高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式第二课时学案及答案

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我们容易计算像0、eq \f(π,6)、eq \f(π,2)这样的角的三角函数值，对于求eq \f(π,2)－α与eq \f(π,2)＋α的三角函数值，能否化为α的三角函数值计算？
[问题] (1)eq \f(π,2)－α与α的终边有什么关系？
(2)如何求eq \f(π,2)＋α的三角函数值？



知识点 诱导公式五、六
1．诱导公式五、六
2．诱导公式五、六可用语言概括
(1)函数值：eq \f(π,2)±α的正弦(余弦)值，分别等于α的余弦(正弦)函数值；
(2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
eq \a\vs4\al()
公式五、六的记忆方法与口诀
(1)记忆方法：eq \f(π,2)±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；
(2)记忆口诀：“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( )
(2)sin(90°＋α)＝－cs α.( )
(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝－sin α.( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．下列与sin θ的值相等的是( )
A．sin(π＋θ) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ)) D．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))
答案：C
3．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝eq \f(1,2)，则cs α＝________．
答案：eq \f(1,2)
4．已知sin θ＝eq \f(1,5)，则cs(450°＋θ)＝________．
答案：－eq \f(1,5)
[例1] (1)已知tan α＝3，求eq \f(sin（α－π）＋cs（π－α）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))的值；
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋α))的值．
[解] (1)eq \f(sin（α－π）＋cs（π－α）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))
＝eq \f(－sin α－cs α,cs α－sin α)＝eq \f(－tan α－1,1－tan α)
＝eq \f(－3－1,1－3)＝2.
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋α))
＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))·sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).
eq \a\vs4\al()
用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少；
(2)解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,3)＋α与eq \f(π,6)－α，eq \f(π,4)－α与eq \f(π,4)＋α等互余，eq \f(π,3)＋θ与eq \f(2π,3)－θ，eq \f(π,4)＋θ与eq \f(3π,4)－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．
[跟踪训练]
1．已知sin(π＋α)＝eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))的值为( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(2),2)
解析：选A 由sin(π＋α)＝eq \f(1,2)得sin α＝－eq \f(1,2)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－sin α＝eq \f(1,2)，故选A.
2．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值为( )
A.eq \f(2\r(2),3) B．－eq \f(2,3)eq \r(2)
C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
解析：选D ∵eq \f(π,4)＋α－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(π,2)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝－eq \f(1,3).
[例2] (链接教科书第193页例4)化简：
eq \f(sin（4π－α）cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)＋α))cs（2π－α）)－eq \f(tan（5π－α）,sin（3π－α）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))).
[解] ∵sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sin α，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)＋α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(6π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))
＝－cs α，
tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α，
sin(3π－α)＝sin(π－α)＝sin α，
∴原式＝eq \f(sin αsin α,－cs αcs α)－eq \f(－tan α,sin αcs α)＝－eq \f(sin2α,cs2α)＋eq \f(1,cs2α)
＝eq \f(1－sin2α,cs2α)＝eq \f(cs2α,cs2α)＝1.
eq \a\vs4\al()
用诱导公式进行化简时的注意点
(1)化简后项数尽可能的少；
(2)函数的种类尽可能的少；
(3)分母不含三角函数的符号；
(4)能求值的一定要求值；
(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
[跟踪训练]
化简：(1)eq \f(cs（α－π）,sin（π－α）)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))；
(2)sin(－α－5π)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))cs(α－2π)．
解：(1)原式＝eq \f(cs[－（π－α）],sin α)·sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))(－sin α)
＝eq \f(cs（π－α）,sin α)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))(－sin α)
＝eq \f(－cs α,sin α)·(－cs α)(－sin α)
＝－cs2α.
(2)原式＝sin(－α－π)cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))－sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))))cs[－(2π－α)]
＝sin[－(α＋π)]cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs(2π－α)
＝－sin(α＋π)sin α＋cs αcs α
＝sin2α＋cs2α
＝1.
[例3] 求证：eq \f(tan（2π－α）sin（－2π－α）cs（6π－α）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2))))
＝－tan α.
[证明] 左边＝
eq \f(tan（－α）·sin（－α）·cs（－α）,sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))·cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))))
＝eq \f(（－tan α）·（－sin α）·cs α,sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))))
＝eq \f(sin2α,－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))
＝eq \f(sin2α,－cs α·sin α)＝－eq \f(sin α,cs α)＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
eq \a\vs4\al()
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简；
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子；
(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．
[跟踪训练]
求证：eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2（π＋θ）)＝eq \f(tan（9π＋θ）＋1,tan（π＋θ）－1).
证明：左边＝eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))·（－sin θ）－1,1－2sin2θ)
＝eq \f(2sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))))sin θ－1,1－2sin2θ)
＝eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))sin θ－1,1－2sin2θ)
＝eq \f(－2cs θsin θ－1,cs2θ＋sin2θ－2sin2θ)
＝eq \f(（sin θ＋cs θ）2,sin2θ－cs2θ)＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ).
右边＝eq \f(tan θ＋1,tan θ－1)＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ).
∴左边＝右边，故原等式成立．
[例4] 已知函数
f(α)＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))tan（2π－α）,tan（α＋π）sin（α＋π）).
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－eq \f(1,8)，且eq \f(5π,4)≤α≤eq \f(3π,2)，求f(α)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))的值．
[解] (1)f(α)＝eq \f(－cs αsin α（－tan α）,tan α（－sin α）)＝－cs α.
(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝sin α，因为f(α)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－eq \f(1,8)，所以cs α·sin α＝eq \f(1,8)，可得eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f（α）＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))))eq \s\up12(2)＝(sin α－cs α)2＝eq \f(3,4)，由eq \f(5π,4)≤α≤eq \f(3π,2)，得cs α>sin α，所以f(α)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝sin α－cs α＝－eq \f(\r(3),2).
eq \a\vs4\al()
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系；
二看函数名称：一般是弦切互化；
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．
[跟踪训练]
已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值．
解：方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－eq \f(3,5)，x2＝2，
由α是第三象限角，得sin α＝－eq \f(3,5)，
则cs α＝－eq \f(4,5)，
∴eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)
＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),sin αcs α)·tan2α
＝eq \f(cs α（－sin α）,sin αcs α)·tan2α＝－tan2α
＝－eq \f(sin2α,cs2α)＝－eq \f(9,16).
1．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))<0，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选B 由于sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝cs θ<0，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
2．若cs(α＋π)＝－eq \f(2,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3π,2)))＝( )
A.eq \f(2,3) B．－eq \f(2,3)
C.eq \f(\r(5),3) D．－eq \f(\r(5),3)
解析：选A 因为cs(α＋π)＝－cs α＝－eq \f(2,3)，所以cs α＝eq \f(2,3).所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3π,2)))＝cs α＝eq \f(2,3).
3．sin 95°＋cs 175°的值为________．
解析：sin 95°＋cs 175°＝sin(90°＋5°)＋cs(180°－5°)
＝cs 5°－cs 5°＝0.
答案：0
4．求证：eq \f(sin（θ－5π）cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－θ))cs（8π－θ）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(3π,2)))sin（－θ－4π）)＝sin θ.
证明：左边＝eq \f(－sin（－θ＋5π）cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))cs θ,－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))[－sin（θ＋4π）])
＝eq \f(－sin（－θ＋π）（－sin θ）cs θ,－cs θ（－sin θ）)＝sin θ＝右边．
∴原等式成立．
利用诱导公式求值
利用诱导公式化简
利用诱导公式证明恒等式
诱导公式的综合应用