人教版新课标A选修2-12.4抛物线课时作业

抛物线的简单几何性质(二)

一、基础过关

1．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为                                                                                                  (　　)

A．x＝1    B．x＝－1

C．x＝2    D．x＝－2

2．已知抛物线y2＝2px (p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且|P1F|，|P2F|，|P3F|成等差数列，则有                                                                                                                              (　　)

A．x1＋x2＝x3   B．y1＋y2＝y3

C．x1＋x3＝2x2   D．y1＋y3＝2y2

3．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px (p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则|OA|为                                                                                                                                                                        (　　)

A.p  B.p  C.p  D.p

4．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是

(　　)

A．x2＝2y－1    B．x2＝2y－

C．x2＝y－     D．x2＝2y－2

5．抛物线x2＝ay (a≠0)的焦点坐标为__________．

6．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．

二、能力提升

7．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆M：(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值是(　　)

A.－1    B.－1

C．2     D.－1

8．过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F作两弦AB和CD，其所在直线的倾斜角分别为与，则|AB|与|CD|的大小关系是                                                                                                                                                                                      (　　)

A．|AB|>|CD|   B．|AB|＝|CD|

C．|AB|<|CD|   D．|AB|≠|CD|

9．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比＝________.

10．已知过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．

11．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．

(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；

(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

12．抛物线y2＝2px (p>0)的焦点为F，准线与x轴交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A、B两点．

(1)直线l的斜率为，求证：·＝0；

(2)设直线FA、FB的斜率为kFA、kFB，探究kFB与kFA之间的关系并说明理由．

三、探究与拓展

13．已知过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称AB为抛物线的焦点弦．

求证：(1)y1y2＝－p2；x1x2＝；

(2)＋＝；

(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

答案

1．B　2．C　3．B　4．A　

5.

6.

7．D　8．A　

10．解　如图所示，抛物线y2＝2px (p>0)的准线为x＝－，A(x1，y1)，

B(x2，y2)，设A、B到准线的距离分别为dA，dB，由抛物线的定义知，

|AF|＝dA＝x1＋，

|BF|＝dB＝x2＋，

于是|AB|＝x1＋x2＋p＝p，x1＋x2＝p.

当x1＝x2时，|AB|＝2p<p，直线AB与Ox不垂直．

设直线AB的方程为y＝k.

由得k2x2－p(k2＋2)x＋k2p2＝0.

x1＋x2＝＝p，解得k＝±2.

∴直线AB的方程为y＝2或y＝－2.

11．解　(1)由题意知，抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4＝0.

设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，

·＝x1x2＋y1y2

＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2

＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2

＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.

(2)设l：x＝ty＋b，代入抛物线方程y2＝4x，消去x，得

y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，

则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.

∵·＝x1x2＋y1y2

＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2

＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2

＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，

令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，

∴b＝2，∴直线l过定点(2,0)．

12．(1)证明　∵Q，

∴直线l的方程为y＝，

由.

消去x得y2－2py＋p2＝0.

解得A，

B.

而F，故＝((1＋)p，(1＋)p)，

＝((1－)p，(－1)p)，

∴·＝－p2＋p2＝0.

(2)解　kFA＝－kFB或kFA＋kFB＝0.

因直线l与抛物线交于A、B两点，

故直线l方程：y＝k (k≠0)．

由，消去x得ky2－2py＋kp2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝p2.

kFA＝，kFB＝，

∴kFA＝＝＝＝－kFB.

13．证明　如图所示．

(1)抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，准线方程：x＝－.

设直线AB的方程为x＝ky＋，把它代入y2＝2px，

化简，得y2－2pky－p2＝0.∴y1y2＝－p2，

∴x1x2＝·＝＝＝.

(2)根据抛物线定义知

|FA|＝|AA1|＝x1＋，|FB|＝|BB1|＝x2＋，

∴＋＝＋

＝＋

＝

＝

＝＝.

(3)设AB中点为C(x0，y0)，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，C1.

则|CC1|＝·(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)

＝·|AB|.

∴以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切．