数学选修2-12.4抛物线当堂检测题

抛物线的简单几何性质

基础巩固

一、选择题

1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于x轴的弦为AB，O为抛物线顶点，则∠AOB的大小(　　)

A．小于90°  B．等于90°

C．大于90°  D．不能确定

[答案]　C

[解析]　过抛物线焦点且垂直于x轴的弦AB为通径，其长度为2p，又顶点到通径的距离为，由三角函数知识可知，∠AOB大于90°.

2．顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点(－1，2)，则它的方程是(　　)

A．y＝2x2或y2＝－4x B．y2＝－4x或x2＝2y

C．x2＝－y D．y2＝－4x

[答案]　A

[解析]　∵抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴，

∴抛物线的方程为标准形式．

当抛物线的焦点在x轴上时，

∵抛物线过点(－1,2)，

∴设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)．

∴22＝－2p(－1)．∴p＝2.

∴抛物线的方程为y2＝－4x.

当抛物线的焦点在y轴上时，

∵抛物线过点(－1,2)，

∴设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)．

∴(－1)2＝2p·2，∴p＝.

∴抛物线的方程为x2＝y.

[点评]　将点(－1,2)的坐标代入检验，易知选A．

3．已知P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为(　　)

A．2  B．4

C．8  D．16

[答案]　B

[解析]　根据题意可知，P点到准线的距离为8＋p＝10，可得p＝2，所以焦点到准线的距离为2p＝4，选B．

4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(　　)

A．  B．1

C．2  D．4

[答案]　C

[解析]　本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系．

抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－，由题意知，3＋＝4，p＝2.

5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)

A．  B．1

C．  D．

[答案]　C

[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由|AF|＋|BF|＝3得，x1＋x2＋＝3，

∴x1＋x2＝，

∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.

6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝(　　)

A．1  B．

C．2  D．3

[答案]　C

[解析]　本题考查了双曲线、抛物线的几何性质与三角形面积．

∵＝2，∴b2＝3a2，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，不妨设A(－，)，B(－，－)，则AB＝p，又三角形的高为，则S△AOB＝××p＝，即p2＝4，又p>0，∴p＝2.

二、填空题

7．若点(a，b)是抛物线x2＝2py(p>0)上的一点，则下列点中一定在抛物线上的是________.

①(a，－b)；②(－a，b)，③(－a，－b)

[答案]　②

[解析]　抛物线x2＝2py关于y轴对称，

∴点(a，b)关于y轴的对称点(－a，b)一定在抛物线上．

8．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________.

[答案]　(－9，－6)或(－9,6)

[解析]　由抛物线方程y2＝－2px(p>0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝，设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.

将M(－9，y)代入抛物线方程，得y＝±6，∴M(－9,6)或M(－9，－6)．

9．(2015·长春市调研)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，设|FA|>|FB|，则＝________.

[答案]　3＋2

[解析]　抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，过F斜率为1的直线方程为y＝x－1，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得x2－6x＋1＝0，求得x1＝3＋2，x2＝3－2，

故由抛物线的定义可得＝＝3＋2.

三、解答题

10．一抛物线拱桥跨度为52m，拱顶离水面6.5m，一竹排上载有一宽4m，高6m的大木箱，问竹排能否安全通过？

[解析]　如图所示建立平面直角坐标系，

设抛物线方程为x2＝－2py，则有A(26，－6.5)，

设B(2，y)，由262＝－2p×(－6.5)得p＝52，

∴抛物线方程为x2＝－104y.

当x＝2时，4＝－104y，y＝－，

∵6.5－>6，∴能安全通过．

一、选择题

1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝(　　)

A．2或－2  B．－1

C．2  D．3

[答案]　C

[解析]　由，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，

则＝4，即k＝2.

2．双曲线－＝1(mn≠0)离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为(　　)

A．  B．

C．  D．

[答案]　A

[解析]　由条件知，

解得 .∴mn＝，故选A．

3．等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是(　　)

A．8p2  B．4p2

C．2p2  D．p2

[答案]　B

[解析]　设点A在x轴的上方，则由抛物线的对称性及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x.

由得A(2p,2p)．

则B(2p，－2p)，所以AB＝4p.

所以S△ABO＝·4p·2p＝4p2.

4.过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则·的值是(　　)

A．12  B．－12

C．3  D．－3

[答案]　D

[解析]　设A(，y1)，B(，y2)，则＝(，y1)，＝(，y2)，则·＝(，y1)·(，y2)＝＋y1y2，

又∵AB过焦点，则有y1y2＝－p2＝－4，

∴·＝＋y1y2＝－4＝－3，故选D．

二、填空题

5．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A、B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________.

[答案]　a≥1

[解析]　本题考查了直角三角形的性质．抛物线的范围以及恒成立问题，不妨设A(，a)，B(－，a)，C(x0，x)，则＝(－－x0，a－x)，

＝(－x0，a－x)，∵∠ACB＝90°.

∴·＝(－x0，a－x)·(－－x0，a－x)＝0.

∴x－a＋(a－x)2＝0，则x－a≠0.

∴(a－x)(a－x－1)＝0，∴a－x－1＝0.

∴x＝a－1，又x≥0.∴a≥1.

6．P为抛物线y＝x2上一动点，直线l：y＝x－1，则点P到直线l距离的最小值为________.

[答案]　

[解析]　设P(x0，x)为抛物线上的点，则P到直线y＝x－1的距离d＝＝＝.∴当x0＝时，dmin＝.

三、解答题

7．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，求|BF|的长．

[解析]　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，

∴x1＝2，∴A点坐标为(2,2)，

则直线AB的斜率为k＝＝2.

∴直线AB的方程为y＝2(x－1)．

由

消去y得，2x2－5x＋2＝0，

解得x1＝2，x2＝.

∴|BF|＝x2＋1＝.

8．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．

(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；

(2)求线段AB长度的最小值．

[解析]　由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，从而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x，解得y1＝±2.

∴点A的坐标为(3,2)或(3，－2)．

(2)当直线l的斜率存在时，

设直线l的方程为y＝k(x－1)．

与抛物线方程联立，得

消去y整理得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.

∵直线与抛物线相交于A、B两点，

则k≠0，并设其两根为x1、x2，

∴x1＋x2＝2＋.

由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4.

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，

∴|AB|≥4，即线段AB长度的最小值为4.