C．16 D．10
【答案】A
【分析】先求出高一学生的人数，再利用抽样比，即可得到答案；
【详解】设高一学生的人数为人，则高二学生人数为，高三学生人数为，
，
，
故选：A
3．（2022·广西桂林·高一期末）要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查有关消费购买力的某项指标；（2）从某中学高一年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况；应采用的抽样方法分别是（ ）
A．（1）用简单随机抽样，（2）用分层随机抽样 B．（1）（2）都用简单随机抽样
C．（1）用分层随机抽样，（2）用简单随机抽样 D．（1）（2）都用分层随机抽样
【答案】C
【分析】根据简单随机抽样、分层抽样的适用条件进行分析判断.
【详解】因为有关消费购买力的某项指标受家庭收入的影响，而社区家庭收入差距明显，所以①用分层抽样；
从10名体育特长生中抽取3人调查学习情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单随机抽样.
故选：C
4．（2022·河南焦作·高一期末）某校高一､高二､高三的学生人数分别为800，750，650，为了解学生的视力情况，现用分层随机抽样的方法从中抽取部分学生进行调查，若样本中高二学生的人数为30，则这次调查的样本容量为（ ）
A．88 B．90 C．92 D．94
【答案】A
【分析】设样本容量为x，然后由分层抽样的定义列方程求解即可
【详解】设样本容量为x，则，解得x=88.
故选：A
5．（2022·广西北海·高一期末）某地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大，为了解该地区中小学生的视力情况，最合理的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样 B．按性别分层随机抽样
C．按学段分层随机抽样 D．其他抽样方法
【答案】C
【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样.
【详解】因为某地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，男、女生视力情况差异不大，然而学段的视力情况有较大差异，则应按学段分层抽样，
故选：.
6．（2021·江西景德镇·高一期末）总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．08 B．15 C．16 D．19
【答案】D
【分析】直接根据随机数表依次选取，遇到超出范围或重复的数据要丢弃
【详解】随机数表第1行的第5列和第6列数字为15，则选取的5个个体依次为：15，08，02，16，19
故选出来的第5个个体的编号为19
故选：D
7．（2022·江西·景德镇一中高一期末）总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
第1行78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98
第2行32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
A．19 B．25 C．26 D．27
【答案】B
【分析】利用随机数表法列举出样本的前个个体的编号，由此可得出结论.
【详解】由随机数表法可知，样本的前个个体的编号分别为、、、、，
因此，选出的第个个体的编号为.
故选：B
8．（2022·浙江省开化中学高一期末）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和估计抽取的高中生近视人数分别为（ ）
A．180，40 B．180，20 C．180，10 D．100，10
【答案】B
【分析】利用总量乘以抽取比例即可得到样本容量；根据图表可知高中生近视率 从而估计抽取的高中生近视人数
【详解】所有学生数为3000+4000+2000=9000，故样本容量为 9000×2%=180，
根据图甲以及抽取百分比可知，样本中高中生人数为2000×2%=40，
根据图乙可知，抽取的高中生近视人数为40×50%=20，
故选：B．
9．（2022·山东潍坊·高一期末）国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的末来”.某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第三个号码为（ ）
随机数表如下：
A．13 B．24 C．33 D．36
【答案】D
【分析】随机数表进行读数时，确定开始的位置以及位数，逐一往后即可，遇到超出范围或重复的数字跳过即可.
【详解】根据随机数表的读取方法，第2行第4列的数为3，每次从左向右选取两个数字，所以第一组数字为32，作为第一个号码；第二组数字58，舍去；第三组数字65，舍去；第四组数字74，舍去；第五组数字13，作为第二个号码；第六组数字36，作为第三个号码，所以选取的第三个号码为36
故选：D
二、填空题
10．（2022·江西·高一期末）某校高一（1）班有30名男生和20名女生，采用分层随机抽样的方法从中抽取10名学生进行学习习惯调查，则抽取的男生人数为______.
【答案】6
【分析】根据题意，求得抽样比，即可求得男生应抽取的人数.
【详解】根据题意，分层抽样的抽样比为，故抽取的男生人数为人.
故答案为：.
11．（2022·安徽蚌埠·高一期末）利用随机数表法对一个容量为90，编号为00，01，02，…，89的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第2行第3列的数开始向右读数（下面摘取了随机数表中的第1行至第5行），根据下图，读出的第3个数是___________.
【答案】75
【分析】根据随机数表法进行抽样即可.
【详解】从随机数表的第2行第3列的数开始向右读数，第一个编号为62，符合；第二个编号为38，符合；第三个编号为97，大于89，应舍去；下一个编号为75，符合.
