高中数学人教A版必修第一册模块综合检测含解析

  模块综合检测

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，集合B＝{x|x＜1}，则A∪B＝(　　)

A．(－2,1)　　　 B．(－2,3)

C．(－∞，1)　 D．(－∞，3)

D　[∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x＜1}，

∴A∪B＝{x|x＜3}＝(－∞，3)．]

2．与2019°终边相同的角是(　　)

A．37°　 B．141°

C．－37°　 D．－141°

D　[∵2019°＝6×360°－141°，∴与2019°终边相同的是－141°.]

3．下列函数中，既是偶函数又是区间(0，＋∞)上的增函数的是(　　)

A．y＝x3　 B．y＝|x|＋1

C．y＝－x2＋1　 D．y＝2－|x|

B　[因为A项是奇函数，故错，C，D两项是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，故错，只有B项既满足是偶函数，又满足在区间(0，＋∞)上是增函数．]

4．已知幂函数y＝f(x)过(4,2)点，则f(2)＝(　　)

A．　 B．2

C．4　 D．

A　[由题意可设f(x)＝xα，又函数图象过定点(4,2)，

∴4α＝2，∴α＝，从而可知f(x)＝x，则f(2)＝.]

5．函数f(x)＝2x－sin 2x的零点个数为(　　)

A．0　 B．1

C．3　 D．5

B　[由f(x)＝2x－sin 2x＝0，得2x＝sin 2x，令t＝2x，分别做出y＝t的图象和y＝sin t的图象，只有一个交点，又t＝2x单调，所以f(x)＝2x－sin 2x只有一个零点．]

6．函数y＝x2＋bx＋c，x∈[0，＋∞)是单调函数的必要条件是(　　)

A．b>1　 B．b<－1

C．b<0　 D．b>－1

D　[因为函数y＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上单调，所以x＝－≤0，即b≥0.显然b≥0⇒b＞－1.]

7．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

A　[因为y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到函数y＝sin＝sin的图象，所以要得到函数y＝sin的图象，只需要将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位．]

8．设a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＞b＞c　 B．c＞b＞a

C．b＞a＞c　 D．c＞a＞b

A　[由题意，可知函数y＝3x是定义域上的增函数，

∴a＝30.3＞30＝1，

又∵y＝logπx是定义域上的增函数，

∴0＝logπ1＜logπ3＜logππ＝1，

又∵y＝log0.3x是定义域上的减函数，

∴c＝log0.3e＜log0.31＝0，

所以a＞b＞c.]

9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象(部分)如图所示则f(1)＝(　　)

A．1　 B．－1

C．　 D．－

B　[∵根据图象判断，周期为T＝4×＝2，A＝2，∴＝2，解得：ω＝π；又2sin＝2，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ＋，k∈Z；∴f(x)的解析式为f(x)＝2sin，x∈R.∴f(1)＝2sin＝－1.]

10．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧A的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)

C　[令AP所对圆心角为θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sin＝，∴d＝2sin＝2sin.即d＝f(l)＝2sin(0≤l≤2π)，它的图象为C．]

11．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为(已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　)

A．8　 B．9

C．10　 D．11

D　[设至少需要过滤n次，则0.02×n≤0.001，即n≤，所以nlg≤－lg 20，即n≤＝≈10.42，又n∈N，所以n≥11，所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求．]

12．定义域为R的偶函数f(x)时，满足对任意的x∈R有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[2,3]时，f(x)＝－2x2＋12x－18，若函数y＝f(x)－loga(|x|＋1)在R上至少有六个零点，则a的取值范围是(　　)

A．　 B．

C．　 D．[来源:学科网]

A　[当x∈[2,3]时，f(x)＝－2x2＋12x－18＝－2(x－3)2，图象为开口向下，顶点为(3,0)的抛物线，∵函数y＝f(x)－loga(|x|＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，令g(x)＝loga(|x|＋1)，因为f(x)≤0，所以g(x)≤0，可得0＜a＜1，要使函数y＝f(x)－loga(|x|＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，

如图要求g(2)＞f(2)，

loga(2＋1)＞f(2)＝－2⇒loga3＞－2，[来源:学科网]

可得3＜⇒－＜a＜，a＞0，

所以0＜a＜.]

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)

13．已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)，若f[g(1)]＝1，则a＝________.

解析　∵f[g(1)]＝1，且f(x)＝5|x|，∴g(1)＝0，

即a－1＝0，解得a＝1.

答案　1

14．(多空题)已知sin＝，则sin＝________，cos＝________.

解析　sin＝sin

＝－sin[来源:学+科+网Z+X+X+K]

＝－；

cos＝cos＝sin＝.

答案　－　

15．(多空题)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则xy的最大值是________，＋的最小值是________．

解析　因为x＋2y≥2，所以4≥2，即得xy≤2，当且仅当x＝2y时取等号，所以xy的最大值是2；因为＋＝＝≥＝，当且仅当x＝y时取等号，所以＋的最小值是.

答案　2　

16．设函数f(x)＝，若函数g(x)＝f2(x)＋bf(x)＋c有三个零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则x1x2＋x2x3＋x1x3＝________.

解析　令f(x)＝t，则由图可得关于x的方程f(x)＝t的根有两个或三个(t＝1时有三个，t≠1时有两个)，所以关于t的方程t2＋bt＋c＝0只能有两个相等的实数根，且根为1，由f(x)＝1，可得x1，x2，x3的值分别为0,1,2，所以x1x2＋x2x3＋x1x3＝0×1＋1×2＋0×2＝2.

