章末检测卷(三)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)

1.下列所示的图形中，可以作为函数y＝f(x)的图象是(　　)

答案　D

解析　作直线x＝a与曲线相交，

由函数的概念可知，定义域中任意一个自变量对应唯一的函数值，则y是x的函数，

那么直线x＝a移动中始终与曲线只有一个交点，

于是可排除A，B，C，只有D符合，故选D.

2.函数f(x)＝＋的定义域是(　　)

A.[－1，＋∞) B.(－∞，0)∪(0，＋∞)

C.[－1，0)∪(0，＋∞) D.R

答案　C

解析　解得－1≤x<0或x>0，区间表示为[－1，0)∪(0，＋∞)，故选C.

3.若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，8]上是单调函数，则k的取值范围是(　　)

A.(－∞，40) B.[40，64]

C.(－∞，40]∪[64，＋∞) D.[64，＋∞)

答案　C

解析　对称轴为x＝，则≤5或≥8，解得k≤40或k≥64.

4.函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5，5)上的最大、最小值分别为(　　)

A.42，12 B.42，－

C.12，－ D.无最大值，最小值为－

答案　D

解析　∵f(x)＝－，

x∈(－5，5)，

∴当x＝－时，f(x)有最小值－，f(x)无最大值.

5.已知函数f(x)＝则f(1)－f(3)等于(　　)

A.－7   B.－2 

C.7   D.27

答案　C

解析　由题意得f(1)＝f(4)＝42＋1＝17，

f(3)＝32＋1＝10，

故f(1)－f(3)＝17－10＝7.

6.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)等于(　　)

A.x2   B.2x2

C.2x2＋2   D.x2＋1

答案　D

解析　∵f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，①

∴f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.

又f(x)是偶函数，且g(x)是奇函数，

∴f(x)－g(x)＝x2－3x＋1.②

由①②联立，得f(x)＝x2＋1.

7.已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是(　　)

A.[－4，0)   B.(－∞，－2]

C.[－4，－2]   D.(－∞，0)

答案　C

解析　∵f(x)在R上为增函数，

∴需满足即－4≤a≤－2，故选C.

8.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且对任意x1，x2∈(－∞，0]，当x1≠x2时，总有>0，则满足f(1－2x)－f>0的x的范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　由题意，f(x)在(－∞，0]上是增函数，又f(x)是定义域为R的偶函数，故f(x)在[0，＋∞)上是减函数.由f(1－2x)－f>0可得f(1－2x)>f＝f，即f(|1－2x|)>f，

所以|1－2x|<，解得<x<.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)

9.下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是(　　)

A.f(x)＝－x3 B.f(x)＝

C.f(x)＝1－x D.f(x)＝－

答案　AB

解析　是奇函数的有A，B，D，其D中函数f(x)＝－在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数.

10.下列函数中，定义域是其值域子集的有(　　)

A.y＝x＋6   B.y＝－x2－2x＋5

C.y＝   D.y＝－1

答案　AC

解析　y＝x＋6的定义域、值域均为R；

y＝－x2－2x＋5定义域为R，值域为(－∞，6]，不合要求；

y＝的定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)；

y＝－1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不合要求.

11.下列命题中真命题有(　　)

A.∀x1，x2∈I，>0成立，则y＝f(x)在区间I上是增函数(其中x1≠x2)

B.存在一个区间M，函数y＝x2在M上是增函数

C.函数y＝在其定义域上是减函数

D.函数f(x)＝在R上是增函数

答案　AB

解析　由增函数定义知，A正确；

y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；

y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但定义域上不是，故C错误；

D中f(0)＝1，f(1)＝0，故不是增函数.

12.已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝－x2＋2x，则f(x)在[－3，－1]上(　　)

A.是增函数   B.是减函数

C.最小值为－1   D.最大值为－1

答案　BC

解析　f(x)＝－x2＋2x，图象为开口向下，对称轴为x＝1的抛物线，

所以x>0时，f(x)在[1，3]上是减函数.

因为f(x)为奇函数图象关于原点对称，所以函数f(x)在[－3，－1]也是减函数.

所以在[－3，－1]上，

f(x)max＝f(－3)＝－f(3)＝－(－32＋2×3)＝3，

f(x)min＝f(－1)＝－f(1)＝－(－12＋2×1)＝－1.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)

13.函数f(x)＝的值域是________，定义域是________(第一空3分，第二空2分).

答案　[1，＋∞)　[－2，＋∞)

解析　当x≥0时，f(x)≥1，

当－2≤x＜0时，2＜f(x)≤4，

∴f(x)≥1或2＜f(x)≤4，

即f(x)的值域为[1，＋∞).

定义域为[0，＋∞)∪[－2，0)，

即[－2，＋∞).

14.偶函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，若x1<0，x2>0，且|x1|>|x2|，则f(x1)与f(x2)的大小关系是________.

答案　f(x1)>f(x2)

解析　∵x1<0，∴－x1>0，又|x1|>|x2|，x2>0，

∴－x1>x2>0.

∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，

∴f(－x1)>f(x2).

又∵f(x)为偶函数，∴f(x1)>f(x2).

15.若函数f(x)＝2x4－|3x＋a|为偶函数，则a＝________.

答案　0

解析　f(－x)＝2x4－|a－3x|，由偶函数定义得|3x＋a|＝|a－3x|，

∴(a＋3x)2＝(a－3x)2，∴a＝0.

16.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么不等式f(x＋2)＜5的解集是________.

答案　{x|－7＜x＜3}

解析　设x＜0，则－x＞0.

∵当x≥0时，f(x)＝x2－4x，

∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x.

∵f(x)是定义在R上的偶函数，

∴f(－x)＝f(x)，

∴f(x)＝x2＋4x(x＜0)，

∴f(x)＝

由f(x)＝5得或

∴x＝5或x＝－5.

观察图象可知由f(x)＜5，得－5＜x＜5.

∴由f(x＋2)＜5，得－5＜x＋2＜5，

∴－7＜x＜3.

∴不等式f(x＋2)＜5的解集是{x|－7＜x＜3}.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知函数f(x)＝－2x＋m，其中m为常数.

(1)求证：函数f(x)在R上是减函数；

(2)当函数f(x)是奇函数时，求实数m的值.

(1)证明　任取x∈R，且h＞0，

f(x＋h)－f(x)＝－2(x＋h)＋m，－(－2x＋m)＝－2h＜0，

∴f(x)为R上的减函数.

(2)解　∵f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝2x＋m＝－f(x)＝2x－m，

∴m＝0.

18.(12分)已知f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1，3]时，f(x)的最大值为m，最小值为n，求m－n的值.

解　∵x<0时，f(x)＝x2＋3x＋2，

且f(x)是奇函数，

∴当x>0时，－x<0，

则f(－x)＝x2－3x＋2.

故当x>0时，

f(x)＝－f(－x)＝－x2＋3x－2＝－＋.

∴当x∈时，f(x)是增函数；

当x∈时，f(x)是减函数.

因此当x∈[1，3]时，f(x)max＝f＝，

f(x)min＝f(3)＝－2.

∴m＝，n＝－2，从而m－n＝.

19.(12分)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f(f(x))＝9x－2.

(1)求f(x)；

(2)求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1，a]上的最大值.

解　(1)由题意可设f(x)＝kx＋b(k<0)，

由于f(f(x))＝9x－2，

则k2x＋kb＋b＝9x－2，

故解得

故f(x)＝－3x＋1.

(2)由(1)知，函数y＝－3x＋1＋x2－x＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3，

故函数y＝x2－4x＋1的图象开口向上，对称轴为x＝2，

当－1<a≤5时，y的最大值是y(5)＝6，

当a>5时，

y的最大值是y(a)＝a2－4a＋1，

综上，ymax＝

20.(12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数)，F(x)＝

(1)若f(－1)＝0且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的表达式；

(2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围.

解　(1)由已知可知：

解得

则F(x)＝

(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，则g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1，

则g(x)的对称轴为x＝.

由于g(x)在[－2，2]上是单调函数，故≤－2或≥2，

即k≤－2或k≥6.

即实数k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞).

21.(12分)函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对∀x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)若f(4)＝1，f(x－1)＜2且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围.

解　(1)∵∀x1，x2∈D，

有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，

∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，

∴f(1)＝0.

(2)f(x)在D上为偶函数，证明如下：

令x1＝x2＝－1，

有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，

∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，

∴f(－x)＝f(x).

又函数定义域D＝{x|x≠0}，关于原点对称，

∴f(x)在D上为偶函数.

(3)依题意，由f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，

由(2)知，f(x)是偶函数，

∴f(x－1)＜2，即为f(|x－1|)＜f(16).

又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∴0＜|x－1|＜16，

解得－15＜x＜17且x≠1，

∴x的取值范围是(－15，1)∪(1，17).

22.(12分)设函数f(x)＝是奇函数(a，b都是正整数)，且f(1)＝2，f(2)<3.

(1)求a，b，c的值；

(2)当x<0时，f(x)的单调性如何？用单调性定义证明你的结论.

解　(1)由f(x)＝是奇函数，

得f(－x)＝－f(x)对定义域内x恒成立，

则＝－⇒－bx＋c＝－(bx＋c)对定义域内x恒成立，即c＝0.f(1)＝＝2，f(2)＝<3，

又a，b都是正整数，得b＝a＝1.故a，b，c的值分别为1，1，0.

(2)由(1)知f(x)＝＝x＋，

当x<0时，f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0)上单调递减，下面用定义证明.

设x1<x2≤－1，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－＝x1－x2＋＝(x1－x2)，

因为x1<x2≤－1，所以x1－x2<0，1－>0.

所以f(x1)－f(x2)<0，故f(x)在(－∞，－1]上单调递增.

同理可证f(x)在[－1，0)上单调递减.