人教版新课标A选修2-12.4抛物线教案

抛物线及其标准方程

●三维目标

 1.知识与技能

掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程形式，及其对应的焦点、准线．

2．过程与方法

掌握对抛物线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法．通过本节课的学习，提高学生观察、类比、分析和概括的能力．

3．情感、态度与价值观

通过本节的学习，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想．

●重点、难点

重点：(1)抛物线的定义及焦点、准线；(2)抛物线的四种标准方程和p的几何意义．

难点：在推导抛物线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系．

以多媒体课件为依托，课件可增强课堂教学的直观性、趣味性，促进学生积极思维，能够在动态演示过程中突出教学重点，化解教学难点．

●教学建议

本节课主要采用启发引导法．在整个教学过程中，引导学生观察、分析、归纳，使学生思维紧紧围绕“问题”层层展开，培养学生学习的兴趣，也充分体现了以教师为主导，学生为主体的教学理念．同时，采用多媒体辅助教学，借助多媒体快捷、形象、生动的辅助作用，突出知识的形成过程，符合学生的认识规律，也可以增加趣味．

本节课从引入课题开始， 尽可能让学生参与知识的产生及形成过程，充分发挥学生的主体作用，使学生全方位地参与问题结论的得出，教师只起到点拨作用．这样做增加了学生的参与机会，提高了参与意识，教给了学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体．

●教学流程

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【问题导思】　

　我们知道，二次函数的图象是抛物线，那么抛物线上的点应满足什么条件呢？

【提示】　抛物线上的点满足到定点的距离等于它到定直线的距离．

　平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

【问题导思】　

　抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？

【提示】　不能，若l经过点F，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于l的一条直线.

【问题导思】　

1．比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，建立的抛物线方程才能更简单？

【提示】　根据抛物线的几何特征，可以取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，以F到l的垂线段的中垂线为y轴建系．

2．抛物线的标准方程只有一种形式吗？

【提示】　有四种形式．

　四种不同标准形式的抛物线方程

例题1　(1)抛物线y2＝2px(p＞0)上一点A(6，y0)，且点A到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是(　　)

A．4　　　　B．8　　　　C．13　　　　D．16

(2)若点P到定点F(4,0)的距离比它到定直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是(　　)

A．y2＝－16x　　　　　B．y2＝－32x

C．y2＝16x   D．y2＝16x或y＝0(x＜0)

【思路探究】　(1)由抛物线的定义，点A到焦点的距离与什么相等？(2)点P到F的距离比它到定直线x＋5＝0的距离小1，那么点P到F的距离与它到哪条直线的距离相等？

【自主解答】　(1)由题意6＋＝10，∴p＝8.

(2)因为点F(4,0)在直线x＋5＝0的右侧，且P点到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，所以点P到F(4,0)的距离与到直线x＋4＝0的距离相等．故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p＝8，故P点的轨迹方程为y2＝16x.

【答案】　(1)B　(2)C

规律方法

1．根据抛物线的定义，抛物线上的任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，抛物线定义的功能是可以把点点距转化为点线距，从而使有关的运算问题变得简单、快捷．

2．抛物线标准方程中的p的几何意义是：焦点到准线的距离．

3．对于动点到定点的距离比此动点到定直线的距离大多少或小多少的问题，实际上也是抛物线问题．

变式训练

　(1)抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则A点到抛物线焦点的距离为(　　)

A．2　　　　　　　　B．3

C．4   D．5

(2)若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)

A．y2＝8x   B．y2＝－8x

C．y2＝4x   D．y2＝－4x

【解析】　(1)由抛物线的定义，点A到焦点的距离等于它到准线的距离，而A到准线的距离为4＋＝4＋1＝5.(2)由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x＋1＝0的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，其方程为y2＝8x.

【答案】　(1)D　(2)A

例题2　分别求适合下列条件的抛物线的标准方程．

(1)过点M(－6,6)．

(2)焦点在直线l：3x－2y－6＝0上．

【思路探究】　(1)过点M(－6,6)的抛物线的开口方向有几种情况？(2)直线l：3x－2y－6＝0上有无数个点，哪些点是抛物线的焦点？

【自主解答】　(1)由于点M(－6,6)在第二象限，

∴过M的抛物线开口向左或开口向上．

若抛物线开口向左，焦点在x轴上，

设其方程为y2＝－2px(p＞0)，

将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，

∴p＝3.

∴抛物线的方程为y2＝－6x；

若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)，

将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，

∴抛物线的方程为x2＝6y.

综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.

(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，

∴抛物线的焦点是F(2,0)，

∴＝2，∴p＝4，

∴抛物线的标准方程是y2＝8x.

②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，

即抛物线的焦点是F(0，－3)，

∴＝3，∴p＝6，

∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.

综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.

