2020-2021学年2.4抛物线课堂检测

2.4　抛物线

2.4.1　抛物线及其标准方程

基础过关练

题组一　抛物线的定义

1.若A是定直线l外一定点,则过点A且与直线l相切的圆的圆心轨迹为(　　)

A.直线 B.椭圆 C.线段 D.抛物线

2.动点P(x,y)到点F(3,0)的距离比它到直线x+2=0的距离大1,则动点P的轨迹是(　　)

A.椭圆        B.双曲线

C.双曲线的一支  D.抛物线

题组二　抛物线的标准方程

3.准线与x轴垂直,且经过点(1,-)的抛物线的标准方程是(　　)

A.y2=-2x B.y2=2x

C.x2=2y D.x2=-2y

4.若抛物线y=的焦点坐标为(0,-1),则实数a的值等于(　　)

A.4 B.-4 C.   D.-

5.以坐标轴为对称轴,焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程为(　　)

A.x2=16y或y2=16x  B.y2=16x或x2=12y

C.y2=16x或x2=-12y  D.x2=16y或y2=-12x

6.若抛物线y2=2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6,求点M的横坐标及抛物线方程.

题组三　抛物线中的距离问题

7.若抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到抛物线焦点的距离是(　　)

A.4 B.6 C.8 D.12

8.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为　(　　)

A.    B.1 C.    D.

9.抛物线y=-x2上的动点M到两定点F(0,-1),E(1,-3)的距离之和的最小值为　　　　. 

题组四　抛物线在实际问题中的应用

10.如图是抛物线形拱桥,当水面在AB的位置时,拱顶离水面2米,水面宽4米,若水面从AB位置下降0.42米,则水面的宽度变为(　　)

A.2.2米 B.4.4米 C.2.4米 D.4米

11.(2019湖北十堰高二期末)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似看成抛物线,该桥的高度为h,跨径为a,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为(　　)

A. B. C. D.

12.用于喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处,喷出水流成抛物线形,其最高点B距地面5 m,且与OA所在的直线相距4 m,水流落在以O为圆心,半径为9 m的圆上,则管柱OA的长度是多少?

能力提升练

一、选择题

1.(2019黑龙江牡丹江中学高二月考,★★☆)下列抛物线中,焦点到准线的距离最小的是(　　)

A.y2=2x B.y2=-x 

C.2x2=y D.x2=-4y

2.(★★☆)如果P1,P2,…,Pn是抛物线C:y2=4x上的点,它们的横坐标依次为x1,x2,…,xn,F是抛物线C的焦点,若x1+x2+…+xn=10,则|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=(　　)

A.n+10 B.n+20

C.2n+10 D.2n+20

3.(★★★)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为(　　)

A.y2=4x或y2=8x 

B.y2=2x或y2=8x

C.y2=4x或y2=16x 

D.y2=2x或y2=16x

4.(★★★)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离是8,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上,且|AK|=|AF|,则△AFK的面积为(　　)

A.32 B.16 C.8 D.4

5.(2020陕西商洛高三期末,★★★)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为K,P为抛物线C上一点,且P在第一象限,当取得最小值时,点P的坐标为(　　)

A. 

B.(1,2)

C.(2,2) 

D.(4,4)

二、填空题

6.(2019山东枣庄高三学情测试,★★☆)设抛物线y=-2x2上一点P到x轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是　　　　. 

7.(2019河南安阳高三调研,★★☆)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,若位于x轴上方的动点A在直线l上,线段AF与抛物线C相交于点B,且=|AF|,则抛物线C的标准方程为　　　　　　. 

8.(2018四川成都诊断,★★★)已知抛物线方程为y2=-4x,直线l的方程为2x+y-4=0,在抛物线上有一动点A,点A到y轴的距离为m,到直线l的距离为n,则m+n的最小值为　　　　. 

三、解答题

9.(★★☆)如图所示,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,点A到抛物线准线的距离等于5,过点A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.

(1)求抛物线的方程;

(2)过点M作MN⊥AF,垂足为N,求点N的坐标.

10.(★★☆)某条河上有座抛物线形拱桥,拱桥高5 m,桥洞水面宽为8 m,每年汛期,船工都要考虑拱桥的通行问题.一只宽4 m,高2 m的船露出水面部分的高度为 m,要使该船顺利通过拱桥,水面距离拱顶的高度至少为多少米?

答案全解全析

基础过关练

1.D　因为圆过点A,所以圆心到A的距离为圆的半径,又圆与直线相切,所以圆心到直线的距离也等于圆的半径,且点A是定直线l外一点,故圆心的轨迹为抛物线.故选D.

2.D　依题意可知动点P(x,y)在直线x+2=0的右侧,设P到直线x+2=0的距离为d,则|PF|=d+1,所以动点P到点F(3,0)的距离与它到直线x+3=0的距离相等,其轨迹为抛物线,故选D.

3.B　设抛物线的标准方程为y2=ax(a≠0),则(-)2=a,解得a=2,因此抛物线的标准方程为y2=2x,故选B.

4.B　抛物线y=的标准方程为x2=ay,焦点坐标为.由题意可知=-1,解得a=-4.

5.C　直线3x-4y-12=0与x轴,y轴的交点分别是(4,0),(0,-3),所以抛物线的焦点为(4,0)或(0,-3),因此,所求抛物线的标准方程为y2=16x或x2=-12y.

6.解析　∵点M到对称轴的距离为6,∴设点M的坐标为(x,6).

又∵点M到准线的距离为10,

∴解得或

故当点M的横坐标为9时,抛物线的方程为y2=4x;

当点M的横坐标为1时,抛物线的方程为y2=36x.

