5.4三角函数的图象和性质-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).

(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)

例1求下列函数的定义域.

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）要使函数有意义，必须使.

由正弦的定义知，就是角的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数.

∴角的终边应在轴或其上方区域，

∴.

∴函数的定义域为.

（2）要使函数有意义，必须使有意义，且.

∴

∴.

∴函数的定义域为.

例2已知函数最小正周期为，图象过点.

（1）求函数解析式

（2）求函数的单调递增区间.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由已知得，解得.

 将点代入解析式，，可知，

由可知，于是.

（2）令

解得，

于是函数的单调递增区间为.

例3(1)利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.

列表: 

作图:

(2)并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.

(3)求函数图象的对称轴方程.

【答案】(1)见解析(2) 见解析(3) .

【解析】

（1）先列表,后描点并画图

；

（2）把的图象上所有的点向左平移个单位, 再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到的图象，即的图象；

（3）由，

所以函数的对称轴方程是.

例4求函数的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.

【答案】定义域为，值域为R，非奇非偶函数，递增区间为

【解析】

的定义域为，

单调增区间为.

又看成的复合函数，

由得，

所以所求函数的定义域为，值域为；

函数的定义域不关于原点对称，因此该函数是非奇非偶函数；

令，解得，

即函数的单调递增区间为.

例5已知函数的周期是.

（1）求的单调递增区间；

（2）求在上的最值及其对应的的值.

【答案】（1）；（2）当时，；当时，.

【解析】

（1）解：∵,∴,

又∵,∴,∴,

∵,,

∴,,

∴,,

∴的单调递增区间为

（2）解：∵,∴,∴,

∴,

∴,

∴,

当时,,

当,即时,

例6已知函数，在一周期内，当时，取得最大值3，当时，取得最小值，求

（1）函数的解析式；

（2）求出函数的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标；

（3）当时，求函数的值域.

【答案】（1）；（2）增区间为，对称轴方程为，，对称中心为（）；（3）.

【解析】

 (1)由题设知，，

周期，，由得.

所以.

又因为时，取得最大值3，

即，，解得，又，

所以，所以.

(2)由，得.

所以函数的单调递增区间为.

由，，得，.

对称轴方程为，..

由，得（）.

所以，该函数的对称中心为（）.

(3)因为，所以，则，

所以.所以值域为：.

所以函数的值域为.

1．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】令，则，故选：B.

2．下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】先选项C中函数的周期为,故排除C,将,代入A,B,D求得函数值为,而函数在对称轴处取最值.故选:.

3．已知函数在区间上的最小值为，则ω的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为，函数在区间上的最小值为，

所以时，，所以，，

时，，所以，，

所以的范围是．

故选：D．

4．已知函数，则以下结论错误的是（    ）

A．为偶函数 B．的最小正周期为

C．的最大值为2 D．在上单调递增

【答案】C

【解析】由题知，①，

则A选项，A选项正确.

B选项，，所以的最小正周期为，B选项正确.

C选项，由①知，所以选项C不正确.

D选项，当时，，由解得（），令可得，所以在上单调递增，所以D选项正确.

综上所述，不正确的选项为C.故选：C

5．已知函数的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据的最小正周期为，故可得，解得.

又其关于中心对称，故可得，又，

故可得.则.

令，

解得.

故在单调递增.

又，且都在区间中，

且，故可得.故选：.

6．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】，其定义域为．

当在第一象限时，，当在第三象限时，，当在第二象限时，，当在第四象限时，，结合定义域可知选B.

故选：B

7．已知函数在区间上单调递增，则实数的可能值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】因为，所以，

所以在单调递增，所以，解得，

所以的取值范围是

故选：AB.

8．已知函数，下列结论正确的有（    ）

A．函数是奇函数；

B．函数是周期函数，且周期为2；

C．函数的最小值为-2；

D．函数的图象关于直线对称.

【答案】BCD

【解析】对于，因为，

所以不是奇函数，故选项错误；

对于，，故是周期函数，2为的一个周期，故选项正确；

对于，，

故，故选项正确；

对于，因为

所以，

所以函数的图象关于直线对称.

故选项正确.故选：BCD.

9．已知函数的图象关于直线对称，则_____.

【答案】

【解析】∵函数的周期为π，它的图象关于直线对称，

∴f（0）＝f（）＝1，∴a，

∴f（），

10．函数，为偶函数，则的值为______

【答案】

【解析】因为为偶函数，故轴为其图象的对称轴，

所以，故，

因为，故

11．函数的值域是________

【答案】

【解析】,

设，，则，

当时，函数有最大值为；当时，函数有最小值为.

故函数值域为.

12．已知函数，则的最大值为________，若在区间上是增函数，则的取值范围是________.

【答案】2       

【解析】因为函数，所以，

所以的最大值为2，因为在区间上是增函数，

所以，所以，解得.

13．设函数.

（1）求函数f(x)的最小正周期，对称中心；

（2）作出函数在一个周期内的简图．

【解析】（1），.

令，，解得，，

故对称中心为.

（2）令，解得，令，解得，

令，解得，令，解得，

令，解得，

所以函数的图象与轴的一个交点坐标为，

在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为和.

故函数在一个周期内的函数图象为：

14．已知函数．

（1）求的最大值及取得最大值时的值；

（2）求的单调递减区间．

【解析】（1）令，即时，

取最大值1．

（2）由

得的减区间为，

15．设函数，的图像的一条对称轴是直线．

（1）求；

（2）求函数在的值域．

【解析】（1）因为是函数的图像的对称轴，所以.

