高中数学2.2椭圆综合训练题

这是一份高中数学2.2椭圆综合训练题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知椭圆eq \f(x2,10－m)＋eq \f(y2,m－2)＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于( )
A．4 B．5
C．7 D．8
[答案] D
[解析] 由题意知，c＝2，a2＝m－2，b2＝10－m，
∴m－2－10＋m＝4，∴m＝8.
2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(\r(2),2)
[答案] A
[解析] 由题意，得a＝2c，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4eq \r(5)的椭圆方程是( )
A．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1 B．eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,25)＝1
C．eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,45)＝1 D．eq \f(x2,80)＋eq \f(y2,85)＝1
[答案] B
[解析] 椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，eq \r(5))，(0，－eq \r(5))，
∵b＝2eq \r(5)，∴a2＝25，故选B．
4.如图，经过点P1，P2，P3且有相同对称轴的三个椭圆的离心率依次为e1，e2，e3，则( )
A．e3C．e3[答案] A
[解析] 椭圆越扁，离心率越大，比较过点P1，P2的椭圆的离心率，得e15．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C．2 D．4
[答案] A
[解析] 由题意eq \f(y2,\f(1,m))＋x2＝1，且eq \r(\f(1,m))＝2，
∴m＝eq \f(1,4).故选A．
6．已知焦点在y轴上的椭圆eq \f(x2,m)＋y2＝1，其离心率为eq \f(\r(3),2)，则实数m的值是( )
A．4 B．eq \f(1,4)
C．4或eq \f(1,4) D．eq \f(1,2)
[答案] B
[解析] 由题意，得a2＝1，b2＝m，
∴c2＝a2－b2＝1－m，
∴离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－m)＝eq \f(\r(3),2)，
∴m＝eq \f(1,4).
二、填空题
7．已知椭圆的中心在原点，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆标准方程为________.
[答案] eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,72)＝1或eq \f(x2,72)＋eq \f(y2,81)＝1
[解析] ∵椭圆长轴长为18，∴a＝9.
又两个焦点将长轴三等分，
∴a－c＝2c，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝72.
∵焦点位置不确定，
∴方程为eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,72)＝1或eq \f(x2,72)＋eq \f(y2,81)＝1.
8．椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,m)＝1的离心率为eq \f(1,2)，则m＝________.
[答案] 3或eq \f(16,3)
[解析] 当焦点在x轴上时，e＝eq \f(\r(4－m),2)＝eq \f(1,2)，
∴m＝3.
当焦点在y轴上时，e＝eq \f(\r(m－4),\r(m))＝eq \f(1,2)，∴m＝eq \f(16,3).
9．已知B1、B2为椭圆短轴的两个端点，F1、F2是椭圆的两个焦点，若四边形B1F1B2F2为正方形，则椭圆的离心率为________.
[答案] eq \f(\r(2),2)
[解析] 如图，由已知得b＝c＝eq \f(\r(2),2)a，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
三、解答题
10．如图所示，从椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P作x轴的垂线，恰好通过椭圆的一个焦点F1，此时椭圆与x轴交于点A，与y轴交于点B，所确定的直线AB与OP平行，求离心率e的值．
[解析] 设P点的坐标为(x，y)(y>0)，
由题意可得x＝－c，代入椭圆的方程可得y＝eq \f(b2,a)，
∴P点的坐标为(－c，eq \f(b2,a))，∴kOP＝－eq \f(b2,ac).
又∵A(a,0)，B(0，b)，∴kAB＝－eq \f(b,a).