答案　2

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分) 已知sin＝，－＜α＜，

求：(1)cos；(2)cos α.

解　(1)cos＝cos

＝sin＝.

(2)∵sin＝，－＜α＜，

∴0＜φ＋＜，

∴cos＝ ＝.

cos α＝cos＝coscos＋sinsin＝.

18．(12分)已知函数f(x)＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)过点(3,3)．

(1)求实数a的值；

(2)解关于x的不等式f(2x＋2)＜f(x2－1)．

解　(1)由题设条件可知，

f(3)＝loga(3－1)＋2＝3⇒loga2＝1∴a＝2.

(2)∵f(x)＝log2(x－1)＋2的定义域为{x|x＞1}，

并在其定义域内单调递增，

∴f(2x＋2)＜f(x2－1)⇔1＜2x＋2＜x2－1，

即⇒x＞3，

∴不等式的解集为{x|x＞3}．

19．(12分)已知函数f(x)＝2sin.

(1)求f(x)的最小正周期及其单调递增区间；

(2)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．

解　(1)由题意知，f(x)的最小正周期T＝＝4π.

又由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，

得4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z.

所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z；

(2)因为－π≤x≤π，所以－≤x≤，

则－≤x＋≤，

所以－≤sin≤1，

所以－≤2sin≤2，即－≤f(x)≤2.

所以f(x)的值域为[－，2]．

20．(12分)一种药在病人血液中的含量不低于2 g时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用m(1≤m≤12，且m∈R)g的药剂，药剂在血液中的含量y(g)随着时间x(h)变化的函数关系式近似为y＝·f(x)，其中f(x)＝

(1)若病人一次服用9 g的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？

(2)若病人第一次服用6 g的药剂，6个小时后再服用3m g的药剂，要使接下来的2 h中能够持续有效治疗，试求m的最小值．

解　(1)由题意，当m＝9时，

y＝3f(x)＝

当0≤x＜6时，≥2，

解得x≤11，此时0≤x＜6；

当6≤x＜8时，12－≥2，

解得x≤，此时6≤x≤，

综上可得0≤x≤，

所以病人一次服用9 g的药剂，

则有效治疗时间可达 h；

(2)当6≤x≤8时，y＝2＋m

＝8－x＋，

由y＝8－x，y＝(m≥1)在[6,8]均为减函数，

可得y＝8－x＋在[6,8]递减，

即有y≥8－8＋＝，

由≥2，可得m≥，

可得m的最小值为.

21．(12分)已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；

(3)解关于实数t的不等式f(t－1)＋f(t)＜0.

(1)解　函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数．

所以f(0)＝0，得到b＝0，

由于且f＝，

所以＝，解得a＝1，

所以f(x)＝ .

(2)证明　设－1＜x1＜x2＜1，

则f(x2)－f(x1)＝－＝.

由于－1＜x1＜x2＜1，

所以0＜x1x2＜1，x2－x1＞0,1＋x＞0,1＋x＞0，

即1－x1x2＞0，[来源:学。科。网Z。X。X。K]

所以＞0，

即f(x2)－f(x1)＞0，

所以f(x)在(－1,1)上是增函数．

(3)解　由于函数是奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)，

所以f(t－1)＋f(t)＜0，

转化成f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)．

因为f(x)在(－1,1)上是增函数，

所以解得0＜t＜.

所以不等式的解集为：.

22．(12分)已知函数f(x)＝ln[(4－a)x＋2a－5]，

g(x)＝ln，其中a为常数．

(1)当a＝3时，设函数h(x)＝f(2x2－1)－f(x2)，判断函数h(x)在(0，＋∞)上是增函数还是减函数，并说明理由；

(2)设函数F(x)＝f(x)－g(x)，若函数F(x)有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．

解　(1)由题意，当a＝3时，f(x)＝ln(x＋1)，

则h(x)＝ln(x≠0)，

因为＝2－，

又由在(0，＋∞)递减，

所以2－在(0，＋∞)递增，

所以根据复合函数的单调性，可得函数h(x)在(0，＋∞)单调递增函数；

(2)由F(x)＝0，得f(x)＝g(x)，

即ln[(4－a)x＋2a－5]＝ln，[来源:学科网ZXXK]

若函数F(x)有且只有1个零点，

则方程ln[(4－a)x＋2a－5]＝ln有且只有1个实数根，

化简得(4－a)x＋2a－5＝a－，

即(4－a)x2＋(a－5)x＋1＝0有且只有1个实数根，

①a＝4时，(4－a)x2＋(a－5)x＋1＝0可化为－x＋1＝0，即x＝1，

此时满足题意，

②当a≠4时，由(4－a)x2＋(a－5)x＋1＝0得：

[(4－a)x－1](x－1)＝0，解得：x＝或x＝1.

(ⅰ)当＝1即a＝3时，方程(4－a)x2＋(a－5)x＋1＝0有且只有1个实数根，

此时满足题意，

(ⅱ)当≠1即a≠3时，

若x＝1是F(x)的零点，则

解得a＞1，

若x＝是F(x)的零点，则

解得a＞2，

∵函数F(x)有且只有1个零点，

所以或，∴1＜a≤2，

综上，a的取值范围是(1,2]∪{3,4}．