高中数学5.7 三角函数的应用导学案

5.7 三角函数的应用

【学习目标】

【自主学习】

函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义

【经典例题】

题型一  三角函数在物理中的应用

例1  已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：

(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？

(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？

(3)经过多长时间小球往复振动一次？

【跟踪训练】1  已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).

题型二  三角函数在生活中的应用

例2 如图一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间．

(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；

(2)求点P第一次到达最高点需要多长时间？

【跟踪训练】2  健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：

(1)求函数p(t)的周期；

(2)求此人每分钟心跳的次数；

(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较.

【当堂达标】

1.简谐运动y＝4sin的相位与初相分别是

A.5x－，       B.5x－，4

C.5x－，－       D.4，

2.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的(　　)

A．[0，5]　　　　　　　　　 B．[5，10]

C．[10，15]   D．[15，20]

3.电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流强度I为

A.5 A      B.2.5 A      C.2 A      D.－5 A

4.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin        ＋k.

据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为

A.5           B.6           C.8           D.10

5．一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，若弹簧振子运动的振幅为3，周期为，初相为，则这个函数的解析式为________．

【参考答案】

【自主学习】

A  ωx＋φ  φ

【经典例题】

例1 （1）

（2）解　小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.

（3）解　因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.

【跟踪训练】1（1）

（2）

例2

【跟踪训练】2（1） 解　T＝＝＝(min).

（2）解　f＝＝80.

（3）解　p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，p(t)min＝115－25＝90(mmHg)，

即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内.

【当堂达标】

1.C 解析　相位是5x－，当x＝0时的相位为初相即－.

2.C解析：由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.

3. B 解析　将t＝代入I＝5sin，得I＝2.5 A.

4. C 解析　根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.

5.y＝3sin 解析：由题意得A＝3，T＝，φ＝，则ω＝＝7，

故所求函数的解析式为y＝3sin.