2021学年16.1 二次根式习题

专题02  二次根式的性质问题

1.二次根式的性质：

（1）()2= a (a≥0) ． 

即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。

注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件。

（2）=|a|=

即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。

2.代数式  

（1）代数式的定义：用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.整式、分式、二次根式都叫代数式。

（2）列代数式的要点：

①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；

②理清语句层次明确运算顺序；

③牢记一些概念和公式．

3.小结：

4.二次根式的性质的考点类型题及解题方法总结

【类型1】 利用＝|a|、()2＝a进行计算

方法总结：利用＝|a|进行计算与化简，幂的运算法则仍然适用，同时要注意二次根式的被开方数要为非负数．

【类型2】 ()2＝a(a≥0)的有关应用

方法总结：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．这就需要把一个非负数表示成平方的形式．

【类型3】 结合数轴利用二次根式的性质求值或化简

方法总结：解题的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质．

【类型4】 二次根式的化简与三角形三边关系的综合

方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，再进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．

【类型5】 利用分类讨论的思想对二次根式进行化简

方法总结：利用二次根式的性质进行化简时，要结合具体问题，先确定出被开方数的正负，对于式子

＝|a|，当a的符号无法判断时，就需要分类讨论，分类时要做到不重不漏．

【类型6】 二次根式的规律探究性问题

方法总结：解题时通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想．

【例题1】（2021河北省）与结果相同的是（　　）

A．3﹣2+1 B．3+2﹣1 C．3+2+1 D．3﹣2﹣1

【答案】A

【解析】化简＝＝＝2，再逐个选项判断即可．

＝＝＝2，

∵3﹣2+1＝2，故A符合题意；

∵3+2﹣1＝4，故B不符合题意；

∵3+2+1＝6，故C不符合题意；

∵3﹣2﹣1＝0，故D不符合题意．

【例题2】计算：

(1)；   　(2)；    (3)－(－3×)2；　 　(4)()2(a≥b)．

【答案】见解析

【解析】 依据()2＝a(a≥0)计算．计算时要注意应用公式(ab)2＝a2b2，＝等．

(1)＝.

(2)(×)2＝()2×()2＝×＝.

(3)－(－3×)2＝－(－3)2×()2＝－9×2＝－18.

(4)当a≥b时，a－b≥0，∴()2＝a－b.

【例题3】在实数范围内分解因式．a2－13  

【答案】(a＋)(a－)

【解析】由于任意一个非负数都可以写成一个数的平方的形式，利用这个即可将以上几个式子在实数范围内分解因式．

a2－13＝a2－()2＝(a＋)(a－)

【例题4】已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：＋2－|a－b|.

【答案】见解析。

【解析】根据数轴确定a和b的取值范围，进而确定a＋1、b－1和a－b的取值范围，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简求解．

从数轴上a，b的位置关系可知－2＜a＜－1，1＜b＜2，且b＞a，

故a＋1＜0，b－1＞0，a－b＜0.

原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)＝b－3.

【例题5】已知a、b、c是△ABC的三边长，化简－＋.

【答案】见解析。

【解析】根据三角形的三边关系得出b＋c＞a，b＋a＞c.根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号合并即可．

∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b＋c＞a，b＋a＞c，

∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c－a|＋|c－b－a|

＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)

＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c

＝3a＋b－c.

一、选择题

1．下列各式中，正确的是(　　)

A.＝－3           B．－＝－3

C.＝±3             D.＝±3

【解析】 B　

【解析】A项错误，正确结果为＝|－3|＝3；B项正确；C项错误，正确结果为＝|±3|＝3；D项错误，正确结果为＝3.

2.下列计算正确的是（　　）

A．＝﹣3 B．＝ C．＝±6 D．﹣＝﹣0.6

【答案】D．

【解析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分析得出答案．

A.＝3，故此选项错误；

B.＝﹣，故此选项错误；

C.＝6，故此选项错误；

D.﹣＝﹣0.6，正确．

3.实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ）

A． B．0 C． D．

【答案】A

【解析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案．

由数轴可知-2＜a＜-1，1＜b＜2，∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0，

∴===-2故选A.

