第8章 平面向量（章节压轴题解题思路分析）-2021-2022学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）学案

第8章 平面向量章节压轴题解题思路分析

模块一：平面向量的线性运算

1．（2020·杭州高级中学钱塘学校高二期中）已知，是平面内两个夹角为的单位向量，若，则的最小值为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】不妨用坐标表示向量，，然后作，，由共线定理得点位置，

而，括号内利用向量模的几何意义求最小值．

【详解】因为，是平面内两个夹角为的单位向量，所以不妨设，，

，作平行四边形即为菱形，过作的平行线交轴于，交的延长线于，

设，则点在直线上，的延长线交于，则，

是菱形对角线的交点，则，，

，，，

设，则是关于直线的对称点，

，则，即，又，

所以，

，当且仅当共线时等号成立，

所以 的最小值是，

的最小值是，

故选：B．

【点睛】关键点点睛：本题考查求向量模的最小值问题，解题关键是平面直角坐标系中作出向量，，然后由向量的线性运算得出各点位置，然后利用向量模的几何意义，结合对称求得最小值．

模块二：向量的数量积

1．（2021·天津和平区·高三一模）如图，四边形中，，，，，，，分别是线段，上的点，且，则的最大值为___________.

【答案】

【分析】根据平面几何及梯形的性质，可求出，求出，利用二次函数求最值.

【详解】设

则

则， ，

，

即

得，即

过C作过作

则，

则

则

，

则

由

得

，

，函数 开口向下，对称轴，

当时，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：利用平面几何性质，求出，利用向量积的定义，求出，利用二次函数求最值是解题关键.

2．（2021·浙江高一期末）已知是平面向量，且是互相垂直的单位向量，若对任意均有的最小值为，则的最小值为___________．

【答案】

【分析】根据的最小值为，代入得关于的一元二次不等式，利用等号可以取到判断出，然后设为轴的方向向量，为轴方向向量，，则得关于点的轨迹方程，利用抛物线的定义将向量模长转化为距离，计算最小值.

【详解】，即，所以，即，设为轴的方向向量，为轴方向向量，所以，对应的坐标为，所以，得；，因为为抛物线向上平移个单位，所以焦点坐标为，准线为，所以点到的距离与到的距离相等，，当且仅当时，取最小值.

故答案为：

【点睛】关于向量模长的问题，一般没有坐标时，利用平方公式展开计算；有坐标时，代入坐标公式求解，涉及模长的最值问题，一般需要转化为点与点之间的距离，或者点到线的距离等问题，利用几何方法求解.

3．（2021·天津南开区·高三一模）在中，，，，则______；若，，，则的最大值为______．

【答案】       

【分析】①利用向量的数量的的定义及向量的投影，即可求出；

②将和分别用和表示代入，利用基本不等式求解即可.

【详解】

①

如图，作，垂足为，因为，

所以，所以，即，

又，，所以，即,

所以；

②因为，，所以,,

所以

，当且仅当，即时，等号成立.

所以的最大值为.

故答案为：；.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是灵活应用向量的投影及用基底法表示向量.

模块三：向量的坐标表示

1．（2021·全国高三其他模拟）已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（    ）

A．3 B．2 C． D．

【答案】D

【分析】令，，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到，然后数形结合求的最大值.

【详解】如图:令，，则，故.

因为，所以，记的中点为，所以点在以为直径的圆上.

设，连接，因为，所以点在直线上.

因为，所以，即，所以.

结合图形可知，当时，即取得最大值，且.

故选：D

【点睛】思路点睛：向量中有关最值的求解思路：一是形化，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是数化，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.

模块四：向量的应用

1．（2021·江苏南通市·启东中学高一月考）已知函数

（1）求函数的单调递增区间

（2）若锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，求面积S的取值范围

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简解析式得到，根据正弦函数单调性，列出不等式求解，即可得出结果；

（2）由（1）先求出，由正弦定理得：，再根据锐角三角形求出B的取值范围，进而求出c的取值范围，从而得到面积的取值范围.

【详解】（1）

由

解得：，

故函数的单调递增区间为．

（2），，

又，，，又，

在中，由正弦定理得：，得

又为锐角三角形，且，故，解得

，即

面积S的取值范围是：

【点睛】易错点睛：本题考查利用正弦定理求三角形边长范围的最值，解本题时要注意的事项：求角的范围时，是在为锐角三角形的前提下，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.

2．（2021·江苏高一单元测试）已知△AOB中，边，令过AB边上一点(异于端点)引边OB的垂线垂足为再由引边OA的垂线垂足为又由引边AB的垂线垂足为设.

（1）求；

（2）证明：；

（3）当重合时，求的面积.

【答案】（1）； （2）证明见解析；（3）.

【分析】（1）根据平面向量的模长公式和数量积的运算公式，即可求解；

（2）利用余弦定理，求得，然后求出，从而得到，即可得到结论；

（3）根据向量的夹角公式，求得和，从而求得和的值，当重合时，，求得，最后根据三角形的面积公式和，即可求解.

【详解】

（1）在中，因为，且，

可得，

则，所以.

（2）由（1）与已知，可得，

由余弦定理可得，

又因为，则，

则，所以.

（3）由已知可得，

因为，所以，

，

因为

，

所以，

当重合时，，解得，解得，

此时，

所以，

可得，

所以.

【点睛】解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法：

（1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决；

（2）基向量法，选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则､运算律和性质求解.

3．（2020·湖南长沙市·宁乡一中高一月考）已知中，角所对的边分别为，满足．

（1）求的大小；

（2）如图，，在直线的右侧取点，使得．当角为何值时，四边形面积最大．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）（法一）根据正弦定理利用“边化角”的方法将原式化为，利用两角和的正弦公式进行化简，结合三角形的性质即可求得的大小；（法二）根据余弦定理利用“角化边”的方法将原式化为，化简得出的值，即可得出的大小.

（2）根据题意，设，根据余弦定理表达出，再根据三角形的面积公式，分别表达出与，从而得到四边形面积的函数，利用三角函数的性质即可求出面积的最大值.

【详解】

（1）（法一）：在中，由正弦定理得

      ，故．

（法二）在中，由余弦定理得

故．

（2）由（1）知，且，为等边三角形，

设，则在中，由余弦定理得，

四边形的面积

当即时，

所以当时，四边形的面积取得最大值．

【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形、三角形的面积公式以及根据三角函数的性质求最值.

4．（2020·海南枫叶国际学校高一期中）在平面四边形中，已知，，.

（1）若，，，求的长；

（2）若，求证：.

【答案】（1），；（2）见解析

【分析】（1）根据题意，得出，，再利用正弦定理求得，结合已知条件，即可求出的长；

（2）利用余弦定理以及三角形的内角和，得出，通过判断三角形中边角关系，即可得出结论.

【详解】（1）由已知得，，所以.

因为，所以，.

所以.

在中，由正弦定理得，所以，

所以.

又，所以，.

（2）在中，由余弦定理得.

在中，由余弦定理得

.

因为，，

所以，

即.

又，，所以，

所以.

【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，通过正弦定理和余弦定理、以及三角形边和角的有关性质等，同时考查学生化归和转化思想.