高中数学湘教版（2019）必修 第一册1.2 常用逻辑用语学案

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册1.2 常用逻辑用语学案，共11页。

第1课时 含有量词的命题
教材要点
要点一 全称量词和全称命题
要点二 存在量词和特称命题
状元随笔 全称命题与特称命题的区别
(1)全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”．
(2)特称命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)全称命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题.( )
(2)特称命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题．( )
(3)在全称命题和特称命题中，量词都可省略．( )
(4)全称命题“自然数都是正整数”是真命题．( )
2．下列全称命题为真命题的是( )
A．所有的质数是奇数
B．∀x∈R，x2＋1≥1
C．对每一个无理数x，x2也是无理数
D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5
3．下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R，|x|≥0
B．∀x∈N*，(x－1)2＞0
C．∃x∈R，x＋2 019＜1
D．∃x∈R，2x＞2
4．下列命题中，是全称命题的是____________；是特称命题的是____________．
①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．
题型1 全称命题及其真假判断
例1 判断下列命题哪些是全称命题，并判断其真假．
(1)对任意x∈R，x2＞0；
(2)有些无理数的平方也是无理数；
(3)对顶角相等；
(4)对任意x∈{x|x＞－1}，使3x＋4＞0.
方法归纳
1．判断全称命题的关键有两点：一是是否具有命题所要求的量词或形式；二是根据命题的含义判断指的是不是全体．
2．要判断全称命题“∀x∈M，p(x)”为真，需要对集合M每个元素x，证明p(x)成立．
3．要判断全称命题“∀x∈M，p(x)”为假，只需在M中找到一个x0，使p(x0)不成立，即“举反例”．
跟踪训练1 用量词符号“∀”表示下列命题，并判断其真假．
(1)实数都能写成小数形式；
(2)平行四边形的对角线互相平分．
题型2 特称命题及其真假判断
例2 判断下列命题哪些是特称命题，并判断其真假．
(1)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；
(2)凸多边形的外角和等于360°；
(3)有一个实数x，使1x-1＝0；
(4)至少有一个集合A，满足A{1，2，3}．
方法归纳
1．命题中含有存在量词，则该命题是特称命题．
2．有些命题虽然没有写出存在量词，但其具备 “有些”“有一个”等含义，这样的命题都是特称命题．
3．要判断特称命题“∃x∈M，p(x)”为真，只需在M中找到一个x0，使p(x0)成立，即“找特例”．
4．要判断特称命题“∃x∈M，p(x)”为假，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都不成立．
跟踪训练2 以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使1x＞2
题型3 根据含有量词的命题的真假求参数的取值范围
例3 (1)已知集合A＝{x|1≤x≤2}，若命题“∀x∈A，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方”是真命题，则实数m的取值范围是________．
(2)若命题“∃x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立”是真命题，求实数a的取值范围．
变式探究 若命题“∃x∈R，使得方程“x2＋2x＋2＝m”，求实数m的取值范围．
方法归纳
利用含量词的命题的真假求参数的取值范围
(1)含参数的全称命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围．
(2)含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决．
跟踪训练3 (1)已知命题p：“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是____________．
(2)若“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题，则实数m的取值范围是____________．
课堂十分钟
1．(多选)下列四个命题中是全称命题的有( )
A．y＝1x⇔xy＝1
B．矩形都不是梯形
C．∃x，y∈R，x2＋y2≤1
D．等腰三角形的底边的高线、中线重合
2．下列四个命题中为真命题的是( )
A．∀x∈R，x2－2x＋2＞0恒成立
B．x∈Q，x2＝2
C．∃x∈R，x2＋1＝0
D．∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2
3．命题“存在实数x，使得2x大于3x”用符号语言可表示为________.
