数学湘教版（2019）6.4 用样本估计总体课时练习

这是一份数学湘教版（2019）6.4 用样本估计总体课时练习，共6页。

[A级 基础巩固]
1．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数
解析：选B 平均数和中位数都能反映一组数据的集中趋势，标准差能反映一组数据的稳定程度，最大值是极端数据．
2．某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4，9.4，9.4，9.6，9.7，则该射手成绩的极差和方差分别是( )
A．0.2，0.127 B．0.3，0.016
C．9.4，0.080 D．0.3，0.216
解析：选B 由题意得，该射手在一次训练中五次射击的成绩的极差为9.7－9.4＝0.3，平均值为eq \f(1,5)×(9.4＋9.4＋9.4＋9.6＋9.7)＝9.5，所以该射手成绩的方差s2＝eq \f(1,5)×[(9.4－9.5)2×3＋(9.6－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝0.016，故选B.
3．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本方差为( )
A.eq \r(\f(6,5)) B．eq \f(6,5)
C.eq \r(2) D．2
解析：选D 由题可知样本的平均数为1，
所以eq \f(a＋0＋1＋2＋3,5)＝1，解得a＝－1，
所以样本的方差为eq \f(1,5)×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
4．(多选)某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮5次．统计各轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为2，3，4，4，则第五轮结束后下列数字特征有可能发生的是( )
A．平均数为3，极差是3
B．中位数是3，极差是3
C．平均数为3，方差是0.8
D．中位数是3，方差是0.56
解析：选BCD 2＋3＋4＋4＝13，
①若平均数为3，则第五轮投中的个数为2，所以极差为4－2＝2，方差为eq \f(1,5)[(2－3)2×2＋(3－3)2＋(4－3)2×2]＝0.8，即A错误，C正确；
②若中位数为3，则第五轮投中的个数为0或1或2或3，
当投中的个数为0时，极差为4，方差为eq \f(1,5)[(0－2.6)2＋(2－2.6)2＋(3－2.6)2＋(4－2.6)2×2]＝2.24；
当投中的个数为1时，极差为3，方差为eq \f(1,5)[(1－2.8)2＋(2－2.8)2＋(3－2.8)2＋(4－2.8)2×2]＝1.36；
当投中的个数为2时，极差为2，方差为0.8；
当投中的个数为3时，极差为2，方差为eq \f(1,5)[(2－3.2)2＋(3－3.2)2×2＋(4－3.2)2×2]＝0.56，即B和D均正确．故选B、C、D.
5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________．
解析：这组数据的平均数为eq \f(6＋7＋8＋8＋9＋10,6)＝8，故方差为s2＝eq \f(1,6)×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝eq \f(5,3).
答案：eq \f(5,3)
6．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为________.
解析：∵eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10,100)＝3，
∴s2＝eq \f(1,100)(20×22＋10×12＋30×02＋30×12＋10×22)
＝eq \f(160,100)＝eq \f(8,5)，∴s＝eq \f(2\r(10),5).
答案：eq \f(2\r(10),5)
7．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2020年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市的房价的方差为________．
解析：设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知20＝eq \f(1,1＋3＋6)[s2＋(1.2－2.4)2]＋eq \f(3,1＋3＋6)[10＋(1.2－1.8)2]＋eq \f(6,1＋3＋6)[8＋(1.2－0.8)2]，
解得s2＝118.52，即二线城市的房价的方差为118.52.
答案：118.52
8．两台机床同时生产直径(单位：cm)为10的圆形截面零件，为了检验产品质量，质量检验员从两台机床的产品中各抽出4件进行测量，结果如下：
如果你是质量检验员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求？
解：(1)先计算平均直径：
eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,4)×(10＋9.8＋10＋10.2)＝10，
eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,4)×(10.1＋10＋9.9＋10)＝10.
