第7章 三角函数（章节压轴题专练）-2021-2022学年高一数学下册期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）

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一、单选题
1．（2020·上海市青浦高级中学高一期末）设函数，其中、、、为已知实常数，，有下列四个命题：（1）若，则对任意实数恒成立；（2）若，则函数为奇函数；（3）若，则函数为偶函数；（4）当时，若，则（）；则上述命题中，正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】利用两角和的余弦公式化简表达式.
对于命题（1），将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出（1）选项的真假；
对于命题（2）选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为奇函数，由此判断出（2）选项的真假；
对于命题（3）选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为偶函数，由此判断出（3）选项的真假；
对于命题（4）选项，根据、，求得的零点的表达式，进而判断出（4）选项的真假.
【详解】
不妨设 ．为已知实常数.
若，则得 ；若，则得．
于是当时，对任意实数恒成立，即命题（1）是真命题；
当时，，它为奇函数，即命题（2）是真命题；
当时，，它为偶函数，即命题（3）是真命题；
当时，令，则
，
上述方程中，若，则，这与矛盾，所以．
将该方程的两边同除以得
，令 （），
则 ，解得 （）．
不妨取 ， （且），
则，即 （），所以命题（4）是假命题．
故选：C
【点睛】本题考查两角和差公式，三角函数零点，三角函数性质，重点考查读题，理解题和推理变形的能力，属于中档题型.
2．（2017·上海嘉定区·高一期末）设函数，其中为已知实常数，，则下列命题中错误的是（ ）
A．若，则对任意实数恒成立；
B．若，则函数为奇函数；
C．若，则函数为偶函数；
D．当时，若，则 （）．
【答案】D
【分析】利用两角和的余弦公式化简表达式.
对于A选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出A选项为真命题.
对于B选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为奇函数，由此判断出B选项为真命题.
对于C选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为偶函数，由此判断出C选项为真命题.
对于D选项，根据、，求得的零点的表达式，由此求得 （），进而判断出D选项为假命题.
【详解】
.
不妨设 ．为已知实常数.
若，则得 ；若，则得．
于是当时，对任意实数恒成立，即命题A是真命题；
当时，，它为奇函数，即命题B是真命题；
当时，，它为偶函数，即命题C是真命题；
当时，令，则
，
上述方程中，若，则，这与矛盾，所以．
将该方程的两边同除以得
，令 （），
则 ，解得 （）．
不妨取 ， （且），
则，即 （），所以命题D是假命题．
故选：D
【点睛】本小题主要考查两角和的余弦公式，考查三角函数的奇偶性，考查三角函数零点有关问题的求解，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.
3．（2019·上海复旦附中高一期中）若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图像的对称中心不可能是_______
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，可得为奇函数，进而得到，从而得到解析式；根据的对称中心，平移可得对称中心的坐标；再分别对应四个选项，当不是整数时，则不可能为对称中心，由此可得选项.
【详解】设，则
即为奇函数
令
则，
可知的对称中心为
将的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得的图象
的对称中心为
当时，，不合题意，可知不可能为
又当时分别对应选项，可知均为的对称中心
本题正确选项：
【点睛】本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到利用奇偶性求解最值、与三角函数有关的对称中心的求解、函数图象平移变换问题，对于学生函数性质的掌握要求较高，属于偏难题.
二、填空题
4．（2017·上海市七宝中学高一期中）已知，若对任意实数恒成立，则实数应满足的条件是__________.
【答案】
【分析】不等式变形为令，即上式变形为关于的一元二次不等式，对应的二次函数为，根据题意，若满足时不等式恒成立，则需时，恒成立，分类讨论，当或或时，判断函数单调性，解不等式，求解即可.
【详解】
.
设，.
由题意可知，时，恒成立.
当对称轴时在上单调递减，
则，即
当对称轴时，
解得即
当对称轴时在上单调递增，
则，即
综上所述：
故答案为：
【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，同时也考查同角三角函数基本关系，属于难题.
5．（2018·宝山区·上海交大附中高一期中）设函数f(x)=a1⋅sin(x+α1)+a2⋅sin(x+α2)+⋯+an⋅sin(x+αn)，其中ai、αi (i=1,2,⋯,n,n∈N*,n≥2)为已知实常数，x∈R.
