第7章 三角函数（章节易错题型分析）-2021-2022学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）学案

第7章 三角函数章节易错题型分析

易错点1  图象变换知识混乱

例1. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A．先将每个值扩大到原来的4倍，值不变，再向右平移个单位．

B．先将每个值缩小到原来的倍，值不变，再向左平移个单位．

C．先把每个值扩大到原来的4倍，值不变，再向左平移个单位．

D．先把每个值缩小到原来的倍，值不变，再向右平移个单位．

【错解】A、C、B

【错因】变换成误认为是扩大到原来的倍，这样就误选A或C；把平移到平移方向错了，平移的单位误认为是，误选B．

【正解】由变形为常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，即将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到函数的图象，再将函数的图象纵坐标不变，横坐标向右平移单位．即得函数，故选D．

【跟踪训练1】要得到函数的图象，只需将函数的图象（  ）

A．向右平移个单位长度                      B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度                     D．向左平移个单位长度

【解析】试题分析：函数，将函数的图象向右平移个单位长度得到  ，故答案为C．

【跟踪训练2】（2020•江苏卷）将函数y＝的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.

【警示】此题先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.

【详解】

,当时,故答案为：

【叮嘱】 函数图象的平移变换解题策略

（1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.

（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.

【跟踪训练3】．（2017新课标Ⅰ）已知曲线：，：，则下

面结论正确的是(   )

A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线

B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线

C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线

D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线

【解析】把的解析式运用诱导公式变为余弦，

：

则由图象横坐标缩短为原来的，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线．选D

【跟踪训练4】（2016全国II）若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移

后图象的对称轴为（   ）

A．              B．

C．              D．

【解析】函数的图像向左平移个单位长度，得到的图像对应的函数表达式为

，令，解得，所以所求对称轴的方程为

，故选B．

易错点2 由三角函数图像求解析式

例1．2020•全国1卷）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（    ）

A.    B.     C.     D.

【警示】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.

【解析】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：

又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：

所以函数的最小正周期为故选：C

【叮嘱】结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法

（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.

（2）求ω，已知函数的周期T，则.

（3）求φ，常用方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．

②确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：

“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；

“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；

“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；

“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；

“第五点”为ωx＋φ=2π.

【跟踪训练1】（2020•新全国1山东）下图是函数y＝ sin(ωx＋φ)的部分图像，则sin(ωx＋φ)＝ （    ）

A.   B.   C.   D.

【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,

当时，，

解得：，即函数的解析式为：

.

而,故选：BC.

【跟踪训练2】．（2015新课标Ⅱ）函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（  ）．

A．，        

B．，

C．，           

D．，

【解析】由图象可知，，，

所以，

所以函数的单调递减区间为，

，即，．

易错点3 给值（式）求角（值）

例1（2020•江苏卷）已知 ＝，则的值是____.

【警示】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.

【解析】

,故答案为：

【叮嘱】解三角函数的给值求值问题的基本步骤

（1）先化简所求式子或所给条件；

（2）观察已知条件与所求式子之间的联系；

（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．

【跟踪训练1】．（2020•全国3卷）已知2tanθ–tan(θ＋)＝7，则tanθ＝（    ）

A. –2    B. –1    C. 1     D. 2

【解析】，，令，则，整理得，解得，即.故选：D.

【跟踪训练2】（2020•全国1卷）已知，且，则（    ）

A.    B.    C.     D.

【解析】，得，

即，解得或（舍去），

又.故选：A.