人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制学案

5.1.2   弧度制

【学习目标】

【自主学习】

一．度量角的两种制度

1、角度制：1度角等于周角的        

2、         ：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做        

二．弧度数的计算

三．角度与弧度的互化

180°＝           rad

1°＝        rad；1 rad＝（       ）°      

四．弧度制下的弧长与扇形面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则

(1)弧长公式：l＝         

(2)面积公式：S=        ＝      

【小试牛刀】

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

【经典例题】

题型一  角度制与弧度制的互化

例1 .

【跟踪训练】1  已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小.

题型二  用弧度制表示有关的角

例2　将－1125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角？

【跟踪训练】2 用弧度制表示终边落在如图（右）所示阴影部分内的角θ的集合.

三、利用弧度制证明并利用扇形公式：

例3

【跟踪训练】 3  (1)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积.

(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数.

【当堂达标】

1．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数(    )

A.     B.     C.     D.

2.(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(    )

A.2kπ＋45°(k∈Z)            B.k·360°＋(k∈Z)

 C.k·360°－315°(k∈Z) D.2kπ＋(k∈Z)

3.－135°化为弧度为______，化为角度为________.

4.已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？

最大值是多少？

【参考答案】

【自主学习】

度      弧度  半径长正 负 0

2π   360°   π   180°    αR

【小试牛刀】

√   ×   √   √

【经典例题】

例1 课本例题

【跟踪训练】1  解　α＝15°＝15×＝，θ＝105°＝105×＝，

∵<<1<，∴α<β<γ<θ＝φ.

例2 解　－1 125°＝－1 125×＝－＝－8π＋.

其中<<2π，因为是第四象限角，所以－1 125°是第四象限角.

【跟踪训练】2 解　终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z，

即θ＝＋2kπ，k∈Z.

终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，即θ＝－＋2kπ，k∈Z，

故终边落在阴影部分的角θ的集合为

例3 课本例题

【跟踪训练】3 （1）解　设扇形弧长为l，

因为圆心角72°＝72×＝ rad，所以扇形弧长l＝|α|·r＝×20＝8π，

于是，扇形的面积S＝l·r＝×8π×20＝80π.

（2）解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，

依题意有

①代入②得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.

当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad舍去.

当R＝4时，l＝2，此时，θ＝＝(rad).

综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad.

【当堂达标】

1.B 解析　由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，小链轮转过的弧度是×2π＝.

2.CD 解析　A，B中弧度与角度混用，不正确；＝2π＋，所以与终边相同.

－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同，即与终边相同.

3. －  660°解析　－135°＝－135×＝－；＝×180°＝660°.

4.解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，

则l＋2r＝4，所以l＝4－2r，

所以S＝l·r＝×(4－2r)×r＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，

所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1，

因此，θ＝＝＝2(rad).