下列所有正确命题的序号是____________．
①若f(0)=f(π2)=0，则f(x)=0对任意实数x恒成立；
②若f(0)=0，则函数f(x)为奇函数；
③若f(π2)=0，则函数f(x)为偶函数；
④当f2(0)+f2(π2)≠0时，若f(x1)=f(x2)=0，则x1-x2=kπ(k∈Z).
【答案】①②③④.
【分析】对于①，由f0=fπ2=0，证明函数fx既是奇函数又是偶函数即可得出f0=0；
对于②，根据奇函数的定义可得出结论；
对于③，根据偶函数的定义进行判断即可得出结论；
对于④，根据fx1=fx2=0得sinx1-sinx2a1csα1+a2csα2+⋯+ancsαn
+csx1-csx2a1sinα1+a2sinα2+⋯+ansinαn=0，于此得出结论.
【详解】对于命题①，若f0=0，则f0=a1sinα1+a2sinα2+⋯+ansinαn=0，
则f-x+fx=a1sin-x+α1+a2sin-x+α2+⋯+ansin-x+αn
+a1sinx+α1+a2sinx+α2+⋯+ansinx+αn
=csx⋅a1sinα1+a2sinα2+ansinαn=0，
∴函数fx为奇函数，
若fπ2=0，则fπ2=a1sinπ2+α1+a2sinπ2+α2+⋯+ansinπ2+αn
=-a1csα1-a2csα2-⋯-ancsαn=0，
∴f-x-fx=a1sin-x+α1+a2sin-x+α2+⋯+ansin-x+αn
-a1sinx+α1-a2sinx+α2-⋯-ansinx+αn
=sinx⋅a1csα1+a2csα2+⋯+ancsαn=0，
∴函数fx为偶函数，
若f0=fπ2=0，则函数fx既是奇函数，又是偶函数，即fx=0，命题①正确；
对于命题②，由①的证明过程可知，当f0=0时，函数fx为奇函数，命题①正确；
对于命题③，由①的证明过程可知，当fπ2=0时，函数fx为偶函数，命题②正确；
对于命题④，当f20+f2π2≠0时，
∵fx=a1⋅sinx+α1+a2⋅sinx+α2+⋯+an⋅sinx+αn
=a1csα1+a2csα2+⋯+ancsαnsinx+a1sinα1+a2sinα2+ansinαncsx，
令a=a1csα1+a2csα2+⋯+ancsαn=fπ2，
b=a1sinα1+a2sinα2+ansinαn=f0，则a2+b2=f20+f2π2≠0，
由辅助角公式得fx=asinx+bcsx=a2+b2sinx+φ，
其中csφ=aa2+b2，sinφ=ba2+b2，
∵fx1=fx2=0，则x1,0、x2,0是函数y=fx的两个对称中心点，
函数y=fx的最小正周期为2π，该函数的两个相邻对称中心之间的距离为周期的一半，
因此，x1-x2=kπ k∈Z，命题④正确.
故答案为①②③④.
【点睛】本题的考点是三角形与数列的综合，主要考查三角函数的化简，考查新定义与三角函数性质的判断，解题的关键就是利用三角函数基本性质的定义来进行计算，从而判断结论的正误，运算量较大，综合性较强，属于难题.
三、解答题
6．（2020·徐汇区·上海中学高一期中）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与底面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的管线与平面ABC部分截面如图中阴影所示，路宽AD=24米，设
（1）求灯柱AB的高h（用表示）；
（2）此公司应该如何设置的值才能使制作路灯灯柱AB和灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？
【答案】(1)；(2)时，所用材料的总长度最小，最小值为.
【分析】(1)分别在△ABC和△ACD中，利用正弦定理即可解出答案；
(2)在△ABC中，利用正弦定理求出BC，再利用(1)的结果和三角函数的和差公式即可求得答案.
【详解】(1)由题意可得∠ADC=∠CAD∠ACD =，∠BCA=，
在△ACD中，由正弦定理可得：，
则AC=，
在△ABC中，由正弦定理可得：，
则AB=
.
即得.
(2)由(1)得AC=，AB=，
在△ABC中，由正弦定理可得：，
则，
所以.
由可得，可得当，即时，
即当公司设置的值为时，灯柱AB和灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值为.
