人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试单元测试当堂检测题

人教版初中数学九年级下册第二十七章《相似》单元测试卷

考试范围：第二十七章；考试时间：120分钟；总分：100分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列四组图形中，一定相似的是

A. 正方形与矩形 B. 正方形与菱形
C. 菱形与菱形 D. 正五边形与正五边形

2. 下列各组图形一定相似的是

A. 两个菱形 B. 两个矩形 C. 两个直角梯形 D. 两个正方形

3. 若，则的值等于   

A.  B.  C.  D.

4. 若，则的值为

A.  B.  C.  D.

5. 如图，，与相交于点，若，，，则的长为

A.
B.
C.
D.

6. 如图，在中，两条中线、相交于点，则：

A.
B.
C.
D.

7. 如图、中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图中，相交于点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是

A. 都相似 B. 都不相似 C. 只有相似 D. 只有相似

8. 如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为，旗杆底部与平面镜的水平距离为若小明的眼睛与地面距离为，则旗杆的高度为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，的顶点坐标分别为、、，将以原点为位似中心扩大后得到若点的坐标为，则点坐标为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，，则五边形的周长与五边形的周长比是

A. ： B. ： C. ： D. ：

11. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的倍，得到线段，则线段的中点的坐标为

A.
B.
C.
D.

12. 如图，点在的边上，以原点为位似中心，在第一象限内将缩小到原来的，得到，点在上的对应点的的坐标为

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴上，在轴上，的坐标是，如果以点为位似中心，将矩形缩小为原来的，那么点的对应点的坐标是______．
     

14. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，将线段缩小得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为______．
    
     

15. 如图，已知，与相交于点若，，则______．
    
     

16. 已知，则______．

三、计算题（本大题共8小题，共52.0分）

17. 已知，且，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
18. 计算：
    已知：：，求的值．
    已知，，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知、、是的三边长，且满足，，试判断的形状．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，中，厘米，厘米，点从出发，以每秒厘米的速度向运动，点从同时出发，以每秒厘米的速度向运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为．
    
    用含的代数式表示：______，______．
    当以，，为顶点的三角形与相似时，求运动时间是多少？
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，是的内接三角形，，弦交于点，连接．
    求证：；
    若，，求的长．
    
     

22. 如图，已知中，，线段的垂直平分线分别交边、、所在的直线于点、、．
    求线段的长；
    求：的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，是的直径，是弧的中点，延长至，使，连接是的中点，的延长线交的延长线于点，交于点，连接．
    求证：是的切线；
    若，求的长．
    
     

24. 如图，中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．
    若，两点同时出发，几秒后可使的面积为？
    若，两点同时出发，几秒后的长度为．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
 

【解答】

A.正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故选项A不符合题意
B.正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故选项B不符合题意
C.菱形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故选项C不符合题意
D.正五边形与正五边形，对应边成比例，对应角都相等，符合相似的定义，故选项D符合题意．
故选D．

2.【答案】
 

【解析】解：任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
B.任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
C.任意两个直角梯形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；
D.任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意；
故选：．
形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可．
本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，
设，，
，
故选：．
根据比例的性质即可得到结论．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：设，可得：，，
把，代入中，可得：，
故选：．
根据比例的性质解答即可．
此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行线分线段成比例定理．掌握平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
由平行线分线段成比例定理，得到，利用、、的长度，求出的长度，再根据即可解决问题．
【解答】
解：，
；
，，，
，
解得：，
．
故选B．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．因为、是中的两条中线，可知是的中位线，于是，得出∽，再根据相似比即可求出面积比．
【解答】
解：、是中的两条中线，
是的中位线，
于是，
∽，
故选D．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定．注意有两角对应相等的三角形相似与对顶角相等，即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似的定理的应用．
图根据三角形的内角和定理，即可求得的第三角，由有两角对应相等的三角形相似，即可判定中的两个三角形相似；
图根据图形中的已知条件，即可证得，又由对顶角相等，即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似证得相似．
【解答】
解：如图，，
，
，，
，，
∽；

如图，，，，
，
，
∽．
故选A．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题根据题意容易得到∽，再根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】
解：如图，

