数学八年级下册16.1 二次根式达标测试

专题06 二次根式的混合运算

1.二次根式的混合运算

(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；

(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.

2.二次根式的混合运算应用

（1）利用乘法公式进行二次根式的运算

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;

完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;

(a-b)2=a2-2ab+b2

（2）求代数式的值

将已知代入代数式中，求解出来的数值，就是求代数式的值。

（3）分母有理化

分母形如的式子，可以将分子、分母同乘以的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.这样的运算成为分母有理化。

3.二次根式的混合运算类型及解题方法

【类型1】 二次根式的四则运算

方法总结1：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．

方法总结2：利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．

【类型2】 与二次根式的混合运算有关的新定义题型

方法总结：弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算，正确运用运算律及公式是解题的关键．

【类型3】 二次根式运算的拓展应用

方法总结：此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．

【例题1】计算：

(1)×9÷；

(2)÷2＋；

(3)－(＋2)÷.

【答案】见解析。

【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．

(1)原式＝×9×＝×9×＝；

(2)原式＝÷2＋＝×＋＝＋＝5；

(3)原式＝－(＋2)÷＝－＝－1－.

【例题2】（2021贵州铜仁）计算（+）（﹣）＝　   　．

【答案】3．

【解析】先把二次根式化为最简二次根式，然后利用平方差公式计算．

原式＝（3+3）（﹣）

＝3（+）（﹣）

＝3×（3﹣2）

＝3．

【例题3】对于任意的正数m、n定义运算※为m※n＝计算(3※2)×(8※12)的结果

为(　　)

A．2－4　　　B．2　　　C．2　　　D．20

【答案】B见解析。

【解析】∵3＞2，∴3※2＝－.

∵8＜12，

∴8※12＝＋＝2(＋)，

∴(3※2)×(8※12)＝(－)×2(＋)＝2.

一、选择题

1．下列计算中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案．

A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；

B．2与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；C．，此选项计算正确；

D．2与﹣2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；故选：C．

2．（2021甘肃威武定西平凉）下列运算正确的是（　　）

A．+＝3 B．4﹣＝4 C．×＝ D．÷＝4

【答案】C

【解析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．

A.原式＝2，所以A选项的计算错误；

B.原式＝3，所以B选项的计算错误；

C.原式＝＝，所以C选项的计算正确；

D.原式＝＝＝2，所以D选项的计算错误．

3．如果＝a＋b(a，b为有理数)，那么a＋b等于(　　)

A．2           B．3           C．8          D．10

【解析】D　

【解析】因为＝22＋2×2 ＋()2＝6＋4 ，

所以a＝6，b＝4，所以a＋b＝10.

4．（2021大连）下列计算正确的是（　　）

A．（）2＝﹣3 B．2 

C．1 D．（1）（1）＝3

【答案】B

【解析】根据二次根式的性质，立方根的概念，平方差公式进行化简计算，从而作出判断．

A．（）2＝3，故此选项不符合题意；

B．，正确，故此选项符合题意；

C．，故此选项不符合题意；

D．（1）（1）＝2﹣1＝1，故此选项不符合题意．

5．下列等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据二次根式的运算法则即可逐一判断．

A、3和不能合并，故A错误；

B、，故B错误；

C、，故C错误；

D、，正确；故选：D．

【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握基本的运算法则．

6．下列运算，结果正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据二次根式的运算性质进行计算即可．

A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；

B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；C．，此选项错误；

D．，此选项计算正确；故选：D．

【点睛】本题考查了二次根式加减乘除计算，熟知以上计算是解题的关键．

7．计算的结果是（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【解析】根据二次根式的性质化简第一项，根据二次根式的乘法化简第二项，然后合并即可．

原式= ==．故选B．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．

二、填空题

1．计算：_________．

【答案】

【解析】根据根式的计算法则计算即可.

原式，故答案为：．

2.计算：（+）（﹣）2＝           ．

【答案】﹣．

【解析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．

原式＝[（+）（﹣）]（﹣）

＝（3﹣2）（﹣）

＝﹣．

3．计算：______．

【答案】

【解析】先将乘方展开，然后用平方差公式计算即可．

=

=

=．故答案为．

4.计算：      ．

【答案】5

【解析】先利用完全平方公式计算，然后化简后合并即可．

原式=5．

三、解答题

1.计算：

【答案】见解析。

【解析】有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.

2.计算：

【答案】见解析。

【解析】分母形如的式子，分子、分母同乘以的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.

3.计算：

【答案】见解析。

【解析】

4.已知 试求x2+2xy+y2的值.

【答案】见解析。

【解析】

 x2+2xy+y2=（x+y)2

把代入上式得

原式=

5.已知 的整数部分是a,小数部分是b,求a2-b2的值.

【答案】见解析。

【解析】

6.计算：

(1)(＋－)(－＋)；

(2)(－1)2＋2(－)(＋)；

(3)×(－2)．

【答案】见解析。

【解析】(1)利用平方差公式展开然后合并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．

(1)原式＝[＋(－)][－(－)]＝()2－(－)2＝2－(9－2)＝2－9＋6＝－7＋6；

(2)原式＝2－2＋1＋2×(3－2)＝2－2＋1＋2＝3；

(3)原式＝×(－2)＝－×(－2)＝8.

7.请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用表示(其中，n≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．

【答案】见解析。

【解析】分别把n＝1、2代入式子化简即可．

第1个数，当n＝1时，＝[－]＝×＝1；

第2个数，当n＝2时，＝

＝＝×1×＝1.

8．计算：(1)－×；

(2)(3 －1)(1＋3 )－(3 －1)2.

【答案】见解析。

【解析】(1)－×

＝＋－

＝＋1－

＝1.

(2)解法一：(3 －1)(1＋3 )－(3 －1)2

＝(3 )2－1－[(3 )2－6 ＋1]

＝18－1－(18＋1－6 )

＝18－1－18－1＋6

＝6 －2.

解法二：(3 －1)(1＋3 )－(3 －1)2

＝(3 －1)[(1＋3 )－(3 －1)]

＝(3 －1)(1＋3 －3 ＋1)

＝(3 －1)×2

＝6 －2.

【点评】(1)要注意针对式子的特点灵活选取计算方法，特别是运算律的灵活运用．

(2)乘法公式、因式分解的运用是二次根式运算的一大技巧．

9.已知a、b、c为△ABC的三边长，化简：+．

【分析】直接利用三角形三边关系得出a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，进而化简得出答案．

【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三边长，

∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，

∴原式＝a+b﹣c﹣（b﹣c﹣a）

＝2a．

10.在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：

3+2＝2+2+1＝（）2+2+1＝（+1）2；

5+2＝2+2+3＝（）2+2××+（）2＝（+）2

（1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：

①4+2；②6+4

（2）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n都是正整数，试求a的值．

【分析】（1）根据完全平方公式求出即可；

（2）先根据完全平方公式展开，再求出m、n的值，再求出a即可．

【解答】解：（1）4+2＝3+2+1

＝（）2+2×+12

＝（+1）2；

6+4

＝4+4+2

＝22+2×2×+（）2

＝（2+）2；

（2）∵a+4＝（m+n）2，

∴a+4＝m2+2mn+3n2，

∴a＝m2+3n2，2mn＝4，

∴mn＝2，

∵m，n都是正整数，

∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2；

当m＝2，n＝1时，a＝22+3×12＝7；

当m＝1，n＝2时，a＝12+3×22＝13；

即a的值是7或13．