高中数学人教版新课标A选修2-12.2椭圆精练

椭圆及其标准方程

基础巩固

一、选择题

1．椭圆2x2＋3y2＝12的两焦点之间的距离是(　　)

A．2  B．

C．  D．2

[答案]　D

[解析]　椭圆方程2x2＋3y2＝12可化为：＋＝1，

a2＝6，b2＝4，c2＝6－4＝2，∴2c＝2.

2．(2015·广东文)已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(　　)

A．2  B．3

C．4  D．9

[答案]　B

[解析]　∵椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，∴c＝4＝，∴m2＝9，∴m＝3，选B．

3．(2015·海南中学期中考试)已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，过点F2的直线交椭圆于点A，B，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|＝(　　)

A．11  B．10

C．9  D．16

[答案]　A

[解析]　由方程知a2＝16，∴2a＝8，由椭圆定义知，|AF1|＋|AF2|＝8，|BF1|＋|BF2|＝8，∴|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，

∴|AF1|＋|BF1|＝11，故选A．

4．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是(　　)

A．椭圆  B．线段

C．不存在  D．椭圆或线段

[答案]　D

[解析]　∵a＋≥6，∴|PF1|＋|PF2|≥6＝|F1F2|，

∴选D．

5．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1、F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．钝角三角形  D．等腰直角三角形

[答案]　B

[解析]　由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.

又|PF1|－|PF2|＝2，

∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.

又|F1F2|＝2c＝2＝4，

∴△PF1F2为直角三角形．

6．已知椭圆的两个焦点分别是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是(　　)

A．圆  B．椭圆

C．射线  D．直线

[答案]　A

[解析]　∵|PQ|＝|PF2|且|PF1|＋|PF2|＝2a，

∴|PQ|＋|PF1|＝2a，

又∵F1、P、Q三点共线，

∴|PF1|＋|PQ|＝|F1Q|，∴|F1Q|＝2a.

即Q在以F1为圆心，以2a为半径的圆上．

二、填空题

7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__________ ________.

[答案]　＋＝1

[解析]　由题意可得，∴，

故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.

8．过点(－3,2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆方程是__________ ________.

[答案]　＋＝1

[解析]　因为焦点坐标为(±，0)，设方程为＋＝1，将(－3,2)代入方程可得＋＝1，解得a2＝15，故方程为＋＝1.

9．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__________ ________.

[答案]　8<m<25

[解析]　由题意得，解得8<m<25.

三、解答题

10．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程．

[解析]　当焦点在x轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为＋y2＝1.

当焦点在y轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．

由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为＋＝1.

故椭圆的标准方程为＋＝1或＋y2＝1.

能力提升

一、选择题

1．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是(　　)

A．5  B．3或8

C．3或5  D．20

[答案]　C

[解析]　2c＝2，∴c＝1，故有m－4＝1或4－m＝1，

∴m＝5或m＝3，故答案为C．

2．设椭圆的标准方程为＋＝1，若其焦点在x轴上，则k的取值范围是(　　)

A．k>3  B．3<k<5

C．4<k<5  D．3<k<4

[答案]　C

[解析]　由题意得k－3>5－k>0，

∴4<k<5.

3．若曲线ax2＋by2＝1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a、b满足(　　)

A．a2>b2  B．<

C．0<a<b  D．0<b<a

[答案]　C

[解析]　将方程变为标准方程为＋＝1，由已知得，>>0，则0<a<b，选C．

4．(2015·成都六校协作体期中考试)如果椭圆的两个焦点为F1(－1,0)和F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，那么椭圆的方程是(　　)

A．＋＝1  B．＋＝1

C．＋＝1  D．＋＝1

[答案]　C

[解析]　∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，

∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，即a＝2，c＝1，

∴b2＝a2－c2＝3，∵焦点在x轴上，故选C．

二、填空题

5．若椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则实数m的值为__________ ________.

[答案]　6

[解析]　由题意知，c＝1，

∴m－5＝1，∴m＝6.

6．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__________ ______；∠F1PF2的大小为__________ ________.

[答案]　2　120°

[解析]　由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，

∴|PF2|＝2，

cos∠F1PF2＝

＝＝－.

∴∠F1PF2＝120°.

三、解答题

7．根据下列条件，求椭圆的标准方程．

(1)经过两点A(0,2)，B(，)；

(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．

[解析]　(1)设所求椭圆的方程为＋＝1(m>0，n>0，且m≠n)，

∵椭圆过A(0,2)，B.

∴解得

即所求椭圆方程为x2＋＝1.

(2)∵椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，±)，则可设所求椭圆方程为＋＝1(m>0)，

又椭圆经过点(2，－3)，则有＋＝1，

解得m＝10或m＝－2(舍去)，

即所求椭圆的方程为＋＝1.

8. 已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任一点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．

[解析]　设|PF1|＝m，|PF2|＝n.

根据椭圆定义有m＋n＝20，

又c＝＝6，∴在△F1PF2中，

由余弦定理得m2＋n2－2mncos＝122，

∴m2＋n2－mn＝144，∴(m＋n)2－3mn＝144，

∴mn＝，

∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2

＝××＝.