人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.4 圆与圆的位置关系学案

曲线与方程

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一曲线的方程与方程的曲线

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线与方程之间具有如下关系：

（1）曲线上的① 点的坐标都是方程的解；

（2）以方程的解为坐标的点都在曲线上，则称曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程.

要点二动点的轨迹方程

1.轨迹方程

就像直线可以看成动点做② 直线运动的轨迹，圆可以看成动点做③ 圆周运动的轨迹一样，曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程.

2.求动点轨迹方程的一般步骤

（1）设动点的坐标为（如果没有平面直角坐标系，需建立）；

（2）写出要满足的几何条件，并将该几何条件用④ 的坐标表示出来；

（3）化简并检验所得方程是不是的轨迹方程.

自主思考

1.如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”会出现什么情况？你能举例说明吗？

答案：提示有可能曲线上的点的坐标不一定满足方程，此时方程不是曲线的方程.

2.求动点的轨迹方程与求其轨迹有何区别？

答案：提示求动点的轨迹方程得出方程即可，而求动点的轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形.

3.求轨迹方程时，根据一个已知的平面图形建立的坐标系是唯一的吗？

答案：提示不是唯一的，一般以得到的曲线方程最简单为标准.

名师点睛

对曲线的方程与方程的曲线的定义的四点说明：

①定义中的条件（1）说明曲线上没有点的坐标不是方程的解，即曲线上每个点的坐标都符合这个条件．

②定义中的条件（2）说明符合条件的所有解构成的点都应在曲线上．

③定义的实质是平面曲线上的点集和方程的解集之间是一一对应的关系，因此平面曲线可以理解为平面内符合某种条件的点的集合．

④从集合角度看，若设曲线上的点的坐标组成集合，以方程的实数解为坐标的点组成集合，则且，所以．

互动探究·关键能力

探究点一曲线的方程与方程的曲线的概念的理解及应用

精讲精练

例（1）方程所表示的曲线的形状是(     )

A.B.C.D.

（2）“点在曲线上”是“点的坐标满足方程 ”的(     )

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案：（1）（2）

解析：（1）因为方程，所以可得或，即或，又且，所以曲线为直线与圆在直线的右边的部分构成，故选D.

（2），或，故点在曲线上，但不一定在曲线上，点的坐标不一定满足方程；反过来，点的坐标满足方程，则点一定在曲线上，故也一定在曲线上， “点在曲线上”是“点的坐标满足方程 ”的必要不充分条件，故选B.

解题感悟

曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．

迁移应用

1.（多选）命题“曲线C上的点的坐标都是方程的解”是真命题，则下列命题中不正确的是(      )

A.方程的曲线是

B.方程的曲线不一定是曲线

C.是曲线的方程

D.以方程的解为坐标的点都在曲线上

答案： ; ;

解析：曲线上的点的坐标都是方程的解，但以方程的解为坐标的点不一定在曲线C上，故A，，D都不正确，B正确．

2.若曲线过点，求的取值范围.

答案：曲线过点，，

.，的取值范围是 .

探究点二曲线的交点

精讲精练

例已知曲线，，判断两曲线有无交点．若有交点，求出交点坐标；若无交点，请说明理由．

答案：建立方程组由①②消去，得，③

，因此方程③无实数解，从而方程组无实数解，因此曲线与曲线无交点．

解题感悟

结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线的交点坐标的问题转化为解方程组的问题，把讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.如果只涉及曲线的一部分，那么常用到数形结合的方法．

迁移应用

1.（2021山东日照高二期中）在平面直角坐标系中，若曲线与直线有且只有一个公共点，则实数的值为 .

答案： 2

解析：曲线为以原点为圆心，2为半径的半圆轴及轴上方），

若曲线与直线有且只有一个公共点，如图，则 .

探究点三求动点的轨迹方程

精讲精练

类型1 定义法求轨迹方程

例1  已知圆，过原点作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.

答案：如图，设为过点的一条弦，为其中点，连接，则 .

设为的中点，则的坐标为，连接，

，

，

∴动点在以点为圆心，为直径的圆上，

故所求的轨迹方程为 .

类型2 直接法求轨迹方程

例2 若动点到直线的距离是它到点的距离的2倍，求动点的轨迹方程.

答案：设动点P的坐标为，则动点到直线的距离，

到点的距离，由题意知，，即，

化简得 .可以检验，上式就是动点的轨迹方程.

类型3 代入法（相关点法）求轨迹方程

例3  已知动点在曲线上移动，和定点连线的中点为，求点的轨迹方程，并指出轨迹曲线的形状.

答案：设，，因为为的中点，所以即，

又因为在曲线上，所以，即，可以检验，上式就是点的轨迹方程.因此轨迹曲线是以为圆心，为半径的圆.

解题感悟

求曲线方程的方法：

（1）定义法：若能确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出曲线方程．

（2）直接法：当所求动点满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程．

（3）代入法（相关点法）：当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点满足的条件或轨迹方程中，整理即得所求动点的轨迹方程．

迁移应用

1.（2021上海浦东高二期末）已知定点，和曲线上的动点 .

（1）求线段的垂直平分线的方程；

（2）若点是的重心，求动点的轨迹方程.

答案：（1）的中点的坐标为(0,0)，且、在轴上关于原点对称，所以线段的垂直平分线即y轴，故方程为 .

（2）设，，则，由重心坐标公式得，所以，代入中得，即，

可以检验，上式就是动点的轨迹方程.

评价检测·素养提升

课堂检测

1.（2020山东济宁曲阜一中高二月考）下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是(      )

A. B. C. D.

答案：

2.曲线与的交点是(     )

A.(1,1)

B.(2,2)

C.平面直角坐标系内的任意一点

D.不存在

答案：

3.已知两点，，点满足，则点的轨迹方程为 .

答案：

4.（2021辽宁沈阳高二月考）若动点在曲线y=上移动，则点与点连线的中点的轨迹方程为．

答案：

素养演练

逻辑推理——曲线的方程与方程的曲线的证明

1.证明：与两条坐标轴的距离的积是常数的点构成的曲线的方程是 .

答案：证明  ①设是曲线上的任意一点.因为点与轴的距离为与轴的距离为，所以，即是方程的解.

②设点是方程的解，则即 .

而，正是点到轴、轴的距离，因此点到这两条坐标轴的距离的积是常数，则点是曲线上的点.由①②可知，与两条坐标轴的距离的积为常数的点构成的曲线的方程是 .

素养探究：解决此类问题要根据“曲线的方程与方程的曲线”的定义中的两个条件逐一证明，即证明曲线上的点和方程的解一一对应，据此才可证明曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程，在此过程中体现了逻辑推理的核心素养.