高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 等差数列的前n项和第2课时复习练习题

2.2.2　等差数列的前n项和

第2课时　等差数列前n项和的综合应用

1.已知数列{an}满足an=26-2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为(　　)

A.11或12 B.12

C.13 D.12或13

【答案】D

【解析】∵an=26-2n，∴an-an-1=-2，

∴数列{an}为等差数列.

又a1=24，d=-2，

∴Sn=24n+×(-2)=-n2+25n

=-n-2+.

∵n∈N+，∴当n=12或13时，Sn最大，故选D.

2.等差数列{an}中，a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，那么此数列前20项的和为(　　)

A.160 B.180 C.200 D.220

【答案】B

【解析】由a1+a2+a3=3a2=-24，得a2=-8，由a18+a19+a20=3a19=78，得a19=26，于是S20=10(a1+a20)=10(a2+a19)=10×(-8+26)=180.

3.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn=(n+1)2+λ，则λ的值是(　　)

A.-2 B.-1 C.0 D.1

【答案】B

【解析】∵等差数列前n项和Sn的形式为Sn=An2+Bn，∴λ=-1.

4.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011=S2 016，Sk=S2 008，则正整数k为(　　)

A.2 017 B.2 018

C.2 019 D.2 020

【答案】C

【解析】由二次函数的对称性及S2 011=S2 016，Sk=S2 008，可得，解得k=2 019.故选C.

5.若数列{an}满足:a1=19，an+1=an-3(n∈N+)，则数列{an}的前n项和最大时，n的值为(　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

【答案】B

【解析】因为an+1-an=-3，所以数列{an}是以19为首项，-3为公差的等差数列，所以an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设前k项和最大，则有所以≤k≤.因为k∈N+，所以k=7.故满足条件的n的值为7.

6.数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1(n∈N+)，则它的通项公式是　　　　　　　　. 

【答案】an=

【解析】当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5，

当n=1时，a1=S1=3×12-2×1+1=2，不符合an=6n-5，∴an=

7.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4=1，S5=10，则当Sn取得最大值时，n的值为　　　　　. 

【答案】4或5

【解析】由解得

∴a5=a1+4d=0，∴S4=S5且同时最大.

∴n=4或5.

8.一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么落到地面所需要的时间秒数为　　　　. 

【答案】20

【解析】设物体经过t秒降落到地面，物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列，根据题意，则有前t秒降落的距离为4.90t+×9.80=1 960，解得t=20，所以落到地面所需要的时间秒数为20.

9.设等差数列{an}满足a3=5，a10=-9.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求{an}的前n项和公式Sn及使得Sn最大的自然数n的值.

解(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5，a10=-9，

得解得

所以数列{an}的通项公式为an=11-2n，n∈N+.

(2)由(1)知，Sn=na1+d=10n-n2.

因为Sn=-(n-5)2+25，

所以当n=5时，Sn取得最大值.

10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4=40，Sn=210，Sn-4=130，则n等于(　　)

A.12 B.14 C.16 D.18

【答案】B

【解析】因为Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80，S4=a1+a2+a3+a4=40，所以4(a1+an)=120，a1+an=30，由Sn==210，得n=14.

11.已知等差数列{an}中，a1 009=4，S2 018=2 018，则S2 019等于(　　)

A.-2 019 B.2 019

C.-4 038 D.4 038

【答案】C

【解析】因为{an}是等差数列，所以S2 018=1 009(a1+a2 018)=1 009(a1 009+a1 010)=2 018，则a1 009+a1 010=2.又a1 009=4，所以a1 010=-2，则S2 019==2 019a1 010=-4 038.

12.已知{an}为项数为2n+1的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为(　　)

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】S奇=，S偶=，

∵a1+a2n+1=a2+a2n，∴.

13.设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4+a7=99，a2+a5+a8=93，若对任意n∈N+，都有Sn≤Sk成立，则k的值为(　　)

A.22 B.21 C.20 D.19

【答案】C

【解析】对任意n∈N+，都有Sn≤Sk成立，即Sk为Sn的最大值.因为a1+a4+a7=99，a2+a5+a8=93，所以a4=33，a5=31，故公差d=-2，an=a4+(n-4)d=41-2n，当Sn取得最大值时，满足解得≤n≤，即满足对任意n∈N+，都有Sn≤Sk成立的k的值为20.

14.(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2 018>0，S2 019<0，则下列说法正确的是(　　)

A.S1 009最大 

B.|a1 009|>|a1 010|

C.a1 010>0 

D.S2 018+S2 019<0

【答案】AB

【解析】∵S2 018>0，S2 019<0，

∴>0，=2 019a1 010<0，∴a1 009+a1 010>0，a1 010<0，

可得a1 009>0，a1 010<0，|a1 009|>|a1 010|，故A，B都正确，C错误，

由an=1 009.8-n，此时满足条件，但是D选项不成立，故D错误.

15.在等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若S10=8且S20=10，则S30的值为　　　　. 

【答案】6

【解析】∵在等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，

∴S10，S20-S10，S30-S20成等差数列，

∴8，2，S30-10成等差数列，

∴2×2=8+S30-10，∴S30=6.

16.(2021浙江温州模拟)我国古代一部数学著作《张丘建算经》中有一题为:“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈.”其白话意译为:“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月(按30天计算)共织布390尺.”每天增加的数量为　　　　尺.设该女子一个月中第n天所织布的尺数为an，则a14+a15+a16+a17=　　　　. 

【答案】　52

【解析】依题意等差数列的前30项和为390，首项a1=5，设公差为d，

所以S30=30×5+×d=390，解得d=，

所以a14+a15+a16+a17=4a1+58d=20+32=52.

17.某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50 m，最远一根电线杆距离电站1 550 m，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工.若该汽车往返运输总行程为17 500 m，共竖立多少根电线杆?第一根电线杆距离电站多少米?

解由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{an}，

则an=1 550×2=3 100，d=50×3×2=300，

Sn=17 500.

由等差数列的通项公式及前n项和公式，

得

由①得a1=3 400-300n.

代入②得n(3 400-300n)+150n(n-1)-17 500=0，

整理得3n2-65n+350=0，

解得n=10或n=(舍去)，

所以a1=3 400-300×10=400.

故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10=30(根)，最近的一趟往返行程400 m，

第一根电线杆距离电站×400-100=100(m).

所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100 m.

18.数列{an}中，a1=8，a4=2，且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N+).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Tn.

解(1)∵an+2-2an+1+an=0，

∴an+2-an+1=an+1-an，

∴{an}是等差数列，又a1=8，a4=2，

∴d=-2，an=a1+(n-1)d=10-2n，n∈N+.

(2)设数列{an}的前n项和为Sn，

则Sn=8n+×(-2)=9n-n2.

∵an=10-2n，令an=0，得n=5.

当n>5时，an<0;

当n=5时，an=0;

当n<5时，an>0.

∴当n>5时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|

=a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+an)

=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn

=2×(9×5-25)-9n+n2=n2-9n+40，

当n≤5时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|

=a1+a2+…+an=9n-n2.

∴Tn=