【点睛】本题借助实际应用考查了利用正弦定理解三角形，考查了三角函数的和差公式及其应用，属于中档题.
7．（2018·上海长宁区·高一期末）已知函数，其中数列是公比为的等比数列，数列是公差为的等差数列．
（1）若，，分别写出数列和数列的通项公式；
（2）若是奇函数，且，求；
（3）若函数的图像关于点对称，且当时，函数取得最小值，求的最小值．
【答案】（1），；（2）；（3）1
【分析】(1)根据等差数列、等比数列的通项公式即可求解；
(2)根据奇函数的定义得出，化简得，解方程可得
(3)将化成的形式，依题意有，从而得到，因为当时，函数取得最小值，所以，两式相减即可求解.
【详解】（1）由等差数列、等比数列的通项公式可得
，；
（2）
因为，所以
即，所以
又由，得
（3）
记，
则，其中；
因为的图像关于点对称，所以①
因为当时，函数取得最小值，所以②
②-①得，因为，
当，时，取得最小值为0
【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式的求法、三角函数的化简以及正弦型函数图像的性质，考查较全面，属于难题.
8．（2019·上海市向明中学高一期中）如图，点A，B单位圆O上的两点，点C是圆O与轴正半轴的交点，将锐角的终边OA按逆时针方向旋转到OB.
（1）若点A的坐标为，求的值；
（2）若的面积为，求锐角的大小；
（3）用锐角表示，并求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由三角函数的定义，得的值，再对原式化简计算即可；
（2）考虑将进行分割，再用三角形面积公式求解；
（3）先用余弦定理写出关于的表达式，再求的取值范围.
【详解】（1）因为锐角的终边OA，点A的坐标为，
所以，
所以，
所以.
（2）所以，所以，
因为是锐角，所以，
所以.
（3）在中，，
所以，
因为是锐角，所以，所以，
所以，
所以，
所以.
【点睛】本题考查三角函数的定义、三角形的面积公式、求三角函数值域，将三角函数的性质与解三角形结合，综合性较强，同时考查学生的推理和计算能力，属于难题.
9．（2018·上海普陀区·曹杨二中高一期中）已知函数
(1)将化为的形式,并写出其最小正周期和图象对称轴方程,并判断函数的奇偶性(不需证明)；
(2)若三角形三边满足所对为B，求B的范围；
(3)在(2)的条件下，求的取值范围.
【答案】（1），对称轴方程为，非奇非偶；（2）；（3） .
【分析】（1）根据三角恒等变换化简，由正弦型函数的图象与性质求解（2）利用余弦定理及均值不等式求解（3）由（1）（2）及正弦函数的性质可求出.
【详解】（1）
,
所以，
由，
知对称轴方程为，
函数是非奇非偶函数.
（2）由余弦定理得，当且仅当时取等号，
因为，
所以.
（3）由，
所以，
因为，
所以
故，
所以的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，正弦型函数的图象与性质，余弦定理，均值不等式，由角的范围求函数值域，属于中档题.
10．（2018·上海普陀区·曹杨二中高一期中）已知函数
(1)当时,求函数的单调递减区间；
(2)对于为任意实数，关于的方程恰好有两个不等实根，求实数的值；
(3)在(2)的条件下,若不等式在内恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）1；（3）.
【分析】（1）当时,写出函数解析式，由正弦型函数性质可求解（2）由题意可知在为任意实数，有两不等实根，知其周期为，即可求解（3）求出的值域，原不等式可转化为恒成立，的值域是的子集即可.
【详解】（1）当时，
令，，
解得，
所以函数的单调递减区间为.
（2）因为对于为任意实数，关于的方程恰好有两个不等实根，
所以在为任意实数，有两不等实根，
所以,即.
（3）因为，
所以，
故，
又因为恒成立，
所以恒成立，
所以，解得.
【点睛】本题主要考查了正弦型函数的单调性，周期，值域，绝对值不等式恒成立，属于难题.
11．（2019·上海杨浦区·复旦附中高一期末）设函数，其中，.
（1）设，若函数的图象的一条对称轴为直线，求的值；
（2）若将的图象向左平移个单位，或者向右平移个单位得到的图象都过坐标原点，求所有满足条件的和的值；
（3）设，，已知函数在区间上的所有零点依次为，且，，求的值.
