湘教版 必修第一册模块检测+Word版含解析

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模块综合检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设x∈Z，集合A为偶数集，则命题“∀x∈Z，2x∈A”的否定形式是(　　)
A．∀x∈Z，2x∉A　　　 B．∀x∉Z，2x∈A
C．∃x∈Z，2x∈A D．∃x∈Z，2x∉A
解析：选D　由全称命题的否定是特称命题，故该命题的否定是“∃x∈Z，2x∉A”．故选D.
2．已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞1}，集合B＝，则A∩B＝(　　)
A. B．
C. D．
解析：选A　∵y＝log2x(x＞1)是增函数，∴函数的值域是{y|y＞0}，∴A＝{y|y＞0}．∵y＝(x＜1)是减函数，∴函数的值域是，∴B＝，∴A∩B＝.故选A.
3．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是(　　)
A．方差 B．中位数
C．众数 D．平均数
解析：选A　由题可知，中位数和众数、平均数都有变化，本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以(xn－)2不变，据方差公式s2＝可知方差不变．
4．设函数f(x)＝若f(a)＝1，则实数a的值为(　　)
A. B．－或4
C．－4 D．或4
解析：选B　由方程f(a)＝1可得①或②，解①可得a＝－，解②可得a＝4，故方程f(a)＝1的解是a＝－或a＝4.
5．定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，且f(x＋2)为偶函数，则(　　)
A．f(－1)＜f(3) B．f(0)＞f(3)
C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)
解析：选A　因为f(x＋2)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，由于f(x＋2)的图象可由f(x)的图象向左平移2个单位长度得到，故f(x)的图象关于直线x＝2对称．因为函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，所以在(2，＋∞)上单调递减，所以f(－1)＝f(5)＜f(4)＝f(0)＜f(3)．
6．当x∈[－2，2)时，y＝3－x－1的值域是(　　)
A. B．
C. D．
解析：选A　∵y＝3－x－1＝－1，x∈[－2，2)是减函数，∴3－2－1＜y≤32－1，即－＜y≤8.
7．已知f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，它们的部分图象如图所示，则f(x)·g(x)的图象大致是(　　)


解析：选C　由题意，得f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．令F(x)＝f(x)g(x)，则F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，所以函数F(x)＝f(x)g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A、B.又由函数f(x)，g(x)的图象可知，当x＞0时，f(x)＞0，g(x)＞0，所以F(x)＞0，可排除D，故选C.
8.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的一个单调递增区间是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D　由图象可得T＝π－π，∴T＝π，则ω＝2.又图象过点，∴2sin＝2，∴φ＝－，∴f(x)＝2sin，其单调递增区间为(k∈Z)，取k＝1，即得选项D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知0 A．ac C．logac>logbc D．sin a>sin b
解析：选BD　取a＝，b＝，c＝2，则<，A成立；2>2，B不成立；log2＝－，log2＝－1，∴log2>log2，C成立；∵0 10．下列命题为真命题的是(　　)
A．函数y＝tan x的图象关于点，k∈Z对称
B．函数f(x)＝sin |x|是最小正周期为π的周期函数
C．设θ为第二象限角，则tan>cos，且sin>cos
D．函数y＝cos2x＋sin x的最小值为－1
解析：选AD　，k∈Z是正切函数图象的对称中心，∴A对；f(x)＝sin |x|不是周期函数，∴B错；∈，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z时，sin 11．设函数f(x)＝若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)．则下列结论恒成立的是(　　)
A．ab＝1 B．c－a＝
C．b2－＜0 D．a＋c＜2b
解析：选ABC　作出函数f(x)的图象如图所示，因为实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)，