规律方法

1．只有当抛物线的顶点在原点，焦点在x轴或y轴上时，其方程才是标准形式，抛物线的标准方程有四种情况．

2．尽管抛物线的标准方程有四种，但方程中都只有一个待定系数，求标准方程时仍遵循先定位后定量的原则，同时要运用好参数p的几何意义．

3．有时可以设标准方程的统一形式，以避免讨论，如焦点在x轴上，开口不确定的抛物线可设方程为y2＝2ax(a≠0)，解出a值的正负后，开口方向也自然确定了．

　若把本例题目改为：

(1)过点(1,2)．

(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．

试求抛物线的标准方程．

【解】　(1)点(1,2)在第一象限，分两种情形：

当抛物线焦点在x轴上时，设其方程为y2＝2px(p>0)，

则22＝2p·1，解得p＝2，

抛物线标准方程为y2＝4x；

当抛物线焦点在y轴上时，设其方程为x2＝2py(p>0)，

则12＝2p·2，解得p＝，抛物线标准方程为x2＝y.

(2)令方程x－2y－4＝0的x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4.

∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)，

当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，

这时抛物线标准方程为y2＝16x；

当焦点为(0，－2)时，＝2，∴p＝4，

这时抛物线标准方程为x2＝－8y.

例题3　如图2－3－1所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．

图2－3－1

(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；

(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?

【思路探究】　(1)如图所示数据，你能求出抛物线的方程吗？

(2)车辆限制高度是什么意思？由题意该求哪些量？

【自主解答】　如图所示

(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，

因为点C(5，－5)在抛物线上，

所以该抛物线的方程为x2＝－5y.

(2)设车辆高h，则|DB|＝h＋0.5，故D(3.5，h－6.5)，

代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，

所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．

规律方法

1．解答抛物线的实际应用问题的关键是“建模”，即通过题意分析，把实际问题转化为数学模型解决．

2．解决抛物线实际应用题的步骤：

(1)建：建立适当的坐标系；

(2)设：设出合适的抛物线标准方程；

(3)算：通过计算求出抛物线标准方程；

(4)求：求出所要求出的量；

(5)还：还原到实际问题中，从而解决实际问题．

　某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货后木船露在水面上的部分高为 m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？

【解】　以拱桥拱顶为坐标原点，拱高所在直线为y轴，建立如下图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意知，点A(4，－5)在抛物线x2＝－2py(p＞0)上．

所以16＝－2p×(－5)，2p＝.

所以抛物线方程为x2＝－y(－4≤x≤4)．

设水面上涨船面两侧与抛物线拱桥接触于B、B′时，船开始不能通航．

设B(2，y)，由于22＝－×y，所以y＝－.

所以水面与抛物线拱顶相距|y|＋＝2(m)．

答：水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m时，船开始不能通航.

(对应学生用书第39页)

忽略对抛物线方程中系数的讨论致误

典例　设抛物线y2＝ax的准线与直线x－2＝0的距离为5，求抛物线的方程．

【错解】　由抛物线方程y2＝ax得准线方程为x＝－.

又准线与直线x－2＝0的距离为5，

∴准线方程为x＝－3，∴－＝－3，∴a＝12.

∴抛物线的方程为y2＝12x.

【错因分析】　产生错解的原因是对抛物线方程y2＝ax中的系数a的理解不全面，只认为a＞0，而忽视了a＜0的情况．

【防范措施】　求解抛物线方程中涉及系数问题时，要充分考虑各种情况，以免因遗漏致误．

【正解】　由抛物线方程y2＝ax，得准线方程为x＝－，

∵准线与直线x－2＝0的距离为5，∴准线方程为x＝－3或x＝7，

∵当a＞0时，有x＝－＝－3，解得a＝12，∴抛物线方程为y2＝12x；

∵当a＜0时，有x＝－＝7，解得a＝－28，∴抛物线方程为y2＝－28x.

综上所述，所求抛物线的方程为y2＝12x或y2＝－28x.

课堂小结

1．利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系在解题时，若能灵活运用，会带来很大的方便．

2．求抛物线的标准方程时，由于其标准形式有四种且极易混淆，解题时一定要做到数形结合，再按照“先定形”再“定量”的程序求解.

1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是(　　)

A．(2,0)　　　　　　　B．(－2,0)

C．(4,0)   D．(－4,0)

【解析】　由y2＝－8x，得2p＝8，∴＝2.

从而抛物线的焦点为(－2,0)．

【答案】　B

2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是(　　)

A．y2＝－8x   B．y2＝8x

C．y2＝－4x   D．y2＝4x

【解析】　由准线x＝－2及顶点在原点，

∴焦点F(2,0)，p＝4.

∴抛物线的方程为y2＝8x.

【答案】　B

3．若动点P到定点F(－4,0)的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是(　　)

A．抛物线   B．线段

C．直线   D．射线

【解析】　由抛物线的定义可知，点P的轨迹是抛物线．

【答案】　A

4．抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．

【解】　设焦点为F，M点到准线的距离为d.

则d＝|MF|＝10，即9＋＝10.

∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝－4x，

将M(－9，y)代入抛物线的方程，得y＝±6.

∴M点坐标为(－9,6)或(－9，－6).