∵OP∥AB，∴kAB＝kOP，
即－eq \f(b,a)＝－eq \f(b2,ac)，∴b＝c，
∴a＝eq \r(b2＋c2)＝eq \r(c2＋c2)＝eq \r(2)c，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
能力提升
一、选择题
1．(2015·广东执信中学期中)已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为eq \f(1,3)，长轴长为12，则椭圆方程为( )
A．eq \f(x2,144)＋eq \f(y2,128)＝1或eq \f(x2,128)＋eq \f(y2,144)＝1B．eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,4)＝1
C．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,32)＝1或eq \f(x2,32)＋eq \f(y2,36)＝1D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,6)＝1或eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,4)＝1
[答案] C
[解析] 由条件知a＝6，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,3)，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选C．
2．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为eq \f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4eq \r(3)，则C的方程为( )
A．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 B．eq \f(x2,3)＋y2＝1
C．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1 D．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1
[答案] C
[解析] 根据条件可知eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)，且4a＝4eq \r(3)，
∴a＝eq \r(3)，c＝1，b2＝2，椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
3．若直线y＝x＋eq \r(6)与椭圆x2＋eq \f(y2,m2)＝1(m>0且m≠1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为( )
A．1 B．eq \r(5)
C．2 D．2eq \r(5)
[答案] D
[解析] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋\r(6),x2＋\f(y2,m2)＝1))，得
(1＋m2)x2＋2eq \r(6)x＋6－m2＝0，
由已知Δ＝24－4(1＋m2)(6－m2)＝0，解得m2＝5，
∴椭圆的长轴长为2eq \r(5).
4.(2015·抚顺二中期中)在△ABC中，AB＝BC，csB＝－eq \f(7,18).若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝( )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(3,7)
C．eq \f(3,8) D．eq \f(3,18)
[答案] C
[解析] 设|AB|＝x>0，则|BC|＝x，
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·csB
＝x2＋x2－2x2·(－eq \f(7,18))＝eq \f(25,9)x2，∴|AC|＝eq \f(5,3)x，
由条件知，|CA|＋|CB|＝2a，AB＝2c，
∴eq \f(5,3)x＋x＝2a，x＝2c，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(x,\f(8,3)x)＝eq \f(3,8).
二、填空题
5．若椭圆的一个焦点将其长轴分成eq \r(3)eq \r(2)两段，则椭圆的离心率为________.
[答案] 5－2eq \r(6)
[解析] 椭圆的一个焦点将其长轴分成a＋c与a－c两段，
∴eq \f(a＋c,a－c)＝eq \f(\r(3),\r(2))，
∴(eq \r(3)－eq \r(2))a＝(eq \r(3)＋eq \r(2))c，
∴e＝eq \f(c,a)＝5－2eq \r(6).
6．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x轴上，且a－c＝eq \r(3)，则椭圆的方程是________.
[答案] eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1
[解析] 如图所示，
cs∠OF2A＝cs60°
＝eq \f(|OF2|,|AF2|)，
即eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).又a－c＝eq \r(3)，
∴a＝2eq \r(3)，c＝eq \r(3)，
∴b2＝(2eq \r(3))2－(eq \r(3))2＝9.
∴椭圆的方程是eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1.
三、解答题
7．已知F1、F2为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率e＝eq \f(\r(3),2)，求椭圆的方程．
[解析] 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＝16,\f(c,a)＝\f(\r(3),2)))，
∴a＝4，c＝2eq \r(3).
∴b2＝a2－c2＝4，所求椭圆方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1.
8．如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的eq \f(2,3)，求椭圆的离心率．
[解析] 解法一：设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a、b、c，则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，eq \f(2,3)b)，则△MF1F2为直角三角形.
在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋eq \f(4,9)b2＝|MF1|2.
而|MF1|＋|MF2|＝eq \r(4c2＋\f(4,9)b2)＋eq \f(2,3)b＝2a，
整理得3c2＝3a2－2ab.
又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(4,9).
∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(5,9)，∴e＝eq \f(\r(5),3).
解法二：设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
则M(c，eq \f(2,3)b)．
代入椭圆方程，得eq \f(c2,a2)＋eq \f(4b2,9b2)＝1，所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(5,9)，
所以eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3)，即e＝eq \f(\r(5),3).