培优课　破解不等式“恒成立”“能成立”问题

解决不等式恒成立、能成立问题，常使用的方法为：判别式法、数形结合法、分离参数法，主参换位法等，方法灵活多变，需根据具体的条件求解，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养.

类型一　“Δ”法解决恒成立问题

例1 (1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围；

(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.

解　(1)当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意.

当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，

由y<0恒成立，

∴其图象都在x轴的下方，

即开口向下，且与x轴无交点.

∴解得－1<k<0.

综上，实数k的取值范围是{k|－1<k≤0}.

(2)原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，

∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0，

即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0，

解得a≤－1或a≥4，

∴实数a的取值范围是{a|a≤－1或a≥4}.

类型二　数形结合法解决恒成立问题

例2 函数f(x)＝x2＋ax＋3.当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围.

解　当x∈[－2，2]时，

设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，

分析如下三种情况讨论(如图所示)：

①如图①，当g(x)的图象与x轴不超过一个交点时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，

即－6≤a≤2.

②如图②，g(x)的图象与x轴有两个交点，

但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，

即即

可得解得a∈∅.

③如图③，g(x)的图象与x轴有两个交点，

但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.

即即

可得

∴－7≤a<－6，

综上，实数a的取值范围是[－7，2].

类型三　分离参数法解决恒成立问题

例3 “∀x<0，x2＋ax＋2≥0”为真命题，则实数a的取值范围为(　　)

A.(－∞，2]   B.(－∞，－2]

C.[2，＋∞)   D.[－2，＋∞)

答案　A

解析　由∀x<0，x2＋ax＋2≥0可得a≤－x－，

因为－x－＝(－x)＋

≥2＝2，

当且仅当－x＝－，即x＝－时等号成立，所以a≤2.

类型四　主参换位法解决恒成立问题

例4 已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围.

解　设关于m的函数y＝mx2－mx－6＋m＝(x2－x＋1)m－6，

由题意知y<0对1≤m≤3恒成立.

∵x2－x＋1>0，

∴y是关于m的一次函数，且在1≤m≤3上随x的增大而增大，

∴y<0对1≤m≤3恒成立等价于y的最大值小于0，

即(x2－x＋1)·3－6<0⇔x2－x－1<0⇔<x<.

∴x的取值范围为.

类型五　转化为函数的最值解决能成立问题

例5 若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围.

解　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，

∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，

∴m≥2x2－8x＋6能成立，

令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，

∴m≥－2，

∴m的取值范围为{m|m≥－2}.