所以，，得，又，

所以时，.

（2）由（1）可得，，

令，，则，

则，根据正弦函数的图象得

16．已知函数，．

（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.

【解析】（1），所以，该函数的最小正周期为.

解不等式，得.

因此，函数最小正周期为，单调递增区间为；

（2），.

当时，即当时，函数取得最大值，即；

当时，即当时，函数取得最小值，即.

一、单选题

1．若函数，，则是（    ）

A． 最小正周期为为奇函数    B． 最小正周期为为偶函数

C． 最小正周期为为奇函数    D． 最小正周期为为偶函数

【答案】A

【解析】

∵=-sin2x，

∴f（x）=-sin2x，

可得f（x）是奇函数，最小正周期T==π

故选：A．

2．函数，的大致图像是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.结合正弦函数的图像可知B正确.

故选B.

3．已知函数，则在上的零点的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

由下图可得在上的零点的个数为，故选C.

4．下列函数中，为偶函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

对于A,函数关于对称，函数为非奇非偶函数，故A错误；

对于B,函数为减函数，不具备对称性，不是偶函数，故B错误；

对于C,，则函数是偶函数，满足条件，故C正确；

对于D,由得得，函数的定义为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，故D错误.

故选：C.

5．估计的大小属于区间（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

，

因为在上递减，且，

所以，

所以，

所以

所以，

故选：B

6．函数的图像的一条对称轴方程为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

函数

令，

则，

当时，，

故选B.

7．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.

8．函数的图象的大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

故则是偶函数，排除C、D，又当

故选：A.

9．用五点法作函数的图象时，得到如下表格：

则，，的值分别为（    ）

A．4，2， B．4，， C．4，2， D．4，，

【答案】A

【解析】

由表中的最大值为4，最小值为，可得，

由，则，，

，图象过，，

，，，解得，

，当时，．

故选：．

10．若点是函数的图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为，则（ ）

A．的最小正周期是 B．的值域为

C．的初相 D．在上单调递增

【答案】D

【解析】

由题意得，且函数的最小正周期为，

故.代入，得，

又，所以.

所以.

故函数的值域为，初相为.故A，B，C不正确，

当时，，而在上单调递增，所以在上单调递增，故正确.

故选：D.

二、多选题

11．函数的一个对称中心是（   ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】

因为；；

；当时， .

所以、是函数的对称中心.

故选：AD

12.下列函数中，是奇函数的是（    ）．

A． B．，

C．， D．

【答案】ACD

【解析】

对A，由，定义域为，

且，

故函数为奇函数，故A正确

对B，由函数的定义域为，故该函数为非奇非偶函数，故B错

对C，，定义域关于原点对称，

且，故C正确

对D，的定义域为，

且，

故该函数为奇函数，故D正确

故选：ACD

13．下图是函数（其中，，）的部分图象，下列结论正确的是（    ）

A．函数的图象关于顶点对称

B．函数的图象关于点对称

C．函数在区间上单调递增

D．方程在区间上的所有实根之和为

【答案】ABD

【解析】

由已知，，，因此，

∴，

所以，过点，

因此，，又，

所以，∴，

对A，图象关于原点对称，故A正确；

对B，当时，，故B正确；

对C，由，有，故C不正确；

对D，当时，，所以与函数有4个交点令横坐标为，，，，，故D正确.

故选：ABD.

14．关于函数，如下结论中正确的是（    ）．

A．函数的周期是

B．函数的值域是

C．函数的图象关于直线对称

D．函数在上递增

【答案】ACD

【解析】

A．∵，

∴，

∴是周期为的周期函数，A正确，

B．当时，，此时，，∴，又的周期是，∴时，值域是，B错；

C．∵，

∴函数的图象关于直线对称，C正确；

D．由B知时，，当时，，单调递增，而是周期为的周期函数，因此在上的图象可以看作是在上的图象向右平移单位得到的，因此仍然递增．D正确．

故选：ACD．

三、填空题

15．函数的定义域为_____．

【答案】

【解析】

解不等式，可得，

因此，函数的定义域为.

故答案为：.

16．函数的值域________．

【答案】

【解析】

，

 ，

，

故，

故答案为：

17．关于函数f（x）=有如下四个命题：

①f（x）的图像关于y轴对称．

②f（x）的图像关于原点对称．

③f（x）的图像关于直线x=对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是__________．

【答案】②③

【解析】

对于命题①，，，则，

所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；

对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

，

所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；

对于命题③，，

，则，

所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；

对于命题④，当时，，则，

命题④错误.

故答案为：②③.

18．函数，当_________时有最小值，最小值是___________.

【答案】       

【解析】

当时，即，

可得，此时取得最小值；

此时，最小值为；

故答案为： ； .

19．设函数，当时，的最大值是，最小值是，则_____，_____.

【答案】       

【解析】

根据题意，得，解得.

故答案为：

20．函数的最大值是________，最小值是________.

【答案】       

【解析】

，

，

，

函数的最大值是；最小值是.

故答案为：;.

21．若函数的最大值为0，最小值为，则实数_________，________.

【答案】       

【解析】

，

令，则，

函数的对称轴为，

当，即时，

当，即时，且，

此时方程组无解；

故答案为：.