【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．

4.实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（   ）

A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b

【答案】C

【解析】利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：

∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，∴.故选C．

5.已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（    ）

A．3-2a B．-1 C．1 D．2a-3

【答案】D

【解析】根据数轴上a点的位置，判断出(a-1)和(a-2)的符号，再根据非负数的性质进行化简．

由图知：1＜a＜2，

∴a-1＞0，a-2＜0，

原式= a-1+(a-2)= 2a-3．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a-1＞0，a-2＜0是解题关键．

6.已知，则化简的结果是　　

A． B． C． D．3

【答案】A

【解析】由知，，再利用完全平方公式和求解可得．

，

，，

则原式

【点评】此题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质，关键是掌握．

二、填空题

1. （2021黑龙江大庆） ________

【答案】

【解析】先算，再开根即可．

【点睛】本题考查了求一个数的4次方和对一个实数开根号，解题的关键是：掌握相关的运算法则．

2.（2021武汉）计算的结果是 　　．

【答案】5

【解析】根据二次根式的性质解答．

＝|﹣4|＝5．

3．（2020甘肃白银）已知y＝﹣x+5，当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应y值的总和是　　．

【答案】2032．

【解析】当x＜4时，

原式＝4﹣x﹣x+5＝﹣2x+9，

当x＝1时，原式＝7；

当x＝2时，原式＝5；

当x＝3时，原式＝3；

当x≥4时，原式＝x﹣4﹣x+5＝1，

∴当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应y值的总和是：

7+5+3+1+1+…+1

＝15+1×2017

＝2032．

故答案为：2032．

4.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是　　  .

【答案】﹣2a+b　

【解析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．

由图可知：a＜0，a﹣b＜0，则

|a|+=﹣a﹣（a﹣b）=﹣2a+b．

5．计算的结果是_______.

【答案】3

【解析】根据二次根式的性质进行求解即可.

==3，故答案为3.

【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.

三、解答题

1.化简：(1)()2；(2)；(3)；(4)(－)2.

【答案】见解析。

【解析】根据二次根式的性质进行计算即可．

(1)()2＝5；

(2)＝5；

(3)＝5；

(4)(－)2＝5.

2.在实数范围内分解因式： y4－4y2+4

【答案】见解析。

【解析】因为()2= a (a≥0)

所以a=()2

本题逆用了()2= a (a≥0) ．在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.

3.在实数范围内分解因式． (1)4a2－5；    (2)x4－4x2＋4.

【答案】见解析。

【解析】由于任意一个非负数都可以写成一个数的平方的形式，利用这个即可将以上几个式子在实数范围内分解因式．

 (1)4a2－5＝(2a)2－()2＝(2a＋)(2a－)；

(2)x4－4x2＋4＝(x2－2)2＝[(x＋)(x－)]2＝(x＋)2(x－)2.

4.已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：

【答案】见解析。

【解析】利用三角形三边关系，三边长均为正数，a+b＞c 。两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0

∵a、b、c是△ABC的三边长，

∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，

∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|

 =a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）

 =a+b+c-b-c+a+b+a-c

 =3a+b-c．       

5.已知x为实数时，化简＋.

【答案】见解析。

【解析】根据＝|a|，结合绝对值的性质，将x的取值范围分段进行讨论解答．

＋＝＋＝|x－1|＋|x|.

当x≤0时，x－1＜0，原式＝1－x＋(－x)＝1－2x；

当0＜x≤1时，x－1≤0，原式＝1－x＋x＝1；

当x＞1时，x－1＞0，原式＝x－1＋x＝2x－1.

6.细心观察，认真分析下列各式，然后解答问题．

()2＋1＝2，S1＝，

()2＋1＝3，S2＝，

()2＋1＝4，S3＝.

(1)请用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；

(2)推算出OA10的长；

(3)求出S＋S＋S＋…＋S的值．

【答案】见解析。

【解析】利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现第n个三角形的一直角边长就是，另一条直角边长为1，然后利用面积公式可得．

(1)()2＋1＝n＋1，Sn＝(n是正整数)；

(2)∵OA1＝，OA2＝，OA3＝，…∴OA10＝；

(3)S＋S＋S＋…＋S＝＋＋＋…＋＝(1＋2＋3＋…＋10)＝.

7.实数在数轴上对应的点如图：

化简.

【答案】

【解析】由数轴可知并且

=

=

=