高中数学湘教版（2019）必修 第一册6.4 用样本估计总体达标测试

课时跟踪检测(五十五)　用频率分布直方图估计总体分布

[A级　基础巩固]

1．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图，估计样本数据落在区间[10，12]内的频数为(　　)

A．18　　　　　　　　　　 B．36

C．54  D．72

解析：选B　样本数据落在区间[10，12]内的频率为1－(0.02×2＋0.05×2＋0.15×2＋0.19×2)＝0.18，所以样本数据落在区间[10，12]内的频数为0.18×200＝36.

2．(多选)为了了解某校九年级1 600名学生的体能情况，随机抽样调查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．根据统计图的数据，下列结论错误的是(　　)

A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次

B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次

C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约为320

D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约为32

解析：选ABC　易求得中位数是26.25，由题图可知众数是27.5次.1分钟仰卧起坐的次数超过30次的频率为0.2，所以估计该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约为320；1分钟仰卧起坐的次数少于20次的频率为0.1，所以该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约为160.D是错误的．

3.如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是(　　)

A．12.5，12.5

B．12.5，13

C．13，12.5

D．13，13

解析：选B　众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．∵中间的一个矩形最高，10与15的平均数是12.5，∴众数是12.5.

中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于纵轴的直线与横轴交点的横坐标．∵第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是1－(0.04＋0.10)×5＝0.3，∴中位数线将第二个矩形分成3∶2两部分，∴中位数是13.故选B.

4．某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70 km/h以下的汽车有________辆．

解析：由频率分布直方图可得时速在70 km/h以下的频率是(0.01＋0.03)×10＝0.4，所以频数是0.4×50＝20.

答案：20

5．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图)，记甲、乙、丙所调查的三个社区“家庭每月日常消费额”的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为________(用“>”连接)．

解析：甲图所表示的数据比较分散，丙图所表示的数据比较集中，所以估计s1最大，s3最小，即s1>s2>s3.

答案：s1>s2>s3

6．为了解学生身高情况，某体校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如图所示．

(1)估计该体校男生的人数；

(2)估计该体校学生身高在170～185 cm之间的学生占总人数的百分比是多少．

解：(1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.

(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm之间的占＝50%，故可估计该体校学生身高在170～185 cm之间的学生占总人数的50%.

[B级　综合运用]

7．现有某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)的数据，根据这些数据，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图所示．

(1)求直方图中x的值；

(2)求月平均用电量的众数和中位数；

(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)内的用户中应抽取多少户？

解：(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，得x＝0.007 5，

故直方图中x的值是0.007 5.

(2)月平均用电量的众数为＝230.

∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，

0．45＋0.012 5×20＝0.7>0.5，

∴月平均用电量的中位数在[220，240)内，

设中位数为a，

由0.45＋0.012 5×(a－220)＝0.5，

得a＝224，即月平均用电量的中位数为224.

(3)月平均用电量在[220，240)内的有0.012 5×20×100＝25(户)，

月平均用电量在[240，260)内的有0.007 5×20×100＝15(户)，

月平均用电量在[260，280)内的有0.005×20×100＝10(户)，

月平均用电量在[280，300]内的有0.002 5×20×100＝5(户)，

抽取比例为＝，

∴月平均用电量在[220，240)内的用户中应抽取25×＝5(户)．

8．某校初中毕业年级有300名学生，中考数学得分范围在70～119(得分都是整数)之间，为了了解该校这300名学生的中考数学成绩，从中抽样调查了一部分学生的数学分数，通过数据处理，得到如图所示的频率分布直方图．

请你根据图表中的信息解答：

(1)填写表中未完成部分的数据；

(2)指出这个问题中的总体和样本容量；

(3)求出直方图中直角梯形ABCD的面积；

(4)请你用样本估计总体，可以得到哪些信息？(写一条即可)

解：(1)根据第五组的频数为15，频率为0.30，

可知这次被抽样调查的学生人数是＝50，第三组的频率为＝0.36；

分数在79.5～89.5之间的人数为50－3－18－10－15＝4，

频率为＝0.08.补全频率分布表与频率分布直方图如图：

(2)总体是300名初中毕业年级学生的中考数学成绩，样本容量为50.

(3)因为∠DOE＝∠AOF，∠E＝∠AFO＝90°，DE＝AF，

所以△DOE≌△AOF，

所以S梯形ABCD＝S矩形ABGF＋S矩形CDEG＝0.08＋0.36＝0.44.

(4)本题有多个结论，例如300名初中毕业年级学生中考数学分数在89.5～99.5的人数最多，约为108名；或300名初中毕业年级学生中考数学分数在69.5～79.5的人数最少，约为18名．