【答案】（1）；（2），；（3）
【分析】（1）根据对称轴对应三角函数最值以及计算的值；（2）根据条件列出等式求解和的值；（3）根据图象利用对称性分析待求式子的特点，然后求值.
【详解】（1），因为是一条对称轴，对应最值；又因为，所以，所以，则；（2）由条件知： ，可得，则，又因为，所以，则，
故有：，当为奇数时，令，
所以 ，当为偶数时，令，所以
，当时，
，又因为，所以；（3）分别作出（部分图像）与图象如下：
因为，故共有个；记对称轴为，据图有：，，，，，
则，令，
则，又因为，所以，由于与仅在前半个周期内有交点，所以，
则.
【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合运用，难度较难.对于三角函数零点个数问题，可将其转化为函数图象的交点个数问题，通过数形结合去解决问题会更方便.
12．（2019·上海中学高一期中）已知函数其图像的一个对称中心是将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像．
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意当时，都有求实数的最大值；
(3)若对任意实数在上与直线的交点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围．
【答案】（1） ； （2）； （3）.
【分析】（1）由图像的一个对称中心是列方程即可求得，即可求得，利用平移规律得，问题得解．
（2）由题可得在上单调递增，求得的增区间为，利用即可求得，问题得解．
（3）的最小正周期为，由题可得：的区间长度满足，解不等式即可．
【详解】（1）由题意，得，
解得，
又，∴，
∴，
从而；
（2）对任意，且，
，
即在上单调递增，
，
易得其单调增区间为，由于，
∴当时，，从而，∴实数的最大值为；
（3），其最小正周期为，而区间的长度为，
要满足题意，则，∴，解得.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象特点及函数图象平移规律，还考查了函数单调性概念及求三角函数的增区间知识，考查复合函数的单调性规律，属于难题．
13．（2017·上海松江区·高一期末）若函数满足且，则称函数为“函数”．
（1）试判断是否为“函数”，并说明理由；
（2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间；
（3）在(2)的条件下，当时，关于的方程为常数有解，记该方程所有解的和为，求．
【答案】（1）不是“M函数”；（2），；（3）.
【分析】由不满足，得不是“M函数”，
可得函数的周期，，
当时，
当时，
在上的单调递增区间：，
由可得函数在上的图象，根据图象可得：
当或1时，为常数有2个解，其和为
当时，为常数有3个解，其和为．
当时，为常数有4个解，其和为
即可得当时，记关于x的方程为常数所有解的和为，
【详解】
不是“M函数”．
，
，
不是“M函数”．
函数满足，函数的周期
，，
当时，
当时，
，
在上的单调递增区间：，；
由可得函数在上的图象为：
当或1时，为常数有2个解，其和为.
当时，为常数有3个解，其和为．
当时，为常数有4个解，其和为
当时，记关于x的方程为常数所有解的和为，
则．
【点睛】本题考查了三角函数的图象、性质，考查了三角恒等变形，及三角函数型方程问题，属于难题．
14．（2015·上海金山区·高一期中）某种波的传播是由曲线来实现的，我们把函数解析式称为“波”，把振幅都是A 的波称为“ A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．
（1）已知“1 类波”中的两个波与叠加后仍是“1类波”，求的值；
（2）在“类波“中有一个波是，从类波中再找出两个不同的波（每两个波的初相都不同），使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后是，并说明理由．
【答案】（1）（2）
试题分析：（1）将两函数式相加化简找到最大值为1，建立关于的关系式，进而求得角的大小；（2）中首先设出所找的波，采用待定系数法，将三个不同的波叠加化简后与对比，找到满足的条件，求出对应的值，从而确定所求的波
试题解析：（1）
振幅是
则，即所以
（2）设
则
=恒成立
则，消去可得
若取可取（或等）
此时是平波
考点：1．三角函数式的化简；2．三角函数求最值
15．（2019·上海市实验学校高一期末）已知对任意，恒成立（其中），求的最大值.
【答案】的最大值为.
