高中数学人教版新课标A选修2-12.4抛物线课后练习题

抛物线的简单几何性质(一)

一、基础过关

1．设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A的横坐标的值为(　　)

A．－2     B．0

C．－2或0    D．－2或2

2．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为                                                                                                                                                                        (　　)

A．y2＝8x

B．y2＝－8x

C．y2＝8x或y2＝－8x

D．x2＝8y或x2＝－8y

3．经过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则的值是                                                                                                                                                                                                                                (　　)

A．4  B．－4  C．p2  D．－p2

4．等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px (p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则Rt△ABO的面积是                                                                                                                                                                                                                                (　　)

A．8p2  B．4p2  C．2p2  D．p2

5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．若x1＋x2＝6，则|AB|＝________.

二、能力提升

6．过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1等于                                                                                                                                                                        (　　)

A．45°  B．90°  C．60°  D．120°

7.如图所示，过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，

交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　　)

A．y2＝x    B．y2＝3x

C．y2＝x    D．y2＝9x

8．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，

水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________ m.

9．已知△ABC的三个顶点都在y2＝32x上，A(2,8)，且这个三角

形的重心与抛物线的焦点重合，则直线BC的斜率是________．

10．线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0)，端点A、B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线．求抛物线的方程．

11．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，求这条抛物线的方程．

12.已知过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2) (x1<x2)两点，且|AB|＝9.

(1)求该抛物线的方程；

(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．

三、探究与拓展

13．已知动点P到定直线x＝－2的距离与定点F(1,0)的距离的差为1.

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)若O为原点，A、B是动点P的轨迹上的两点，且△AOB的面积S△AOB＝m·tan∠AOB，试求m的最小值．

答案

1．B　2．C  3．B　4．B　5．8  6．B　

7．B　

8．2

9．－4

10．解　画图可知抛物线的方程为

y2＝2px (p>0)，

直线AB的方程为x＝ky＋m，

由

消去x，整理得y2－2pky－2pm＝0，

由根与系数的关系得y1y2＝－2pm，

由已知条件知|y1|·|y2|＝2m，

从而p＝1，故抛物线方程为y2＝2x.

11．解　设所求抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px (p>0)，

设交点A(x1，y1)、B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，

则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2，

由对称性知：y2＝－y1，代入上式得y1＝，

把y1＝代入x2＋y2＝4，得x＝±1.

∴点C(1，)在抛物线y2＝2px上，点C′(－1，)在抛物线y2＝－2px上，将C、C′代入相应的抛物线方程得3＝2p或3＝－2p×(－1)．

∴p＝，所求抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x.

12．解　(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，

所以x1＋x2＝，由抛物线定义得

|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，抛物线方程为y2＝8x.

(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0，化简得x2－5x＋4＝0，

从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，

从而A(1，－2)，B(4,4)．

设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)

＝(1＋4λ，－2＋4λ)，

又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，

即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.

13．解　(1)依题意知动点P到定点F(1,0)的距离与到定直线x＝－1的距离相等，由抛物线的定义可知动点P的轨迹方程是y2＝4x.

(2)设A，B，

∵S△AOB＝||||sin∠AOB，

又S△AOB＝m·tan∠AOB，

∴||||sin∠AOB＝m·tan∠AOB，

∴m＝||||cos∠AOB＝·

＝＝(y1y2＋8)2－2，

∴mmin＝－2，此时y1y2＝－8.