5.5.3 二倍角的正弦、余弦、正切公-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

二倍角的正弦、余弦和正切公式

要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式

1．二倍角的正弦、余弦、正切公式

2．和角公式、倍角公式之间的内在联系

在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：

要点二：二倍角公式的逆用及变形

1．公式的逆用

；．

．

．

2．公式的变形

；

降幂公式：

升幂公式：

要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型

求值题、化简题、证明题

1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；

2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如

等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；

【典型例题】

类型一：利用二倍角公式的简单应用

例1.求下列各式的值：

（1）；      ；      （3）．

【解析】

（3）．

举一反三：

【变式1】求值：（1）； （2）； （3）

【解析】（1）原式=；

（2）原式=；

（3）原式=．

类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值

例2. 求sin6°·sin42°·sin66°·sin78°的值．

【解析】方法一：原式

方法二：设所求为A，即A=sin6°·sin42°·sin66°·sin78°，设B=cos6°·cos42°·cos66°·cos78°

则=

举一反三：

【变式1】

【解析】

例3．求值：．

【解析】原式

举一反三：

【变式1】求值：

【解析】原式= ===4

【变式2】求值：

【解析】原式==

            = = =1

类型三：利用二倍角公式化简三角函数式

例4．化简：．

【解析】 方法一：原式

．

方法二：原式

举一反三：

【变式1】化简下列各式：

(1)（2）

【解析】(1)

(2) 原式= =

       = = =

【变式2】（1）化简：；（2）若，求的值．

【解析】（1）；

     （2）．

类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用

例5．求值：（1）已知，求．

（2）已知，求．

【解析】（1）===

（2）===

举一反三：

【变式1】已知，且，求的值．

【解析】 原式

．

∵，∴．∵，∴．

∴，

∴．

又∵，

∴．

【变式2】 已知：tanθ=2，求的值．

解法一：=（转化成了齐次式）

        =

解法二： ∵tan=2，∴sin=2k，cos=k

       原式

      又∵sin2+cos2=1即（2k）2+k2=1

     ∴

例6．已知，，且、都是锐角，求．

【解析】 由，得，即．

由，得．

．

∵0°＜＜90°，0°＜＜90°，∴0°＜＜270°．

在0°与270°之间只有90°的余弦值为0，故．

类型五：二倍角公式的综合应用

例7．已知函数f（x）=asin x+cos x的图象经过点．

（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递增区间．

（2）若，且，求sin2的值．

【解析】（1）∵函数的图象经过点，

∴，即，解得：a=－1，

，，∴函数f（x）的最小正周期为2π．

∵函数y=cos x的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，

∴，解得：

∴函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z

（2）∵，∴，∴．

∴．

【变式1】已知函数，a为常数，a∈R，且．

（1）求函数f（x）的最小正周期．

（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．

【解析】（1）由已知得，即，

∴a=－2，∴

∴函数f（x）的最小正周期为π

（2）由，得，则

∴

∴函数y=f（x）的最大值为；最小值为．

例8．已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π，若向量＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与

向量＝(sinA－cosA，1＋sinA)是共线向量.

（1）求角A；

（2）求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.

【解析】（1）∵、共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(sinA－cosA)，则sin2A＝，

又A为锐角，所以sinA＝，则A＝.

（2）y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos，

＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B

＝sin2B－cos2B＋1＝sin(2B－)＋1.

∵B∈(0，)，∴2B－∈(－，)，∴2B－＝，解得B＝，ymax＝2.

举一反三：

【变式1】已知向量m=（sinA，cosA），，m·n=1，且A为锐角．

（1）求角A的大小；

（2）求函数（x∈R）的值域．

【解析】（1）由题意，得，

，．

由A为锐角得，．

（2）由（1）知，∴．

∵x∈R，所以sinx∈[－1,1]．

因此，当时，有最大值，当sin x=－1时，有最小值－3，

∴所求函数的值域是．

【巩固练习】

1．已知，则函数的最小值是（    ）

A．－1    B．    C．    D．1

1．【答案】A【解析】∵，

又，∴，∴，

∴，∴函数的最小值是―1．

2．化简的结果是（    ）

A．－cos1    B．cos1    C．    D．

2．【答案】C 【解析】 2+cos2―sin21=2+2cos21―1―sin21=2cos21+1―sin21=3cos21，∴原式

3．化简得（    ）

A．    B．    C．1    D．―1

3．【答案】C 【解析】

4．已知，则的值为（    ）

A．    B．   C．    D．

4．【答案】B【解析】，所以，所以

5．函数是（    ）

A．最小正周期为π的奇函数     B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为的奇函数    D．最小正周期为的偶函数

5．【答案】A【解析】，为奇函数，最小正周期为

6．已知α为第二象限角，且，则的值为（    ）

A．    B．    C．    D．

6．【答案】B．【解析】∵α为第二象限角，∴cosα－sinα＜0，

∵，∴

7．若则

A．     B．     C．     D．

7．【答案】D

8．若，则（    ）

A．3―cos2x    B．3―sin2x    C．3+cos2x    D．3+sin2x

8．【答案】C 【解析】，∴，

∴．

9．若，则sin2=________．

9．【答案】【解析】若，则

10．的取值范围是           ．

10. 【答案】

11．已知，则tan2α=________．

11．【答案】【解析】由，

可得：tanα=4，那么：

12．的三个内角为、、，当为         时，取得最大值，且这个最大值为         ．

12．【答案】 【解析】

           当，即时，得

13．已知，，求．

13．【解析】原式==，

，， 是第三象限角，

，．

14．在△ABC中，cosA=，tanB=2，求tan(2A+2B)的值．

14．【解析】由题意知，，，

．

15．已知，为的最小正周期，向量，，且，求的值．

15．【解析】因为为的最小正周期，故β=π．

因为a·b=m，又，

故．

由于，所以

．

16．已知是第二象限角，且，

（1）求cos2的值；

（2）求的值．

16．【解析】（1）因为是第二象限角，，

．

（2）又是第二象限角，故．

．