初中数学第21章 二次函数与反比例函数21.5 反比例函数教学设计

21.5          反比例函数的图象与性质

教学目标

【知识与技能】

1.知道反比例函数的图象是双曲线,利用图象，解析式和表格,说出它的性质.

2.能利用反比例函数的图象和性质解决有关问题.

【过程与方法】

1.经历对反比例函数图象，解析式和表格的观察、分析、讨论、概括过程,总结出它的性质.

2.探索反比例函数的图象的性质,体会并掌握用数形结合和分类讨论思想解决数学问题的方法.

【情感、态度与价值观】

调动学生的主观能动性,积极参与数学活动,培养合作、交流意识,提高观察、分析、抽象的能力.

重点难点

【重点】反比例函数的图象和性质.

【难点】反比例函数性质的归纳和运用.

教学过程

一、回顾交流,问题牵引

上节课我们一起认识了反比例函数，并一起学习了如何画出它的图像大家还记得反比例函数图像叫什么名字吗？

在学习中我们发现：当k>0时，函数图像在一三象限，当k<0时，函数图像在二四象限。

今天我们将继续探讨如何从图像，解析式，表格三方面分析反比例函数的图像和性质。

（板书课题：反比例函数的图像和性质）

二、师生互动,探求新知

首先，请大家拿出导学案。

请大家先观察前两个函数和，回答我下面三个问题。

（1）这两个函数有什么共同点？包括k的大小如何，图像所在象限如何。

（2）函数图像与坐标轴有交点吗？

（3）说说y随x的变化情况如何？

请大家先观察思考，再与你的小组同学交流一下。注意要从图像，表格，解析式三方面分析。

学生观察，分析，讨论，得出结论：

（1）两个函数k>0，图像都在一三象限。

（2）图像与坐标轴没有交点，因为在 中，x≠0，y≠0，即横纵坐标都不能为0 ，所以与x轴没有交点，与y轴也没有交点。

（3）从图像上看，在第一象限内，y随x的增大而减小；在第三象限内，y随x的增大而减小。

从表格上看，当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而减小。

从解析式上看，因为xy=k，所以当x增大时y要减小，才能保持k为定值。而k≠0，所以需要分两段说明。

所以在每个象限内，y随x的增大而减小。

教师总结：当k>0时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，在每个象限内，图像自左向右下降，y随x的增大而减小。

三、同类引申，归纳概括

我们已经分析解决了反比例函数k＞0时的性质，那k＜0时会怎么样？请大家继续观察导学案中后两个函数和

从图像，解析式，表格三方面继续分析刚才三个问题

（1）这两个函数有什么共同点？包括k的大小如何，图像所在象限如何。

（2）函数图像与坐标轴有交点吗？

（3）说说y随x的变化情况如何？

请大家观察分析，和小组同学进行讨论，并选一位代表对三个问题进行分析总结。

学生讨论总结：学生观察，分析，讨论，得出结论：

（1）两个函数k<0，图像都在二四象限。

（2）图像与坐标轴没有交点。

（3）在每个象限内，y随x的增大而减小。

说明：在总结时学生容易丢失 “在每个象限内”，要适时提醒。

教师总结：当k<0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，图像自左向右上升，y随x的增大而增大。

四、练习巩固，学以致用

同学们都总结得不错!下面让就我们一起用刚才总结出来的规律来解决几个问题.

教师读题,学生在下面思考.

1. 小明把反比例函数  的图像画成了下面的样子，对吗？为什么？

2. 如图，是反比例函数的图象的一个分支，对于给出的下列说法：

①常数k的取值范围是 k>0  ；

②另一个分支在第三象限；

③在函数图象上取点A(a1,b1) 和B(a2,b2)，当a1>a2时，b1<b2  ；

④在函数图象的某一个分支上取点A(a1,b1) 和B(a2,b2)，

  当a1>a2时，b1<b2；

其中正确的是________________（在横线上填出正确的序号）．

3.已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(4,y3)都在反比例函数      的图象上,则y1、y2与y3的大小关系(从大到小)为            

4.在反比例函数               的图象上有三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1>x2>0>x3，则y1，y2 与y3的大小为                 

（说明：前两题比较简单，学生可以很轻松地完成。

第三题有三种方法，即代入解析式法，图像法和直接利用反比例函数当k>0时，y随x增大而减小的性质解题。教学时可以让学生充分思考，比较三种方法的优劣性。

对于第四题，是在第三题的基础上提高的，教学时可以继续让学生在三种方法中进行选择，充分感知图像法的直观性，体会数形结合的思想方法。）

五、拓展引申，深入了解

其实反比例函数的性质我们还没有研究完，大家有没有发现反比例函数的两个分支具有一定的对称感觉？我们在初中阶段学过哪些对称？（轴对称、中心对称）请大家利用手里的函数图像，通过操作去验证你的猜想。

（学生利用导学案上的图像，折叠，旋转，验证反比例函数的轴对称性和中心对称性。由于时间关系，关于轴对称的分析和探究留到课下去解决。

由于中心对称现场验证不够直观，所以课上使用视频旋转和几何画板两种方式对反比例函数的中心对称性进行验证，给学生以更直观的感受。）

练习：如图，已知反比例函数 的图象与正比例函数的图象交于点A（m，﹣3）．求另一个交点B的坐标；

（本题的常规方法是把A带入求出m=-1，再把A（-1，-3）带入，得到k=3,联立和求得B（1，3），比较麻烦。在学习了反比例函数的中心对称性后，可以直接利用A点坐标求出B）

六、课堂小结，巩固新知

1、对反比例函数的认识

2、对解题方法的认识（数缺形时少直觉，形少数时难入微。）

七、挑战自我，加深理解

已知点（x1,y1）,（ x2,y2 ）在反比例函数 的图象上，并且x1<x2,试比较y1与y2的大小。

（分析：题目中没有指明x1与x2的正负，所以需要分情况讨论。）

解：1)当A、B在第一象限时,y1>y2。

2)当A、B在第三象限时， y1>y2，

3)当A在第三象限时、B在第一象限时, y1<y2。

八、布置作业，课后思考

1、反比例函数的两个分支是轴对称的吗？如果是，对称轴是什么？对应点有什么特征？

2、如图，已知反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）．

（1）求k1、k2、b的值；

（2）求△AOB的面积；

（3）若M（x1，y1），N（x2，y2）是比例函数y=图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限，并简要说明理由．

【教学反思】

本节课通过学生自主探索,合作交流,以认知规律为主线,以发展能力为目标,以从直观感受到分析归纳为手段,培养学生的合情推理能力和积极的情感态度,促进良好的数学观的形成.在教学手段上,本节课大量使用多媒体辅助教学,既能体现知识的背景材料,又能引起学生的注意力,有效地节省了时间,增大了课堂容量.生动形象的动画演示,动感强,直观性好,既加深了学生的理解,又培养了学生的抽象思维能力,同时也向学生渗透了归纳类比、数形结合的数学思想方法.