所以读出的第3个数是：75.
故答案为：75.
12．（2022·江西·新余市第一中学高一期末）某学校在校学生有2000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且，全校参加登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取人数为______.
【答案】
【分析】由题意求得样本中抽取的高三的人数为人进而求得样本中高三年级参加登山的人，即可求解.
【详解】由题意，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且，
所以样本中抽取的高三的人数为人，
又因为全校参加登山的人数占总人数的，
所以样本中高三年级参加登山的人数为，
所以样本中高三年级参加跑步的人数为人.
故答案为：.
13．（2021·广东广州·高一期末）某公司青年、中年、老年员工的人数之比为10∶8∶7，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是0.2，则该公司青年员工的人数为__________．
【答案】200
【分析】先根据分层抽样的方法计算出该单位青年职工应抽取的人数，进而算出青年职工的总人数.
【详解】由题意，从中抽取100名员工作为样本，需要从该单位青年职工中抽取（人）.因为每人被抽中的概率是0.2，所以青年职工共有（人）.
故答案为：200.
14．（2020·江西九江·高一期末）将一个共有20个个体的总体编号为00，01，02，…，19，根据随机数表法从中抽取一个容量为8的样本，从随机数表的第13行、第11列开始读，依次获取样本号码，直至取满为止，则取出的第5个样本编号为______（附：随机数表第13行：83 45 39 96 34 06 28 89 80 83 13 74 57 00 78 18 47 54 06 10 68 71 17 78 17）
【答案】10
【分析】随机数表第13行、第11列的数字为0，依次取出即可.
【详解】随机数表第13行、第11列的数字为0，故依次可得：
06,28（舍），89（舍），80（舍），83（舍），13,74（舍），57（舍），00,78（舍），18,47（舍），54（舍），06,10，
故第5个样本编号为10，
故答案为：10
三、解答题
15．（2021·山东菏泽·高一期末）某机械厂三个车间共有工人1000名，各车间男､女工人数如下表：
第一车间
第二车间
第三车间
女工
170
120
男工
180
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是，其中第三车间的男女比例为.
（1）求，，的值.
（2）现用分层抽样的方法在全厂男工人中抽取55名工人进行技术比武，则在第三车间抽取多少名男工人？
【答案】（1），，；（2）24名.
【分析】（1）根据题意可得，可求出，再由第三车间的工人数是，以及男女比例即可求解.
（2）根据分层抽样比即可求解.
【详解】解：（1）由，得.
因为第一车间的工人数是，
第二车间的工人数是，
所以第三车间的工人数是.
所以，.
（2）设应从第三车间抽取名工人，
共有男工人，
则由，得，
所以应在第三车间抽取24名男工人.
16．（2021·福建省福州第一中学高一期末）为了解某年级学生对《居民家庭用电配置》的了解情况，校有关部门在该年级进行了一次问卷调查(共10道题)，从该年级学生中随机抽取24人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]五组，得到如下频率分布直方图.
（1）估计这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（2）用分层随机抽样的方法从[4，6)，[6，8)，[8，10]的组别中共抽取12人，分别求出抽取的三个组别的人数；
（3）若从答对题数在[2，6)内的人中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2，4)内的概率.
【答案】（1）；（2）4人､6人､2人；（3）.
【分析】（1）利用频率分布直方图的各组的中间值进行计算求出平均值的估计值；
（2）根据[4，6)，[6，8)，[8，10]的频率，求出此区间内的总人数，再根据需要取的样本总数，确定分层比例，即可求出结果；
（3）利用列举法求出所有结果，根据古典概型即可求出结果．
【详解】解：（1）在[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]的概率分别为，，，，
则估计这组数据的平均数为.
（2）由题意可知在中的总人数为人；
又采用分层抽样的方法抽取人，所以内抽取人；
所以内抽取人；
所以内抽取人；
所以在分别抽取4人､6人､2人，
（3）由题图可知，答对题数在[4，6)中有6人，分别设为，，，，，，
答对题数在[2，4)中有3人，分别设为，，，
从答对题数在[2，6)内的人中随机抽取2人的情况有
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
共有36种.
恰有1人答对题数在[2，4)内的情况有
，，，，，，，，，，，，，，，，，，
共有18种.
故所求概率.
