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高中人教A版 (2019)8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系优秀ppt课件
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这是一份高中人教A版 (2019)8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系优秀ppt课件，共16页。PPT课件主要包含了随堂演练等内容，欢迎下载使用。
异面直线所成的角1.思考(1)平面内两条相交直线的夹角是如何定义的?提示平面内两条直线相交所成的4个角中,不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角).(2)两条相交直线的夹角有什么意义?提示夹角刻画了平面内一条直线相对于另一条直线倾斜的程度.(3)平面几何中如何定义两条直线垂直?提示如果两条直线相交所成的角为90°,就称这两条直线垂直.
(4)空间中两条直线垂直,一定要相交吗?提示不一定.如果两条异面直线所成的角是直角,就称这两条直线垂直.(5)空间两条直线所成角的范围是什么?空间两条异面直线所成角的范围呢?提示空间两条直线所成角的范围是0°≤α≤90°,两条异面直线所成角的范围是0°<α≤90°.
2.填空两条异面直线所成的角(或夹角)
3.做一做在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAE=25°,则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为 . 答案:65°解析:∵B1C1∥BC,∴∠AEB为异面直线AE与B1C1所成的角.∵∠BAE=25°,∴∠AEB=65°.
求异面直线所成的角例题如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.分析先作出角,再证明角的两边分别与两异面直线平行,最后在三角形中求角.
解法一如图①,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,则OG∥B1D,EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
解法二如图②,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,则HE∥DB1,且HE= DB1.于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角或补角.∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=90°,∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
解法三如图③,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接B1Q,则B1Q∥EF.于是∠DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.通过计算,不难得到:B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线DB1与EF所成的角为90°.
反思感悟 求两条异面直线所成的角是立体几何中的重要题型之一,而求它的常用方法是空间问题平面化.(1)具体地,求两条异面直线所成角的一般步骤是:①构造:恰当地选择一个点(线段的端点或中点),用平移法构造异面直线所成的角;②证明:证明①中所作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角;③计算:通过解三角形等知识,求出①中所构造的角的大小;④结论:假如所构造的角的大小为α,若0°<α≤90°,则α即为所求异面直线所成角的大小;若90°<α<180°,则180°-α即为所求.
(2)作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:①直接平移法(可利用图中已有的平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).
延伸探究若把“直线DB1”换为“直线DC1”呢?解:如图,连接A1C1,A1D.在△A1B1C1中,A1E=EB1,C1F=FB1,所以EF∥A1C1.所以∠A1C1D为直线DC1与EF所成的角.在△A1C1D中,A1D=DC1=A1C1,所以∠A1C1D=60°,所以直线DC1与EF所成的角等于60°.
1.经过空间一点P作与直线a成60°角的直线,这样的直线有( )A.0条B.1条C.有限条D.无数条答案:D解析:这些直线可以是以P为顶点,以过点P且平行于a的直线为轴的圆锥的母线所在的直线,有无数条直线.
2.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是 ( )A.一定平行B.一定相交C.一定异面D.相交或异面答案:D解析:画出图形,得到结论.如图①,分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是相交关系.如图②,分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是异面关系.综上可知,应选D.
异面直线所成的角1.思考(1)平面内两条相交直线的夹角是如何定义的?提示平面内两条直线相交所成的4个角中,不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角).(2)两条相交直线的夹角有什么意义?提示夹角刻画了平面内一条直线相对于另一条直线倾斜的程度.(3)平面几何中如何定义两条直线垂直?提示如果两条直线相交所成的角为90°,就称这两条直线垂直.
(4)空间中两条直线垂直,一定要相交吗?提示不一定.如果两条异面直线所成的角是直角,就称这两条直线垂直.(5)空间两条直线所成角的范围是什么?空间两条异面直线所成角的范围呢?提示空间两条直线所成角的范围是0°≤α≤90°,两条异面直线所成角的范围是0°<α≤90°.
2.填空两条异面直线所成的角(或夹角)
3.做一做在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAE=25°,则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为 . 答案:65°解析:∵B1C1∥BC,∴∠AEB为异面直线AE与B1C1所成的角.∵∠BAE=25°,∴∠AEB=65°.
求异面直线所成的角例题如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.分析先作出角,再证明角的两边分别与两异面直线平行,最后在三角形中求角.
解法一如图①,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,则OG∥B1D,EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
解法二如图②,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,则HE∥DB1,且HE= DB1.于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角或补角.∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=90°,∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
解法三如图③,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接B1Q,则B1Q∥EF.于是∠DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.通过计算,不难得到:B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线DB1与EF所成的角为90°.
反思感悟 求两条异面直线所成的角是立体几何中的重要题型之一,而求它的常用方法是空间问题平面化.(1)具体地,求两条异面直线所成角的一般步骤是:①构造:恰当地选择一个点(线段的端点或中点),用平移法构造异面直线所成的角;②证明:证明①中所作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角;③计算:通过解三角形等知识,求出①中所构造的角的大小;④结论:假如所构造的角的大小为α,若0°<α≤90°,则α即为所求异面直线所成角的大小;若90°<α<180°,则180°-α即为所求.
(2)作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:①直接平移法(可利用图中已有的平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).
延伸探究若把“直线DB1”换为“直线DC1”呢?解:如图,连接A1C1,A1D.在△A1B1C1中,A1E=EB1,C1F=FB1,所以EF∥A1C1.所以∠A1C1D为直线DC1与EF所成的角.在△A1C1D中,A1D=DC1=A1C1,所以∠A1C1D=60°,所以直线DC1与EF所成的角等于60°.
1.经过空间一点P作与直线a成60°角的直线,这样的直线有( )A.0条B.1条C.有限条D.无数条答案:D解析:这些直线可以是以P为顶点,以过点P且平行于a的直线为轴的圆锥的母线所在的直线,有无数条直线.
2.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是 ( )A.一定平行B.一定相交C.一定异面D.相交或异面答案:D解析:画出图形,得到结论.如图①,分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是相交关系.如图②,分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是异面关系.综上可知,应选D.
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