7.B　抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,则点P到准线的距离为6,即点P到抛物线焦点的距离是6.

8.C　过A,B分别作y轴的垂线,根据抛物线的定义与梯形中位线定理,得线段AB的中点到y轴的距离为(|AF|+|BF|)-=-=.

9.答案　4

解析　抛物线的标准方程为x2=-4y,其焦点坐标为(0,-1),准线方程为y=1,则MF的长度等于点M到准线y=1的距离,易知点E在抛物线内部,从而点M到定点F,E的距离之和的最小值为点E(1,-3)到直线y=1的距离,故最小值为4.

10.B　以抛物线的顶点为原点,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(-2,-2).设抛物线的方程为x2=my(m<0),将点A的坐标代入,得m=-2,∴x2=-2y,当y=-2.42时,x=±2.2,故水面从AB位置下降0.42米,水面宽度变为4.4米.

11.A　如图,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系xOy.

设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),由抛物线经过点,得=2hp,解得p=,故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p=.

12.解析　如图所示,建立平面直角坐标系,设水流所形成的抛物线的方程为x2=-2py(p>0),

因为点C(5,-5)在抛物线上,

所以25=-2p·(-5),因此p=,

所以抛物线的方程为x2=-5y.

设A(-4,y0),因为点A在抛物线上,

所以16=-5y0,即y0=-,

所以OA的长度为5-=1.8(m).

能力提升练

一、选择题

1.C　对于A,抛物线的方程为y2=2x,其中p=1,故其焦点到准线的距离为1;

对于B,抛物线的方程为y2=-x,其中p=,故其焦点到准线的距离为;

对于C,抛物线的方程为x2=y,其中p=,故其焦点到准线的距离为;

对于D,抛物线的方程为x2=-4y,其中p=2,故其焦点到准线的距离为2.

故选C.

2.A　由抛物线的方程y2=4x可知其焦点为(1,0),准线方程为x=-1,由抛物线的定义可知|P1F|=x1+1,|P2F|=x2+1,……,|PnF|=xn+1,所以|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=x1+1+x2+1+…+xn+1=(x1+x2+…+xn)+n=n+10.故选A.

3.C　因为抛物线C的方程为y2=2px(p>0),所以焦点F,设M(x,y),由抛物线的定义,知|MF|=x+=5,解得x=5-.因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式,可得圆心的横坐标为,圆的半径也为,故该圆与y轴相切于点(0,2),故圆心的纵坐标为2,则点M的纵坐标为4,即M,代入抛物线方程,得p2-10p+16=0,解得p=2或p=8.所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.

4.A　由题可知p=8,故抛物线方程为y2=16x.如图,作AD垂直于准线,垂足为D.因为|AK|=|AF|=|AD|,所以|AD|=|DK|,则可设A(a,a+4),代入y2=16x,解得a=4,则A(4,8),所以△AFK的面积S=×8×8=32,故选A.

5.B　如图所示:

过点P作PE垂直于l,垂足为E,由抛物线的定义可得|PE|=|PF|.

抛物线C的准线l:x=-1,则点K(-1,0),

由题意可知,PE∥x轴,则∠KPE=∠PKF,==cos ∠KPE=cos ∠PKF,

由图形可知,当直线PK与抛物线相切时,∠PKF最大,则最小.

设直线PK的方程为x=my-1(m>0),将该直线方程与抛物线C的方程联立

消去x,得y2-4my+4=0,令Δ=16m2-16=0,解得m=1(负值舍去),则y2-4y+4=0,解得y=2,

此时,x==1,因此点P的坐标为(1,2).

二、填空题

6.答案　

解析　易知抛物线的标准方程为x2=-,其准线方程为y=.

由抛物线的定义,得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线y=的距离d,

因为点P到x轴的距离是4,

所以d=4+=.

7.答案　y2=2x

解析　如图,设l与x轴交于点H,过点B作BM⊥l于点M,则=.易知△ABM∽△AFH,∴=,∴=,又=|AF|,∴|FH|=1,即p=1,∴抛物线C的标准方程为y2=2x.

8.答案　-1

解析　易知抛物线的焦点F(-1,0),准线方程为x=1.如图,过A作AH⊥l,AN垂直于抛物线的准线,垂足分别为H,N,

则|AH|+|AN|=m+n+1,

连接AF,则|AF|+|AH|=m+n+1,

由平面几何知识,知当A,F,H三点共线时,

|AF|+|AH|=m+n+1取得最小值,最小值为F到直线l的距离,

即=,

所以m+n的最小值为-1.

三、解答题

9.解析　(1)抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,

易知AB=4,所以4+=5,p=2,

所以抛物线的方程为y2=4x.

(2)由题意得A(4,4),B(0,4),M(0,2),F(1,0),

所以kAF=,则直线AF的方程为y=(x-1).

因为MN⊥AF,所以kMN=-,

则直线MN的方程为y=-x+2.

联立方程,得解得

即点N的坐标为.

10.解析　以抛物线形拱桥的拱顶为原点,建立如图所示的平面直角坐标系.设当水面与拱桥的拱顶相距h m时,船恰好能通过.

设抛物线方程为x2=-2py(p>0),

因为点A(4,-5)在抛物线上,

所以42=-2p×(-5),得p=,

故x2=-y.

当船恰好能通过时,设船宽等于|BB'|,则点B的横坐标为2,代入x2=-y,得点B的纵坐标y'=-,

所以h=|y'|+=+=2,

因此,水面距离拱顶至少2 m时船才能顺利通过此桥.