2021学年16.1 二次根式当堂检测题

专题04   二次根式的除法问题

1.二次根式的除法

（1）二次根式的除法法则:

．

文字叙述: 算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.

（2）当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得

2.商的算术平方根的性质

把二次根式的除法法则反过来，就得到二次根式的商的算术平方根的性质:

．

语言表述：商的算术平方根，等于被开方数分子的算术平方根与分母的算术平方根的商.

我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.

3.最简二次根式

（1）分母有理化：把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.

（2）最简二次根式

满足如下两个特点：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.

4.小结：

5.二次根式的除法问题类型及解题方法总结

【类型1】 二次根式的除法运算

方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简．

【类型2】 二次根式的乘除混合运算

方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数．

【类型3】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围

方法总结：运用商的算术平方根的性质：＝(a＞0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．

【类型4】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式

方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．

【类型5】最简二次根式

方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：

(1)被开方数不含分母；

(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

【类型6】二次根式除法的综合运用

方法总结：解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一．

【例题1】计算：

(1)；(2)－÷；(3)；(4)÷.

【答案】见解析。

【解析】本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分．

解：(1)＝＝＝2；

(2)－÷＝－＝－＝－＝－3；

(3)＝＝；

(4)÷＝－÷5＝－××＝－×＝－.

【例题2】在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由．

(1)；    (2)；    (3)；   (4)；   (5).

【答案】见解析。

【解析】根据满足最简二次根式的两个条件判断即可．

(1)＝3，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；

(2)＝，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；

(3)，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；

(4)＝＝，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式；

(5)＝＝，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．

【例题3】若＝，则a的取值范围是(　　)

A．a＜2       B．a≤2       C．0≤a＜2      D．a≥0

【答案】见解析。

【解析】根据题意得解得0≤a＜2.故选C.

一、选择题

1．下列各式是最简二次根式的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．

A．是最简二次根式，故选项正确；

B．=，不是最简二次根式，故选项错误；

C．，不是最简二次根式，故选项错误；

D．，不是最简二次根式，故选项错误。

2．下列二次根式是最简二次根式的是(     )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可.

A. ，故A选项不符合题意；

B. ，故B选项不符合题意；

C. ，故C选项不符合题意；

D. 是最简二次根式，符合题意，故选D.

3．下列等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据算术平方根、立方根、二次根式的化简等概念分别判断．

A. ,本选项不成立；

B. ，本选项不成立；

C. =，本选项不成立；

D. ，本选项成立.

4．计算：＝（　　）

A．﹣2 B．﹣2 C．﹣ D．2

【答案】A

【解析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．

﹣4×＝﹣4×＝﹣2．

二、填空题

1.对于任意两个不相等的数，，定义一种新运算“”如下：，如：，那么        ．

【答案】．

【解析】先依据定义列出算式，然后再进行计算即可．

．

三、解答题

1.计算

【答案】12

【解析】被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.

2.在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．

【答案】见解析。

【解析】满足如下两个特点：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

3.计算：

(1)9÷3×；

(2)a2··b÷.

【答案】见解析。

【解析】先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算．

(1)原式＝9×××＝18；

(2)原式＝a2·b·＝.

4.化简：

(1)；　　(2)(a＞0，b＞0，c＞0)．

【答案】见解析。

【解析】运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．

(1)＝＝＝；

(2)＝＝.

5.座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T＝2π，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2，假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?

【答案】见解析。

【解析】由给出的公式代入数据计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数．

∵T＝2π≈1.42，＝≈42(次)，∴在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声．