2021学年第二章 有理数及其运算2.11 有理数的混合运算学案设计

七年数学专项复习系列之有理数的乘除混合运算专项训练及解析

（一）知识整理

有理数的乘除混合运算：
可统一化为乘法运算，在进行乘除运算时，一般地，遇除化乘，转化为有理数的乘法进行计算。

乘除混合运算需要掌握：
1.由负因数的个数确定符号；
2.小数化成分数，带分数化成假分数；
3.除号改成称号，除号改成倒数，变成连乘形式；
4.进行约分；
5.注意运算顺序，乘除为同级运算，要遵守从左到右的顺序计算；
6.转化为乘法后，可运用乘法运算律简化运算。

（二）专项训练

1、已知x+y=4，xy=2，求（x-y）2，x3+y3．

【答案】

（x-y）2，

=（x+y） 2-4xy，

=42-4×2，

=8；

x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2），

=（x+y）[（x2+2xy+y2）-3xy]，

=（x+y）[（x+y）2-3xy]，

=4×（42-3×2），

=40．

2、证明：（y+z-2x）3+（z+x-2y）3+（x+y-2z）3=3（y+z-2x）（z+x-2y）（x+y-2z）．

【答案】证明：令y+z-2x=a，①

z+x-2y=b，②

x+y-2z=c，③

则要证的等式变为

a3+b3+c3=3abc．

联想到乘法公式：

a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca），

∴将①，②，③相加有：a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，

∴a3+b3+c3-3abc=0，

∴（y+z-2x）3+（z+x-2y）3+（x+y-2z）3=3（y+z-2x）（z+x-2y）（x+y-2z）．

3、已知：x+y=10，x3+y3=400，则x2+y2=______．

【答案】

∵x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）

=10（x2+y2-xy）=400

x2+y2-xy=40…①

x+y=10 平方，

x2+2xy+y2=100…②

①×2+②得：2x2+2y2+x2+y2=80+100，

3（x2+y2）=180，

x2+y2=60，

故答案为60．

4、已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值．

【答案】由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简：

a3+3ab-b3=（b-1）3+3（b-1）b-b3

=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3

=-1．

5、若x-y=1，x3-y3=2，则x4+y4=______，x5-y5______．

【答案】

∵x3-y3=（x-y）（x2+xy+y2）=2，

x-y=1，

x3-y3=（x-y）（x2+xy+y2）=2，

又∵x2-2xy+y2=1，与上式联立得：

xy= ，x2+y2= ，

故x4+y4=（x2+y2）2-2x2y2= 23 9 ，

又x5-y5=x5-x4y+x4y-xy4+xy4-y5=x4（x-y）+xy（x3-y3）+y4（x-y），

将x-y=1，xy= ，x3-y3=2代入，

可得x5-y5= ，

故答案为 、  ．

6、若三个数a、b、c满足a+b+c=0，abc=1，则a3+b3+c3=______．（用具体数字作答，它不含a、b、c）

【答案】

∵a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-ac-bc），

∵a+b+c=0，abc=1，

∴a3+b3+c3=3abc=3，

故【答案】为3．

7、设N=99999．则N3=______．

【答案】

∵N=99999+1-1=105-1，

∴N3=（105-1）3=1015-3×1010+3×105-1=1010（105-3）+3×105-1=99997000000+299999=999970000299999．

故【答案】是999970000299999．

8、已知：x-y=1，求证：x3-3xy-y3=1

【答案】

证明：

x3-3xy-y3

=x3-y3-3xy

=（x-y）（x2+xy+y2）-3xy

=x2+xy+y2-3xy

=x2-2xy+y2

=（x-y）2

=1

9、已知a+b+c=4，bc+ca+ab=5，a3+b3+c3=10，则abc=______．

【答案】

∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c=4，bc+ca+ab=5，

∴a2+b2+c2=6，

又∵a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-ac-bc），

∴3abc=a3+b3+c3-（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-ac-bc）=6，

即可得abc=2．

故答案为：2．

10、若实数a、b、c满足a+b+c=5，bc+ca+ab=7，abc=2，则a3+b3+c3=______．

【答案】

∵（a+b+c）3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2c+3ab2+3ac2+3bc2+6abc，

∴a3+b3+c3=（a+b+c）3-3a（ab+ac+bc）-3b（ab+bc+ac）-3c（ab+bc+ac）+3abc

=53-3（a+b+c）（ab+bc+ac）+3abc

=125-3×5×7+3×2

=26．

故答案是26．

11、已知b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值．

【答案】

∵a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，

∴2b+c=6，c=6-2b，

代入a+b=c+1得a=7-3b，

代入b+c=d+2得d=4-b，

则a+b+c+d=17-5b，

因为b≥0，

所以当b取0时，a+b+c+d的最大值为17．

12、若x，y，z满足x+y+Z=1，x2+y2+z2=2，x3+y3+z3=3，求x4+y4+z4的值．

【答案】

∵（x+y+z）2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx，

∴xy+yz+zx=（1-2）=- ，

∵x3+y3+z3-3xyz=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx），

∴xyz=，

x4+y4+z4=（x2+y2+z2）2-2（x2y2+y2z2+z2x2），

∵x2y2+y2z2+z2x2=（xy+yz+zx）2-2xyz（x+y+z）=- =- ，

∴x4+y4+z4=（x2+y2+z2）2-2（x2y2+y2z2+z2x2）=4-2×（-   ）= ．

13、若正整数a、b、c满足a3+b3+c3-3abc=0，则（　　）

A．a=b=c B．a=b≠c C．b=c≠a D．c两两不等

【答案】A

14、分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3=______．

【答案】

x3+2x2y+2xy2+y3=（x3+y3）+（2x2y+2xy2）

=（x+y）（x2-xy+y2）+2xy（x+y）

=（x+y）（x2+xy+y2）

故答案为：（x+y）（x2+xy+y2）

15、计算：（﹣2）3·（﹣2）2÷（﹣2）8。

【答案】

解：（﹣2）3·（﹣2）2÷（﹣2）8

=（﹣2）5÷（﹣2）8

=（﹣2）5﹣8

=（﹣2）﹣3

=﹣

16、若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，则的值为

[     ]

A．

B．49！

C．2450

D．0.2！

【答案】C

17、计算：（﹣12）÷4×（﹣6）÷2

【答案】

解：原式=（﹣12）××（﹣6）×

=3×3

=9．

18、一辆载重为5吨的卡车装满袋装味精，每一小袋味精约重50克。

（1）一小袋味精占一卡车味精的多少分之一？

（2）如果每人一天约食用味精0.5克，一卡车味精可供一百万的城市食用多少天？

【答案】解：5吨=5000000克，

（1）一小袋味精占一卡车味精==；

（2）5000000÷（0.5×1000000）=10（天）

答：一小袋味精占一卡车味精的；

这样一卡车的味精可供一百万人口得城市吃10天。

19、若n是正整数，则的值是（  ）

A．1

B．2

C．﹣1

D．﹣

【答案】D

20、正常情况下人的脉博是每分钟60到80次，试取中间数每分钟70次，估算一下心跳100万次需要的时间约为（    ）天．

【答案】10