17．（2021·天津滨海新·高一期末）垃圾分类，人人有责.2020年12月1日，天津市正式实施《天津市生活垃圾管理条例》，根据条例，市民要把生活垃圾分类后方能够投放．已知滨海新区某校高一、高二、高三3个年级学生的环保社团志愿者人数分别为30，15，15．现按年级进行分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取4名同学参加垃圾分类知识交流活动．
（1）应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取多少人？
（2）设抽出的4名同学分别用表示，现从中随机抽取2名同学分别在上午和下午作交流发言．
（i）写出这个试验的样本空间；
（ii）设事件“抽取的2名同学来自不同年级”，求事件发生的概率．
【答案】（1）高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取2人、1人、1人；（2）（i）;
（ii）．
【分析】（1）求出抽样比，从而可求出答案；
（2）（i）列举法即可写出样本空间；（ii）列举法求出事件包含的样本点，再根据古典概型的概率计算公式求解即可．
【详解】解：（1）设抽取高一､高二､高三3个年级的环保社团志愿者人数分别为，
由分层抽样，得，
解得，
∴应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取2人、1人、1人；
（2）（i）样本空间为：
，
共有12个样本点，每个样本点都是等可能发生的；
（ii）由（1），不妨设抽出的4名同学中，来自高一年级的是，来自高二年级的是，来自高三年级的是，
∵，
∴，
∴事件发生的概率．
18．（2020·山东日照·高一期末）已知某中学高一、高二、高三三个年级的青年学生志愿者人数分别为180,120,60，现采用分层抽样的方法从中抽取6名同学去森林公园风景区参加“保护鸟禽，爱我森林”宣传活动.
（1）应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（2）设抽取的6名同学分别用A，B，C，D，E，F表示，现从中随机抽取2名学生承担分发宣传材料的工作设事件M=“抽取的2名学生来自高一年级”，求事件M发生的概率.
【答案】（1）从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，1人,（2）
【解析】(1)根据分层抽样的方法求解即可.
(2)利用古典概型的方法枚举所有基本事件求解即可.
【详解】（1）由己知，高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：1，
由于采用分层抽样的方法从中抽取6名学生，抽样比为，
故从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，1人.
（2）从抽取的6名学生中随机抽取2名同学的所有可能结果为，，共15种.
不妨设抽取的6名学生中，来自高一的是A，B，C，则从抽取的6名学生中随机抽取2名同学来自高一年级的所有可能结果为共3种，
所以事件M发生的概率为.
【点睛】本题主要考查了分层抽样以及古典概型的方法,属于基础题型.
题组B 能力提升练
一、单选题
1．（2021·广西·钦州市第四中学高二期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．有甲､乙､丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为，则样本容量为
B．若甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是甲
C．数据，，，，，的平均数､众数､中位数相同
D．某单位､､三个部门平均年龄为岁､岁和岁，又，两部门人员平均年龄为岁，､两部门人员平均年龄为岁，则该单位全体人员的平均年龄为岁
【答案】D
【分析】对于选项根据分层抽样的定义可判断正误，对于选项求出乙组数据的方程，与甲组数据的方差比较，可判断正误，对于选项求出数据的平均数、众数、中位数即可判断正误，对于选项设，，三个部门的人数为，，，根据题意可得，，从而求出该单位全体人员的平均年龄．
【详解】解：对于选项：如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为，故选项是假命题，
对于选项：乙组数据的平均数为，方差为，
因为乙组数据的方程比甲组数据的方差小，所以这两组数据中较稳定的是乙，
故选项是假命题，
对于选项：数据1，2，3，4，4，5的平均数为、众数为4、中位数为，故选项是假命题，
对于选项：设，，三个部门的人数为，，，则有：
，化简得，
，化简得，
所以该单位全体人员的平均年龄为岁，
故选项是真命题，
故选：．
2．（2020·江苏扬州·高二期中）一百个高矮互不相同的士兵，排成一个十行十列的方阵.现在从每行中选出一个最高的，再从这些最高的中选出一个最矮的，其高度记为h(高中矮)；然后从每列中选出一个最矮的，再从这个最矮的中间选出一个最高的，其高度记为h(矮中高)，则（ ）
A．h(高中矮)>h(矮中高) B．h(高中矮)h(矮中高)
C．h(高中矮)
【解析】按照高中矮者与矮中高者是否同列分两类讨论，如果不同列，再按照是否同行分两类讨论，根据高中矮者与矮中高者的定义分析可得结果.