试题分析：利用二倍角公式，利用换元法，将原不等式转化为二次不等式在区间上恒成立，利用二次函数的零点分布进行讨论，从而得出的最大值，但是在对时的情况下，主要对二次函数的对称轴是否在区间进行分类讨论，再将问题转化为的条件下，求的最大值，
试题解析：由题意知，
令，，则当，恒成立，开口向上，
①当时，，不满足，恒成立，
②当时，则必有（1）
当对称轴时，即，也即时，有，
则，，则，当，时，.
当对称轴时，即，也即时，
则必有，即，又由（1）知，
则由于，故只需成立即可，
问题转化为的条件下，求的最大值，然后利用代数式的结构特点或从题干中的式子出发，分别利用三角换元法、导数法以及柯西不等式法来求的最大值.
法一：（三角换元）把条件配方得：，
，所以，
；
法二：（导数）
令则即求函数的导数,椭圆的上半部分
；
法三：（柯西不等式）由柯西不等式可知：
，当且仅当,即及时等号成立.即当时，最大值为2.
综上可知.
考点：1.二倍角；2.换元法；3.二次不等式的恒成立问题；4.导数；5.柯西不等式
16．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴．
（1）求函数的解析式；
（2）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，若角满足，求的取值范围；
（3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有个零点，求常数与的值．
【答案】（1）；（2）；（3），.
【分析】
（1）由函数的周期公式可求出的值，求出函数的对称轴方程，结合直线为一条对称轴结合的范围可得出的值，于此得出函数的解析式；
（2）由得出，再由结合锐角三角函数得出，利用正弦定理以及内角和定理得出，由条件得出，于此可计算出的取值范围；
（3）令，得，换元得出，得出方程，设该方程的两根为、，由韦达定理得出，分（ii）、；（ii），；（iii），三种情况讨论，计算出关于的方程在一个周期区间上的实根个数，结合已知条件得出与的值.
【详解】
（1）由三角函数的周期公式可得，，
令，得，
由于直线为函数的一条对称轴，所以，，
得，由于，，则，
因此，；
（2），由三角形的内角和定理得，.
，且，，.
，
由，得，由锐角三角函数的定义得，，
由正弦定理得，，
，
，且，，，.
，因此，的取值范围是；
（3）将函数的图象向右平移个单位，
得到函数，
再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数为，
，
令，可得，
令，得，，
则关于的二次方程必有两不等实根、，则，则、异号，
（i）当且时，则方程和在区间均有偶数个根，
从而方程在也有偶数个根，不合乎题意；
（ii）当，则，当时，只有一根，有两根，
所以，关于的方程在上有三个根，
由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，不合乎题意；
（iii）当时，则，当时，只有一根，有两根，
所以，关于的方程在上有三个根，
由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，
方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，
因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，此时，，得.
综上所述：，.
【点睛】本题考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式，以及三角形中的取值范围问题，以及三角函数零点个数问题，同时也涉及了复合函数方程解的个数问题，考查分类讨论思想的应用，综合性较强，属于难题.
17．（2017·上海市实验学校高一期中）已知函数，任取，若函数在区间上的最大值为，最小值为，记.
（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；
（2）当时，求函数的解析式；
（3）设函数，，其中为参数，且满足关于的不等式有解，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），()； （2）. （3）.
【分析】(1)根据正弦型函数的解析式求出它的最小正周期和对称轴方程；(2)分类讨论、、时，求出对应函数的解析式；(3)根据的最小正周期求出函数的最小正周期，研究函数在一个周期内的性质，求出的解析式，画出的部分函数图像，求出值域，利用不等式求出k的取值范围，再把“若对任意，存在，使得成立”转化为“在上的值域是在上的值域的子集”，从而求出k的取值范围.
【详解】
(1)函数的最小正周期为，
令，解得对称轴为；
(2)①当时，在区间上，，
，所以
②当时，在区间上，，
，所以，
③当时，在区间上，，
，所以，
所以当时，；
(3)因为函数的最小正周期为4，所以，所以
即函数的周期为4，
由(2)可得，画出函数的部分图像如图所示，函数的值域为，
已知有解，即，则，
若对任意，存在，使得成立，
则在上的值域是在上的值域的子集，
，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，
因为在上单调递增，所以，
所以，即.
【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，涉及周期性、对称性与单调性，考查不等式恒成立问题，分段函数的单调性与值域，属于难题.