第7章 三角函数（章节知识清单）-2021-2022学年高一数学下册期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）

第7章 三角函数章节知识清单

1、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：

正弦函数，的图象中，五个关键点是：

2、正弦函数的图像：

把，的图象，沿着轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为，就得到的图像，此曲线叫做正弦曲线。

由正弦函数图像可知：

   （1）定义域：

   （2）值域： ； 正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以， 即 ，也就是说，正弦函数的值域是亦可由正弦图像直接得出。 

   （3）奇偶性：奇函数

由可知：为奇函数，正弦曲线关于原点对称

   （4）单调递增区间：；

   （5）单调递减区间：；

   （6）对称中心：（）；

   （7）对称轴：

   （8）最值：当且仅当取最大值；

              当且仅当取最小值。

   （9）最小正周期：

一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期

由此可知都是这两个函数的周期

对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期

根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，都是它的周期，最小正周期是

注意：

1.周期函数定义域，则必有, 且若，则定义域无上界；则定义域无下界；

2.“每一个值”只要有一个反例，则就不为周期函数;

3.往往是多值的（如中都是周期）周期中最小的正数叫做的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

5、余弦函数的图像：

（1）定义域：

（2）值域：

（3）奇偶性：偶函数

（4）单调递增区间：，

（5）单调递减区间：

（6）对称中心：（）

（7）对称轴：

（8）最值：当且仅当取最大值；

           当且仅当取最小值。

（9）最小正周期：；

6. 函数的实际意义；

7. 函数图像的变换（平移变换和伸缩变换）.

一般的，函数（其中）的图像可由“五点法”或图像变换法得到．

（1）“五点法”：先求出当为时相对应的值，其次分别求出对应的值，再列表、描点、连线，最后根据函数的周期性，将图像向左、右无限扩展，即可得在上图像．

（2）图像变换法：一般可按下述步骤进行：

①振幅变换：当时，图像上各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）；当时，图像上各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）．

②平移变换：当时，图像上所有点向左平移个单位；当时，图像上所有点向右平移个单位．

③周期变换：当时，图像上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）；当时，图像上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）．

8、正切函数的图像：

可选择的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像

根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数，

且的图像，称“正切曲线”.

由正弦函数图像可知：

（1）定义域：，

（2）值域：

观察：当从小于，时，

      当从大于，时，.

（3）周期性：          

（4）奇偶性：，所以是奇函数

（5）单调性：在开区间内，函数单调递增.

（6）中心对称点：

9、 余切函数的图象：

即将的图象，向左平移个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得的图象

由余弦函数图像可知：

（1）定义域：，

（2）值域：

（3）周期性：          

（4）奇偶性：，所以是奇函数

（5）单调性：在开区间内，函数单调递增.

（6）中心对称点：