高中数学湘教版（2019）必修 第一册1.2 常用逻辑用语课后复习题

课时跟踪检测(五)　命 题

[A级　基础巩固]

1．以下语句：①{0}∈N；②x2＋y2＝0；③x2>x；④{x|x2＋1＝0}，其中命题的个数是(　　)

A．0　　　 B．1　　　　

C．2　　　 D．3

解析：选B　①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．

2．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为(　　)

①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选B　①③错误；②④正确．

3．(多选)给出命题“方程x2＋ax＋1＝0有实数根”，则使该命题为真命题的a的值可以是(　　)

A．4  B．2

C．0  D．－3

解析：选ABD　方程有实根时，应满足Δ＝a2－4≥0.

4．下列命题中真命题有(　　)

①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；

②函数y＝2x－1的图象与x轴有一个交点；

③互相包含的两个集合相等；

④空集是任何集合的真子集．

A．1个  B．2个

C．3个  D．4个

解析：选B　①中，当m＝0时，是一元一次方程；②中，函数y＝2x－1的图象与x轴有一个交点，②正确；③正确；④中空集不是本身的真子集．

5．(多选)下列命题中是假命题的为(　　)

A．面积相等的三角形是全等三角形

B．若xy＝0，则|x|＋|y|＝0

C．若a>b，则a＋c>b＋c

D．矩形的对角线互相垂直

解析：选ABD　A错；B中若x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故B错；C正确；D中矩形的对角线不一定互相垂直．

6．下列语句中是命题的有________(填序号)，其中是假命题的有________(填序号)．

①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？

②一个数不是正数就是负数；

③大角所对的边大于小角所对的边；

④求证方程x2＋x＋1＝0无实根．

解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；

②是假命题，0既不是正数也不是负数；

③是假命题，没有说明在同一个三角形内；

④祈使句，不是命题．

答案：②③　②③

7．(2021·江阴调研)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>2；②a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．

解析：对于①，假设a≤1，b≤1，则a＋b≤2，与已知条件a＋b>2矛盾，故假设不成立，所以a，b中至少有一个大于1，①正确；对于②，若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2成立，故由②不能推出“a，b中至少有一个大于1.”

答案：①

8．(1)若x2≠9，则x≠3的等价命题是________________．

(2)若方程x2＋2ax＋a2＋a－1＝0无实数根，则a≤2的否命题是________________．

解析：(1)原命题的等价命题就是该命题的逆否命题．若x2≠9，则x≠3的等价命题是：“若x＝3，则x2＝9”．

(2)原命题的否命题是否定原命题的条件作为该命题的条件，同时否定原命题的结论作为该命题的结论．即“若方程x2＋2ax＋a2＋a－1＝0有实数根，则a>2”．

答案：(1)若x＝3，则x2＝9　(2)若方程x2＋2ax＋a2＋a－1＝0有实数根，则a>2

9．写出命题p的否定綈p，并判断綈p的真假．

(1)p：当m>时，mx2－x＋1＝0无实根；

(2)p：一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除．

解：(1)原命题可以改写成：若m>，则mx2－x＋1＝0无实根．可得綈p：若m>，则mx2－x＋1＝0有实根．

因为Δ＝1－4m<0，所以是假命题．

(2)原命题改写成：若一个整数的个位数是0，则这个数一定能被5整除，此命题为真命题．綈p：若一个整数的个位数是0，则这个数不一定能被5整除．綈p为假命题．

10．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B 构造的命题“若p，则q”为真命题．

解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”．由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；

若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.

故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>”．

[B级　综合运用]

11．(多选)在平面四边形中，下列命题的逆命题是真命题的是(　　)

A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形

B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．平行四边形对角线互相平分

D．矩形的对角线相等

解析：选ABC　选项A为平行四边形的定义，该命题的原命题、逆命题、否命题、逆否命题都为真；选项B的逆命题为“菱形的对角线互相垂直”，该命题为菱形的性质定理，是真命题；选项C的逆命题为“对角线互相平分的四边形为平行四边形”即平行四边形的判定定理，是真命题；选项D的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，此命题为假命题(如等腰梯形)．

12．A，B，C，D，E五名学生参加某次数学单元检测，在未公布成绩前他们对自己的数学成绩进行了猜测．

A说：“如果我得优，那么B也得优”；

B说：“如果我得优，那么C也得优”；

C说：“如果我得优，那么D也得优”；

D说：“如果我得优，那么E也得优”．

成绩揭晓后，发现他们都没说错，但只有三个人得优．请问：得优的是哪三位同学？

解：如果A得优，可推出B，C，D，E均得优，这与“只有三人得优”相矛盾，从而A不可能得优；如果B得优，可推出C，D，E也得优，这与“只有三人得优”相矛盾，从而B也不可能得优；因此，可以判定C，D，E三人得优．