所以－log2a＝log2b＝log，
即a＝＝c－，且＜a＜1，
则ab＝1和c－a＝恒成立，所以A、B恒成立；
又b2－＝－＝＜0，
所以b2－＜0，所以C恒成立；
a＋c－2b＝2a＋－∈，
即当＜a＜1时，a＋c－2b的符号不能确定，所以D不恒成立．故选A、B、C.
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝－，则关于函数g(x)＝[f(x)]的叙述中正确的是(　　)
A．g(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数
C．f(x)在R上是增函数 D．g(x)的值域是{－1，0，1}
解析：选BC　根据题意知，f(x)＝－＝－.∵g(1)＝[f(1)]＝＝0，g(－1)＝[f(－1)]＝＝－1.∴g(1)≠g(－1)，g(1)≠－g(－1)，∴函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数，A错误；∵f(－x)＝－＝－＝－f(x)．∴f(x)是奇函数，B正确；由复合函数的单调性知f(x)＝－在R上是增函数，C正确；∵ex>0，∴1＋ex>1，∴－ 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若函数f(x)＝(m－1)xa是幂函数，则函数g(x)＝loga(x－m)(其中a＞0，a≠1)的图象过定点的坐标为________．
解析：由函数f(x)＝(m－1)xa是幂函数，可得m－1＝1，即m＝2，故g(x)＝loga(x－2)．当x－2＝1，即x＝3时，g(3)＝0.故过定点的坐标为(3，0)．
答案：(3，0)
14．一批救灾物资由51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速送达灾区，已知两地公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要________ h.
解析：当最后一辆汽车出发时，第一辆汽车走了＝ h，最后一辆汽车走完全程共需要 h，所以一共需要h，结合基本不等式计算最值，可得＋≥2 ＝10，故最小值为10 h.
答案：10
15．设ω>0，若函数f(x)＝2sin ωx在上单调递增，则ω的取值范围是________；若函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值是－2，则ω的最小值为________．
解析：令－≤ωx≤，得－≤x≤，则是函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)关于原点对称的递增区间中范围最大的，∴⊆，则解得ω≤，∴ω的取值范围是.要使函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则≤或T≤，即≤或≤π，解得ω≥或ω≥6，∴ω的最小值为.
答案：　
16．已知定义在R上的函数y＝f(x)对任意的x都满足f(x＋2)＝f(x)，当－1≤x<1时，f(x)＝x2，若函数g(x)＝f(x)－a|x|有5个不同零点，则a的取值范围是________．
解析：由题意g(x)＝f(x)－a|x|有5个不同零点，即函数y＝f(x)和y＝a|x|的图象有5个交点，
因为f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数，
当－1≤x<1时，f(x)＝x2，图象关于y轴对称，过原点，
当1≤x<3时，f(x)＝(x－2)2，
y＝a|x|是偶函数，图象关于y轴对称，过原点，
作出y＝f(x)和y＝a|x|的图象，如图，它们有5个交点时，a>0，
根据对称性，可知，x>0时两个图象要有两个交点，y＝ax的直线在OA，OB之间，即在A(1，1)点下方，在B(3，1)点上方，则解得
答案：
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(1)计算：＋2log32－log3－5；
(2)已知角α的终边经过点M(1，－2)，求的值．
解：(1)原式＝＋2log32－2log3－5＝＋2－3＝－.
(2)∵角α的终边经过点M(1，－2)，
∴sin α＝＝－，
∴＝＝－sin α＝.
18．(本小题满分12分)请在①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件，这三个条件中任选一个，补充在下面问题(2)中．
已知集合A＝{x|x2－4x－12≤0}，B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m＞0}．
(1)求集合A，B；
(2)若x∈A是x∈B成立的________条件，判断实数m是否存在？若实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：(1)由x2－4x－12≤0，得－2≤x≤6，
所以A＝{x|－2≤x≤6}，
由x2－2x＋1－m2＝0，得x1＝1－m，x2＝1＋m，
因为m＞0，故集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(2)若选择条件①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，
则有解得m≥5，
所以，实数m的取值范围是[5，＋∞)．
若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集，
则有解得0＜m≤3，
所以实数m的取值范围是(0，3]．
若选择条件③，即x∈A是x∈B成立的充要条件，则集合A等于集合B，
则有方程组无解，
所以不存在满足条件的实数m.
19．(本小题满分12分)为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校的学习基地现场进行加工直径为20 mm的零件测试，两人各加工10个零件的直径的相关数据如图所示(单位：mm)：

A，B两位同学各加工10个零件的直径的平均数与方差如下表：

平均数
方差
A
20
0.016
B
20
s
根据测试得到的有关数据，试回答下列问题：
(1)计算s，考虑平均数与方差，说明谁的零件测试结果好些；
(2)考虑图中折线走势情况，你认为派谁去参赛更合适？请说明你的理由．
解：(1)由题表中的数据，可得
s＝×[5×(20.0－20)2＋3×(19.9－20)2＋1×(20.1－20)2＋1×(20.2－20)2]＝0.008，
∵0.008＜0.016，∴在平均数相同的情况下，B同学加工的零件的直径波动较小，
∴B同学的零件测试结果好些．
(2)从题图中折线的走势情况，可知尽管A同学前面零件的直径起伏大，但后来逐渐稳定，误差越来越小，
∴派A同学去参赛更合适．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)图象上的一个最低点为Q，且f(x)的图象与x轴的两个相邻交点之间的距离为2π.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在上的值域．
解：(1)由题意知A＝2，＝2π，故T＝4π＝，
∴ω＝，
又函数f(x)的图象过点Q，
∴2sin＝－2，
∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
即φ＝2kπ＋，k∈Z，
又－π<φ<0，
∴φ＝－.
则f(x)＝2sin.
(2)将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度后，
得到函数y＝2sin
＝2sin的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得到函数y＝2sin的图象，
∴g(x)＝2sin.
若x∈，
则x－∈，
∴sin∈，
则g(x)的值域为[－2，)．
21．(本小题满分12分)近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)间的关系为P(t)＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物．
(1)求常数k的值；
(2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间．(精确到1 h，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11)
解：(1)由已知得，当t＝0时，P＝P0；
当t＝5时，P＝90%P0.
于是有90%P0＝P0e－5k，
解得k＝－ln 0.9(或k≈0.022)．
(2)由(1)知P＝P0et，当P＝40%P0时，
有0.4P0＝P0et，
解得t＝≈＝≈42.
故污染物减少到40%至少需要42 h.
22．(本小题满分12分)在函数y＝logax(0 (1)若△ABC的面积为S，求S＝f(t)；
(2)判断S＝f(t)的单调性；
(3)求S＝f(t)的最大值．
解：(1)如图所示，设A′，B′，C′是A，B，C在x轴上的射影，则A，B，C三点的坐标为A(t，logat)，B(t＋2，loga(t＋2))，C(t＋4，loga(t＋4))．
S△ABC＝S梯形AA′B′B＋S梯形BB′C′C－S梯形AA′C′C＝2|loga(t＋2)|－(|logat|＋|loga(t＋4)|)．
∵x≥1，∴t≥1，∴t＋2>1，t＋4>1.
由0 S＝f(t)＝－2loga(t＋2)＋logat＋loga(t＋4)＝loga.
(2)由(1)知，S＝loga＝loga.
当t≥1时，(t＋2)2单调递增，单调递减，1－单调递增．
∵0 (3)当t≥1时，(t＋2)2≥9，1－≥.
由(2)知S＝f(t)是减函数，
∴S＝f(t)的最大值为loga.