【详解】当高中矮者与矮中高者在同一列时，高中矮者与矮中高者是同一个人，所以h(高中矮)h(矮中高)；
当高中矮者与矮中高者不在同一列且在同一行且时，h(高中矮)h(矮中高)；
当高中矮者与矮中高者不在同一列且不在同一行时，高中矮者身高大于与高中矮者同行且与矮中高者同列的那个人的身高，而矮中高者身高又小于与高中矮者同行且与矮中高者同列的那个人的身高，所以h(高中矮)h(矮中高)；
综上所述：h(高中矮)h(矮中高)
故选：B
【点睛】关键点点睛：按照高中矮者与矮中高者是否同行、同列分类讨论是解题关键.
3．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高二期中）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
【答案】A
【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．
【详解】设9位评委评分按从小到大排列为．
则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，
中位数仍为，A正确．
②原始平均数，后来平均数
平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确
③
由②易知，C不正确．
④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．
【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.
4．（2020·广东·二师番禺附属初中高一期中）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为
A．400，40 B．200，10 C．400，80 D．200，20
【答案】A
【分析】由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取的高中生近视人数.
【详解】用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，
样本容量为：，
抽取的高中生近视人数为：，
故选A.
【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有扇形图与条形图的应用，以及分层抽样的性质，注意对基础知识的灵活应用，属于简单题目.
二、填空题
5．（2021·重庆·高一期末）为了研究疫情病毒和人的血型间的关系，在被感染的2400人中，O型血有800人，A型血有600人，B型血有600人，AB型血有400人．在这2400人中，采用分层抽样的方法抽取一个容量为120人的样本，则应从O型血中抽取的人数为_____．
【答案】40
【分析】直接根据其所占比例求解即可.
【详解】因为在被感染的2400人中，O型血有800人，A型血有600人，B型血有600人，AB型血有400人，即O型血的人数占，
所以应从O型血中抽取的人数为
故答案为：40
6．（2021·广东梅州·高一期末）重庆一中高一，高二，高三的模联社团的人数分别为25，15，10，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取5名同学，若从这5名同学中再随机抽取2名同学承担文件翻译工作，则抽取的两名同学来自同一年级的概率为__________.
【答案】
【分析】由人数之比求出抽出的5名同学中高二、高三年级人数，通过列举出从这5名同学中再随机抽取2名同学的所有可能即可求出抽取的两名同学来自同一年级的概率.
【详解】解：高二高三抽取人数之比为，所以5名同学中高二有3人，高三有2人，
设高二3人为，高三2人为，则随机抽取2名同学的可能有
共十种可能，
其中抽取的两名同学来自同一年级的有四种可能，则
抽取的两名同学来自同一年级的概率为,
故答案为:.
【点睛】本题考查了分层抽样，考查了古典概型概率的求解.本题的关键是求出高二、高三各抽出的人数.
7．（2020·天津·耀华中学高一期中）某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为________．
【答案】78
【分析】由题意求出高三学生人数，再根据高一学生的抽样比计算高三抽样人数即可.
【详解】设学校有高三学生x人，则高二学生x＋30人，∴x＋(x＋30)＋480＝1290，解得x＝390人，该样本中的高三人数为×390＝78人．
【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，意在考查学生的基本运算能力，属于中档题．
三、解答题
8．（2021·河北张家口·高一期末）某公司为了解员工对食堂的满意程度，对全体100名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂打分，将最终得分按，，，，，分成6段，并得到如图所示频率分布直方图.
（1）估计这100名员工打分的众数和中位数（保留一位小数）；
（2）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取11个人，求这组抽取的人数.
【答案】（1）众数为75，中位数为；（2）7人.
【分析】（1）根据中位数和众数的定义结合频率分布直方图即可得出答案；
（2）根据频率分布直方图分别求出，，的人数，任何根据分层抽样即可求出从抽取的人数.
【详解】解：（1）由题意得众数为75，
的频率为，
的频率为，
设中位数为a，，.
（2）的人数：，的人数：，的人数：，抽样比例为，
从抽取的人数：.
9．（2020·湖南·长沙县实验中学高一期末）某高级中学今年高一年级招收“国际班”学生人，学校为这些学生开辟了直升海外一流大学的绿色通道，为了逐步提高这些学生与国际教育接轨的能力，将这人分为三个批次参加国际教育研修培训，在这三个批次的学生中男、女学生人数如下表：
第一批次
第二批次
第三批次
女
男
已知在这名学生中随机抽取名，抽到第一批次、第二批次中女学生的概率分别是.
（1）求的值；
（2）为了检验研修的效果，现从三个批次中按分层抽样的方法抽取名同学问卷调查，则三个批次被选取的人数分别是多少？
（3）若从第（2）小问选取的学生中随机选出两名学生进行访谈，求“参加访谈的两名同学至少有一个人来自第一批次”的概率.
【答案】(1)；(2)；(3).
