高中数学湘教版（2019）必修 第一册第1章 集合与逻辑1.2 常用逻辑用语达标测试

课时跟踪检测(七)　全称量词和存在量词

[A级　基础巩固]

1．下列命题中是全称命题并且是真命题的是(　　)

A．∃x>1，x2－2x－3＝0

B．若2x为偶数，则x∈N

C．所有菱形的四条边都相等

D．π是无理数

解析：选C　对于A，是特称命题，故A不正确；

对于B，是真命题，但不是全称命题，故B不正确；

对于C，是全称命题，也是真命题，故C正确；

对于D，是真命题，但不是全称命题，故D不正确，故选C.

2．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是(　　)

A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆

B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆

C．所有四边形的四个顶点共圆

D．所有四边形的四个顶点都不共圆

解析：选A　根据全称命题的否定是特称命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”，故选A.

3．a≥5是命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

解析：选A　∀x∈[1，2]，有x2∈[1，4]，则由a≥5，可得∀x∈[1，2]，x2－a≤0成立；反之，∀x∈[1，2]，x2－a≤0成立，可得a≥4.∴a≥5是命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的充分不必要条件．故选A.

4．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　)

A．∀x∈Q，有x∈P　　 B．∀x∉Q，有x∉P

C．∃x∉Q，使得x∈P  D．∃x∈P，使得x∉Q

解析：选B　∵P∩Q＝P，∴P⊆Q，如图，

∴A、C、D错误，B正确．故选B.

5．(多选)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有(　　)

A．∃x∈R，x2－x＋<0

B．所有的正方形都是矩形

C．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0

D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0

解析：选AC　命题的否定是全称命题，即原命题为特称命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题．又D为真命题，故选A、C.

6．命题“∀x∈R，<0”的否定是________________．

答案：∃x∈R，>0或x－2＝0

7．下列特称命题是真命题的序号是________．

①有些不相似的三角形面积相等；

②存在实数x，使x2＋2<0;

③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；

④有一个实数的倒数是它本身．

解析：①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋2＞0，所以不存在实数x，使x2＋2<0，为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④.

答案：①③④

8．若命题p：∀a，b∈R，方程ax2＋b＝0恰有一解，则綈p：________________．

解析：全称量词的否定是存在量词，恰有一解的否定应包含两个方面：一是无解，二是至少有两解．所以綈p为：∃a，b∈R，方程ax2＋b＝0无解或至少有两解．

答案：∃a，b∈R，方程ax2＋b＝0无解或至少有两解

9．判断下列命题的真假：

(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；

(2)至少有一个直角三角形不是等腰三角形；

(3)存在一个实数x，使得方程x2＋x＋8＝0成立；

(4)∃x∈R，x2－3x＋2＝0；

(5)∀x，y∈Z，(x－y)2＝x2－2xy＋y2.

解：(1)是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为，就不能用正有理数表示．

(2)是真命题，如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形．

(3)是假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数根．

(4)是真命题，x＝2或x＝1，都能使x2－3x＋2＝0成立．

(5)是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，所以对整数也成立．

10．(2021·南京高一期中考试)已知命题p：任意x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p与q都是真命题，求实数a的取值范围．

解：由命题p为真，可得不等式x2－a≥0在x∈[1，2]上恒成立，

所以a≤(x2)min，x∈[1，2]，所以a≤1.

若命题q为真，则方程x2＋2ax＋2－a＝0有解，

所以判别式Δ＝4a2－4(2－a)≥0，所以a≥1或a≤－2.

又因为p，q都为真命题，所以所以a≤－2或a＝1，

所以实数a的取值范围是{a|a≤－2或a＝1}．

[B级　综合运用]

11．(多选)下列命题错误的是(　　)

A．∀x∈{－1，1}，2x＋1>0　　 B．∃x∈Q，x2＝3

C．∀x∈R，x2－1>0  D．∃x∈N，|x|≤0

解析：选ABC　对于A，x＝－1时，不合题意；

对于B，x＝±，B错误；

对于C，比如x＝0时，－1<0，错误；D选项正确．

12．以下四个命题中，真命题的个数是(　　)

①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a，b，使得a＋b＝ab；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”．

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：选C　①原命题的逆命题为若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，而a＝2，b＝－2满足条件a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故①是假命题；②当a＝b＝2时，a＋b＝ab，故②是真命题；③“所有奇数都是素数”的否定为“至少有一个奇数不是素数”，故③是真命题．故选C.

13．某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m范围．你认为，两位同学题中m范围是否一致？________(填“是”或“否”)

解析：∵命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”．

而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题．

∴两位同学题中m范围是一致的．

答案：是

14．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.

(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；

(2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．

解：(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，

所以B⊆A，B≠∅，

所以解得2≤m≤3.

故m的取值范围为[2，3]

(2)q为真，则A∩B≠∅，

因为B≠∅，所以m≥2.

所以解得2≤m≤4.

故m的取值范围为[2，4]．

[C级　拓展探究]

15．(2021·连云港高一期中考试)已知命题p：A＝{x|x2＋x＋a＝0}满足A∩R＋＝∅；命题q：二次函数y＝x2－ax＋1的函数值y≥0对于x∈R恒成立．

(1)若p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若p，q中有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围．

解：(1)若p为真命题，即A∩R＋＝∅；

所以①A＝∅，1－4a<0，解得a>.

②A＝R－或{0}，所以整理得0≤a≤，

综上，实数a的取值范围为[0，＋∞)．

(2)命题q：二次函数y＝x2－ax＋1的函数值y≥0对于x∈R恒成立．

所以Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2，

若p，q中有且只有一个为真命题，

①p真q假，所以解得a>2.

②p假q真，所以解得－2≤a<0.

故实数a的取值范围为[－2，0)∪(2，＋∞)．