一、选择题

1．(2013·济南高二检测)若动点P与定点F(1,1)和直线3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是(　　)

A．椭圆　　　　　　　B．双曲线

C．抛物线   D．直线

【解析】　由于点F(1,1)在直线3x＋y－4＝0上，故满足条件的动点P的轨迹是一条直线．

【答案】　D

2．(2013·新乡高二检测)设动点C到点M(0,3)的距离比点C到直线y＝0的距离大1，则动点C的轨迹是(　　)

A．抛物线   B．双曲线

C．椭圆   D．圆

【解析】　由题意，点C到M(0,3)的距离等于点C到直线y＝－1的距离，所以点C的轨迹是抛物线．

【答案】　A

3．抛物线y2＝4px(p＞0)上一点M到焦点的距离为a，则M到y轴的距离为(　　)

A．a－p   B．a＋p

C．a－   D．a＋2p

【解析】　y2＝4px的准线方程为x＝－p，

设M点坐标为(x1，y1)，则x1＋p＝a，

∴x1＝a－p.

【答案】　A

4．(2013·东营高二检测)若抛物线的焦点恰巧是椭圆＋＝1的右焦点，则抛物线的标准方程为(　　)

A．y2＝－4x   B．y2＝4x

C．y2＝－8x   D．y2＝8x

【解析】　椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，故抛物线的焦点为(2,0)，∴＝2，∴p＝4，∴抛物线标准方程为y2＝8x.

【答案】　D

5．(2013·洛阳高二检测)已知点M是抛物线y2＝4x上的一动点，F为焦点，定点P(3,1)，则|MP|＋|MF|的最小值为(　　)

A．3   B．4

C．5   D．6

【解析】　如图所示，过点P作PN垂直于准线x＝－1于点N，交抛物线于点M，∴|MN|＝|MF|，此时|MP|＋|MF|取得最小值，最小值为xp＋＝3＋1＝4.

【答案】　B

二、填空题

6．抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是________．

【解析】　由y2＝4x知焦点F(1,0)，准线为x＝－1，

∴焦点到准线的距离为2.

【答案】　2

7．(2013·三明高二检测)以双曲线－＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为________．

【解析】　由－＝1知a2＝4，b2＝5，

∴c2＝a2＋b2＝9，双曲线右焦点为(3,0)，

依题意，抛物线的焦点F(3,0)，＝3，∴p＝6，

∴抛物线方程为y2＝12x.

【答案】　y2＝12x

8．(2012·陕西高考)如图2－3－2所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m.

图2－3－2

【解析】　建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.∴x2＝－2y.

当水面下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y得x＝6，

∴x0＝.∴水面宽|CD|＝2 m.

【答案】　2

三、解答题

9．根据下列条件，分别求抛物线的标准方程．

(1)准线方程为y＝－1；

(2)焦点到准线的距离是4.

【解】　(1)准线为y＝－1，所以＝1，即p＝2，所以抛物线标准方程为x2＝4y.

(2)p＝4，所以抛物线标准方程有四种形式：y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y，x2＝－8y.

10．抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，求抛物线的标准方程．

【解】　因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，

所以当m＞0时，点A在第四象限，抛物线的方程可设为y2＝2px(p＞0)，

设点A到准线的距离为d，

则d＝|AF|＝＋m，

所以

解得或

所以抛物线的方程为y2＝2x或y2＝18x，

当m＜0时，点A在第三象限，抛物线方程可设为y2＝－2px(p＞0)，

设A到准线的距离为d，

则d＝|AF|＝－m，所以

解得或

所以抛物线的方程为y2＝－2x或y2＝－18x.

综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－2x或y2＝－18x或y2＝2x或y2＝18x.

11．已知抛物线x2＝4y，点P是此抛物线上一动点，点A坐标为(12,6)，求点P到点A的距离与到x轴距离之和的最小值．

【解】　将x＝12代入x2＝4y，得y＝36＞6，所以A点在抛物线外部．

抛物线焦点F(0,1)，准线l：y＝－1.过P作PB⊥l于点B，交x轴于点C，则|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PB|－1|＝|PA|＋|PF|－1，由图可知，当A、P、F三点共线时，|PA|＋|PF|最小．∴|PA|＋|PF|的最小值为|FA|＝13.故|PA|＋|PC|的最小值为12.

备选例题

如图所示，动圆P与定圆C：(x－1)2＋y2＝1外切且与y轴相切，求圆心P的轨迹．

【解】　设P(x，y)，动圆P的半径为r.

∵两圆外切，∴PC＝r＋1.

又圆P与y轴相切，∴r＝|x|(x≠0)，

即＝|x|＋1，

整理得y2＝2(|x|＋x)．

当x＞0时，得y2＝4x；当x＜0时，得y＝0.

∴点P的轨迹方程是y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)，表示一条抛物线(除去顶点)或x轴的负半轴．

备选变式

　已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝2，且点P与圆心A的距离等于点P到直线l的距离，求点P的轨迹方程．

【解】　依题意可知，P到圆心A(－2,0)的距离和到定直线x＝2的距离相等，

∴点P的轨迹为抛物线且p＝4，∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.