【详解】分析：（1）由题意结合所给的数据计算可得；
（2）由题意结合分层抽样比计算可得第一批次，第二批次，第三批次被抽取的人数分别为
（3）设第一批次选取的三个学生设为第二批次选取的学生为 ，第三批次选取的学生为，利用列举法可得从这名学员中随机选出两名学员的所有基本事件为个，“两名同学至少有一个来自第一批次”的事件包括共个，由古典概型计算公式可得相应的概率值为.
详解：（1）
；
（2）由题意知，第一批次，第二批次，第三批次的人数分别是
所以第一批次，第二批次，第三批次被抽取的人数分别为
（3）第一批次选取的三个学生设为第二批次选取的学生为 ，第三批次选取的学生为，则从这名学员中随机选出两名学员的所有基本事件为：
共个，
“两名同学至少有一个来自第一批次”的事件包括：
共个，
所以“两名同学至少有一个来自第一批次”的概率.
点睛：本题主要考查古典概型，分层抽样等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．（2020·陕西·吴起高级中学高一期末）自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：
20以下
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70]
70以上
使用人数
3
12
17
6
4
2
0
未使用人数
0
0
3
14
36
3
0
（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30，50）且未使用自由购的概率；
（2）从被抽取的年龄在[50，70]使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在[50，60）的概率；
（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？
【答案】（1）．（2）；（3）个
【分析】（1）直接计算概率得到答案.
（2）列出所有情况，包含15个基本事件，满足条件的共有6个基本事件，计算得到概率.
（3）按照比例关系计算得到答案.
【详解】（1）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，
所以随机抽取一名顾客，该顾客年龄在[30，50）且未参加自由购的概率估计为．
（2）设事件A为“这2人年龄都在[50，60）”.
被抽取的年龄在[50，60）的4人分别记为a1，a2，a3，a4，
被抽取的年龄在[60，70]的2人分别记为b1，b2，
从被抽取的年龄在[50，70]的自由购顾客中随机抽取2人
共包含15个基本事件，
分别为a1a2，a1a3，a1a4，a1b1，a1b2，a2a3，a2a4，a2b1，a2b2，a3a4，
a3b1，a3b2，a4b1，a4b2，b1b2，
事件A包含6个基本事件，
分别为a1a2，a1a3，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4，
则；
（3）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有3+12+17+6+4+2＝44人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为．
【点睛】本题考查了概率的计算，总体估计，意在考查学生的计算能力和应用能力.
11．（2020·重庆九龙坡·高一期末）随着手机的普及，大学生迷恋手机的现象非常严重.为了调查双休日大学生使用手机的时间，某机构采用不记名方式随机调查了使用手机时间不超过10小时的50名大学生，将50人使用手机的时间分成5组：，，，，分别加以统计，得到下表，根据数据完成下列问题：
使用时间/时
大学生/人
5
10
15
12
8
（1）完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计大学生使用手机时间的中位数（保留小数点后两位）；
（2）用分层抽样的方法从使用手机时间在区间，，的大学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人取自不同使用时间区间的概率.
【答案】（1）频率分布直方图见解析，中位数约为5.33小时；（2）
【分析】（1）根据题中数据，完成频率分布表，可完成频率分布直方图，设中位数为，则，可得中位数；
（2）分别求出从6人中随机抽取2人总的事件数及2人取自不同使用时间区间的事件数，由古典概型公式可得概率.
【详解】解：（1）根据题意，可将数据做如下整理：
使用时间/时
大学生/人
5
10
15
12
8
频率
0.1
0.2
0.3
0.24
0.16
频率/组距
0.05
0.1
0.15
0.12
0.08
设中位数为，则，解得.
∴大学生每天使用手机时间的中位数约为5.33小时.
（2）用分层抽样的方法从使用时间在区间，，中抽取的人数分别为1，2，3，分别设为，，，，，，所有的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，这2名大学生取自同一时间区间的基本事件，，，，设这2名大学生取自不同使用时间区间为事件，符合条件的总事件数为15，在同一区间内的情形有4种情况，∴，
故这2名年轻人取自不同使用时间区间的概率为..
【点睛】本题考查了频率分布直方图及系统抽样的相关性质，考查了分层抽样的使用及概率的求法，考查了推理与计算能力，是中档题.
12．（2020·青海·湟川中学高一期末）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为.
（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
【答案】(1) ，；(2) ，.
【分析】(1)由及频率和为1可解得和的值；(2)根据公式求平均数.
【详解】
(1)由题得，解得，由，解得.
(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为，
乙离子残留百分比的平均值为
【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题
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