4．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为________________．
5．命题：3mx2＋mx＋1＞0恒成立是真命题，求实数m的取值范围．
1．2.3 全称量词和存在量词
第1课时 含有量词的命题
新知初探·课前预习
要点一
所有 任意 每一个 任给 全称量词 ∀x∈M，p(x)
要点二
存在某个 至少有一个 有些 有的 存在量词 ∃x∈M，p(x)
[基础自测]
1．答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．解析：A中，2是质数，但2不是奇数，A不正确；B中，∵x2≥0，∴x2＋1≥1，B正确；C中，x＝2是无理数，x2＝2是有理数，C不正确；D中，个位数是0的整数能被5整除，D不正确．故选B.
答案：B
3．解析：当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B项为假命题．故选B.
答案：B
4．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根都不等于0”，是全称命题；④是特称命题．
答案：①②③ ④
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)(3)(4)是全称命题，(1)是假命题，∵x＝0时，x2＝0.(3)是真命题．(4)是真命题．
跟踪训练1 解析：(1)∀x∈R，x能写成小数形式，因为无理数不能写成小数形式，所以该命题是假命题．
(2)∀x∈{x|x是平形四边形}，x的对角线互相平分，由平行四边形的性质可知此命题是真命题．
例2 解析：(1)(3)(4)是特称命题，(1)是真命题，(3)是假命题，(4)是真命题．
跟踪训练2 解析：A中，锐角三角形中的内角都是锐角，A为假命题；B中，是特称命题，当x＝0时，x2＝0成立，B为真命题；C中，因为3＋(－3)＝0，所以C为假命题；D中，对于任何一个负数x，都有1x<0，所以D为假命题．故选B.
答案：B
例3 解析：(1)当1≤x≤2时，1＋m≤x＋m≤2＋m，因为一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方，所以1＋m>0，即m>－1，所以实数m的取值范围是{m|m>－1}．
(2)由题意得，关于x的方程ax2＋2x－1＝0有实数根，当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；当a≠0时，Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.综上知，实数a的取值范围是{a|a≥－1}．
答案：(1){m|m>－1} (2)见解析
变式探究 解析：依题意，方程x2＋2x＋2－m＝0有实数解，所以Δ＝4－4(2－m)≥0，解得m≥1.
跟踪训练3 解析：(1)当x∈R时，x2≥0，若“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则有m≥0.
(2)当m≤5时，“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题．
答案：(1)m≥0 (2)m≤5
[课堂十分钟]
1．解析：ABD是全称命题，C是特称命题．
答案：ABD
2．解析： A中x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，故A为真命题；B中因为x＝±2时，x2＝2，而±2为无理数，故B为假命题；C中因为x2＋1>0(x∈R)恒成立，故C为假命题；D中原不等式可化为x2－2x＋1>0，即(x－1)2>0，当x＝1时(x－1)2＝0，故D为假命题．
答案：A
3．解析：命题“存在实数x，使得2x大于3x”用符号语言可表示为：∃x∈R，2x>3x.
答案：∃x∈R，2x>3x
4．解析：命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“∀”符号可以表示为∀x≤0，x3≤0.
答案：∀x≤0，x3≤0
5．解析：“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．
当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；
当m>0，且Δ＝m2－12m<0，
即00恒成立，
所以0综上所述，实数m的取值范围是0≤m<12.
最新课程标准
学科核心素养
1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．
2．能正确使用存在量词对全称命题进行否定．
3．能正确使用全称量词对特称命题进行否定．
1.理解全称命题与特称命题的概念，并能用数学符号表示．(数学抽象)
2．能判断全称命题与特称命题的真假．(逻辑推理)
3．能对含有一个量词的全称命题或特称命题进行否定．(逻辑推理)
4．能利用命题或它的否定求参数．(逻辑推理、数学运算)
全称量词
__________、__________、__________、__________
符号
∀
全称命题
含有____________的命题
形式
“对M中任一个元素x，有p(x)成立”，可用符号简记为“________________”
存在量词
__________、__________、__________、__________
符号表示
∃
特称命题
含有____________的命题
形式
“存在M的某个元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“________________”