由于eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \(x,\s\up6(－))乙，因此仅由平均直径不能反映两台机床生产的零件的质量优劣．
(2)再计算方差：
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,4)×[(10－10)2＋(9.8－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,4)×[(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10－10)2]＝0.005.
seq \\al(2,甲)>seq \\al(2,乙)，这说明乙机床生产出的零件直径波动小，因此从产品质量稳定性的角度考虑，乙机床生产的零件质量更符合要求．
9．工厂为了解每个工人对某零件的日加工量，统计员分别从两车间抽取了甲、乙两人日加工量的两个样本．抽到甲的一个样本容量为10，样本平均数为5，方差为1；乙的一个样本容量为12，样本平均数为6，方差为2.现将这两组样本合在一起，求合在一起后的样本的平均数与方差．
解：由题意知eq \(x,\s\up6(－))甲＝5，seq \\al(2,甲)＝1，eq \(x,\s\up6(－))乙＝6，seq \\al(2,乙)＝2，
则合在一起后的样本容量为22，
样本平均数为eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,22)×(10×5＋12×6)≈5.55，
样本方差为s2＝eq \f(10,22)×[1＋(5－5.55)2]＋eq \f(12,22)×[2＋(6－5.55)2]≈1.79.
[B级 综合运用]
10．(2020·全国卷Ⅲ)在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且eq \i\su(i＝1,4,p)i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
解析：选B 对于A选项，该组数据的平均数为xA＝(1＋4)×0.1＋(2＋3)×0.4＝2.5，
方差为seq \\al(2,A)＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝0.65；
对于B选项，该组数据的平均数为xB＝(1＋4)×0.4＋(2＋3)×0.1＝2.5，
方差为seq \\al(2,B)＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.85；
对于C选项，该组数据的平均数为xC＝(1＋4)×0.2＋(2＋3)×0.3＝2.5，
方差为seq \\al(2,C)＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.05；
对于D选项，该组数据的平均数为xD＝(1＋4)×0.3＋(2＋3)×0.2＝2.5，
方差为seq \\al(2,D)＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.45.
因此，B选项这一组的标准差最大．故选B.
11．某学校为了调查高一年级学生每周的锻炼时间(单位：h)，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本均值与样本方差分别是________、________．
解析：由题意知，甲同学抽取的样本容量m＝10，样本平均值为eq \(x,\s\up6(－))＝5，样本方差为s2＝9；乙同学抽取的样本容量n＝8，样本平均值为eq \(y,\s\up6(－))＝6，样本方差t2＝16.故合在一起后的样本平均值为eq \f(10×5＋8×6,10＋8)＝eq \f(98,18)≈5.44.样本方差为eq \f(1,10＋8)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（10×9＋8×16）＋\f(10×8,10＋8)×（5－6）2))＝eq \f(1,18)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(218＋\f(40,9)))≈12.36.
答案：5.44 12.36
12．对甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品各抽检了20袋，称得质量条形图如图所示．
据此估计甲厂、乙厂、丙厂质量的标准差，分别用s1，s2，s3表示，试比较s1，s2，s3的大小．
解：根据题意，甲厂袋装食品质量的平均数eq \(x,\s\up6(－))1＝eq \f(1,20)×(5×7＋5×8＋5×9＋5×10)＝8.5，
方差seq \\al(2,1)＝eq \f(1,20)×[5×(7－8.5)2＋5×(8－8.5)2＋5×(9－8.5)2＋5×(10－8.5)2]＝1.25，标准差s1＝eq \r(1.25)；
乙厂袋装食品质量的平均数eq \(x,\s\up6(－))2＝eq \f(1,20)×(4×7＋6×8＋6×9＋4×10)＝8.5，
方差seq \\al(2,2)＝eq \f(1,20)×[4×(7－8.5)2＋6×(8－8.5)2＋6×(9－8.5)2＋4×(10－8.5)2]＝1.05，标准差s2＝eq \r(1.05)；
丙厂袋装食品质量的平均数eq \(x,\s\up6(－))3＝eq \f(1,20)×(6×7＋4×8＋4×9＋6×10)＝8.5，
方差seq \\al(2,3)＝eq \f(1,20)×[6×(7－8.5)2＋4×(8－8.5)2＋4×(9－8.5)2＋6×(10－8.5)2]＝1.45，标准差s3＝eq \r(1.45).
所以s3>s1>s2.
[C级 拓展探究]
13．在分层抽样时，如果总体分为k层，而且第j层抽取的样本量为nj，第j层的样本均值为xj，样本方差为seq \\al(2,j)，j＝1，2，…，k.记n＝eq \i\su(j＝1,k,n)j.求证：所有数据的样本均值和方差分别为：eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)eq \i\su(j＝1,k, )(njeq \(x,\s\up6(－))j)，s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(j＝1,k,[)njseq \\al(2,j)＋nj(eq \(x,\s\up6(－))j－eq \(x,\s\up6(－)))2]．
证明：
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
机床甲
10
9.8
10
10.2
机床乙
10.1
10
9.9
10