高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法学案

第2课时　函数的表示方法

(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图像的作用．

(2)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．

新知初探·自主学习——突出基础性

知识点一　函数的表示方法

状元随笔　1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．

2．由列表法和图像法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.

知识点二　分段函数

如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．

状元随笔　1.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．

2．分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝其“段”是不等长的．

基础自测

1.购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为(　　)

A．y＝2x　　　　　　　　　B．y＝2x(x∈R)

C．y＝2x(x∈{1，2，3，…})    D．y＝2x(x∈{1，2，3，4})

2．已知函数f(x)＝则f(2)等于(　　)

A．0B．

C．1D．2

3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是(　　)

A．3x＋2B．3x＋1

C．3x－1D．3x＋4

4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．

则f(g(1))的值为________．

当g(f(x))＝2时，x＝________．

课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1　函数的表示方法[经典例题]

例1　(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　)

由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律．　

(2)已知函数f(x)按下表给出，满足f(f(x))＞f(3)的x的值为________．

观察表格，先求出f(1)、f(2)、f(3)，进而求出f(f(x))的值，再与f(3)比较．

方法归纳

理解函数的表示法应关注三点

(1)列表法、图像法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．

(2)判断所给图像、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．

(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．

跟踪训练1　某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．

状元随笔　本题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图像是一些点，而不是直线．另外，函数的解析式应注明定义域．

题型2　求函数的解析式　[经典例题]

例2　根据下列条件，求函数的解析式：

(1)已知f＝，求f(x)；

(2)f(x)是二次函数，且f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3，求f(x).

(1)换元法：设＝t，注意新元的范围．

(2)待定系数法：设二次函数的一般式f(x)＝ax2＋bx＋c.

跟踪训练2　(1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为________；

(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________.

(1)换元法

设x2＋2＝t.

(2)待定系数法

设f(x)＝ax＋b.

题型3　求分段函数的函数值　[经典例题]

例3　(1)设f(x)＝则f＝(　　)

判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解．

A.　　　B．

C．－D．

(2)已知f(n)＝则f(8)＝________．

方法归纳

(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．

(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．

(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．

跟踪训练3　已知f(x)＝

根据不同的取值代入不同的解析式．

求f(－1)，f(f(－1))，f(f(f(－1)))．

题型4　函数图像[教材P87例6]

例4　已知函数y＝，指出这个函数的定义域、值域，并作出这个函数的图像．

【解析】　函数的定义域为[0，＋∞)．由y＝在y≥0时有解可知，函数的值域为[0，＋∞)．

通过描点作图法，可以作出这个函数的图像如图所示．

状元随笔　函数图像可由列表、描点、连线的方法作图，在列表取值时要注意函数的定义域．

教材反思

(1)画一次函数图像时，只需取两点，两点定直线．

(2)画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像时，先用配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式，确定抛物线的开口方向(a＞0开口向上，a＜0开口向下)、对称轴(x＝h)和顶点坐标(h，k)，在对称轴两侧分别取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线．

(3)对于不熟悉的函数，可采用列表、描点、连线的方法画图．

跟踪训练4　作出下列函数的图像：

(2)先求对称轴及顶点，再注意x的取值(部分图像)．

(1)y＝－x＋1，x∈Z；

(2)y＝2x2－4x－3，0≤x＜3；

(3)关键是根据x的取值去绝对值．(3)y＝|1－x|.

解题思想方法　数形结合利用图像求分段函数的最值　

例　求函数y＝|x＋1|＋|x－1|的最小值．

【解析】　y＝|x＋1|＋|x－1|＝

作出函数图像如图所示：

由图像可知，x∈[－1，1]时，ymin＝2.

【反思与感悟】　(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．

(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．

(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图像时，可先将各段的图像分别画出来，从而得到整个函数的图像．

第2课时　函数的表示方法

新知初探·自主学习

知识点一

数学表达式　图象　表格

[基础自测]

1．解析：题中已给出自变量的取值范围，x∈{1，2，3，4}，故选D.

答案：D

2．解析：f(2)＝＝1.

答案：C

3．解析：方法一　令2x＋1＝t，则x＝.

∴f(t)＝6×＋5＝3t＋2.∴f(x)＝3x＋2.

方法二　∵f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2.∴f(x)＝3x＋2.

答案：A

4．解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，

∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.

答案：1　1

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　(1)由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.

【解析】(2)由表格可知f(3)＝1，故f(f(x))>f(3)即为f(f(x))>1.

∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1.

【答案】　(1)D　(2)3或1

跟踪训练1　解析：(1)列表法：

(2)图像法：如图所示．

(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．

例2　【解析】　(1)设t＝，则x＝(t≠0)，代入f＝，

得f(t)＝＝，

故f(x)＝(x≠0且x≠±1)．

(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

因为f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3.

所以解得

所以f(x)＝－x2＋x－3.

跟踪训练2　解析：(1)因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，

令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，所以f(x)＝x2－4(x≥2)．

(2)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.

又因为f(f(x))＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1.

所以解得或

所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.

答案：(1)f(x)＝x2－4(x≥2)

(2)2x－或－2x＋1

例3　【解析】　(1)∵f＝－2＝－，

∴f＝f＝＝，故选B.

(2)因为8<10，所以代入f(n)＝f(f(n＋5))中，

即f(8)＝f(f(13))．

因为13>10，所以代入f(n)＝n－3中，得f(13)＝10，

故f(8)＝f(10)＝10－3＝7.

【答案】　(1)B　(2)7

跟踪训练3　解析：∵－1<0，∴f(－1)＝0，∴f(f(－1))＝f(0)＝π，

∴f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1.

跟踪训练4　解析：(1)函数y＝－x＋1，x∈Z的图像是直线y＝－x＋1上所有横坐标为整数的点，如图(a)所示．

(2)由于0≤x<3，故函数的图像是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的部分，如图(b)．

(3)因为y＝|1－x|＝故其图像是由两条射线组成的折线，如图(c)．