根据入射角与反射角相等可知，，
故∽，
，即，
解得，
故选C．  

9.【答案】
 

【解析】解：的顶点坐标分别为、、，将以原点为位似中心扩大后得到点的坐标为，
对应点的坐标乘以，故A点坐标为：．
故选：．
直接利用对应点坐标的变化得出横纵坐标的关系进而得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确得出横纵坐标的变化规律是解题关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，，，
五边形的周长与五边形的位似比为：：：，
五边形的周长与五边形的周长比是：：．
故选：．
由以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，，，可得五边形的周长与五边形的位似比为：：：，然后由相似多边形的性质可证得：五边形的周长与五边形的周长比是：：．
此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意相似多边形的周长比等于相似比．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
根据位似变换的性质、结合图形求出点、点的坐标，根据线段中点的性质解答．
【解答】
解：点的坐标为，点的坐标为，
以原点为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的倍，
点的坐标为，点的坐标为，
点是线段的中点，
点的坐标为，即．
故选：．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，进而结合已知得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．
【解答】
解：点在的边上，以原点为位似中心，在第一象限内将缩小到原来的，得到，
点在上的对应点的的坐标为：．
故选：．  

13.【答案】或
 

【解析】解：将矩形缩小为原来的，的坐标是，
点的对应点的坐标是：或．
故答案为：或．
利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标．
此题主要考查了位似变换的性质，得出位似图形对应点坐标性质是解题关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：以原点为位似中心，将线段缩小得到线段，点的坐标为，点的坐标为，
线段缩小得到线段，
点的坐标为，
点的坐标为，即，
故答案为：．
根据题意求出线段与线段的比，根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】
解：，
，即，
解得，，
故答案为．  

16.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
根据比例的性质求出，代入求出即可．
本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．
 

17.【答案】解：设，
则，，，
代入得，，
解得，
所以，，，，
所以，．
 

【解析】设比值为，然后用表示出、、，再代入等式求出的值，从而得到、、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设法”求解更简便．
 

18.【答案】解：：：，
，
解得；
，，
，
，
，
．
 

【解析】根据比例的性质直接计算即可；
根据比例的性质直接计算即可．
本题考查了比例的性质，代数式的求值；熟练掌握比例的性质是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：是直角三角形，理由是：
设，
则，，，
，
，
，
，，，
，
是直角三角形．
 

【解析】本题考查了比例的性质、勾股定理的逆定理，设参数表示三边的长是关键，熟练掌握勾股定理的逆定理．
设，表示、、的长，代入中，计算的值，可得三边的长，根据勾股定理的逆定理可得结论．
 

20.【答案】解：，；
  ，
当时，∽，即，解得；
当时，∽，即，解得．
运动时间为秒或秒．
 

【解析】

解：，，
故答案为：，；

见答案．
【分析】
利用速度公式求解；
由于，利用相似三角形的判定，当时，∽，即；当时，∽，即，然后分别解方程即可．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．  

21.【答案】证明：，
，
又，
；
解：由得：，
又，
∽，
，
．
又，
．
 

【解析】证得，，则结论得证；
证明∽，可得，则可求出答案．
本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握定理的内容是解题的关键．
 

22.【答案】解：作于，如图，
，
，
在中，，
垂直平分，
，
，
∽，
，即，
，；
作交于，如图，
，，
，
，
，
，
．
 

【解析】作于，如图，利用等腰三角形的性质得，再利用勾股定理计算出，然后证明∽，再利用相似比计算和的长；
作交于，如图，利用得到，然后由，根据平行线分线段成比例定理得到：的值．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质．
 

23.【答案】解：证明：连接，如图

是的直径，是弧的中点，
，
为的中位线
是的切线；
是的中点
∽
在中，，
由勾股定理得：
是的直径
的长为．
 

【解析】连接，先由垂径定理可知，再证明为的中位线，从而，由平行线的性质可得，然后由切线的判定定理可得结论；
先由证明∽，利用相似三角形的性质可得的值，则的值可得，再在中，由勾股定理求得的值；然后由直径所对的圆周角为直角可得，最后利用面积法可求得的长．
本题考查了切线的判定定理、相似三角形的判定定理与性质定理、三角形的中位线定理及勾股定理在计算中的应用等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：点的移动速度为，点的移动速度为，所以设，则，
的面积为，即，
解得或，
故秒或秒后的面积为；

的长度为．
即，
解得或舍去 ，
故秒后的长度为．
 

【解析】点的移动速度为，点的移动速度为，所以设，则，根据题目中的要求解的值即可解题．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了三角形面积的计算，考查了一元二次方程的求解，本题中列出关于的方程并求解是解题的关键．