初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试精品练习题

第二十七章 相似 综合检测试卷

(满分：120分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下列命题中，正确的是(　D　)

①任意两个等腰三角形都相似；②任意两个直角三角形都相似；③任意两个等边三角形都相似；④任意两个等腰直角三角形都相似．

A．①③  B．①④  C．②④  D．③④

2．已知＝＝≠0，则的值为(　B　)

A.  B.  C．2  D.

3．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm,6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为(　C　)

A．3 cm  B．4 cm  C．4.5 cm  D．5 cm

4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(　A　)

第4题

5．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是(　A　)

A.＝  B．BC＝AD  C.＝  D．CE＝DF

第5题

6．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F.已知FG＝2，则线段AE的长度为(　D　)

A．6  B．8  C．10  D．12

第6题

7．如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20 cm，到屏幕的距离为60 cm，且幻灯片中的图形的高度为6 cm，则屏幕上图形的高度为(　C　)

A．6 cm  B．12 cm  C．18 cm  D．24 cm

第7题

8．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶9，则S△BDE与S△CDE的比是(　B　)

A．1∶3  B．1∶2  C．1∶4  D．1∶9

第8题

　　9．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有(　C　)

A．1条  B．2条  C．3条  D．4条

第9题

10．如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论错误的是(　C　)

A．△ADC∽△CFB    B．AD＝DF

C.＝    D.＝

第10题

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长比为　1∶2　.

12．在如图所示的相似四边形中，未知边x＝　27　.

第12题

　13．如图，∠B＝∠D，请你添加一个条件，使得△ABC∽△ADE，这个条件可以是　∠C＝∠E(答案不唯一)　.(填写一个即可)

第13题

14．已知△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)，B(3,4)，C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度)，以点B为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2∶1，点C1的坐标是　(1,0)　.

第14题

15．在Rt△ABC内有边长分别为2，x,3的三个正方形如图摆放，则中间的正方形的边长x的值为　5　.

第15题

16．如图，△ABC的面积为1，分别取AC，BC两边的中点A1，B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C，B1C的中点A2，B2，然后接着取A2C，B2C的中点A3，B3，依次取下去，则能直观地推测出＋＋＋…＋≈　1－　.

第16题

三、解答题(共72分)

17．(6分)如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′，点D与点D′分别是对应顶点．已知数据如图所示，求未知边x，y的长度和角α，β的大小．

第17题

解：在四边形ABCD中，∠D＝∠D′＝β＝55°，∠A＝α＝360°－55°－90°－60°＝155°.∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴＝＝，∴x＝6，y＝15.

18．(6分)如图，一个矩形广场的长为100 m，宽为80 m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5 m，如果设两条横向小路的宽都为x m，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？

第18题

解：由题意可知，＝，解得x＝1.2.即当x为1.2 m时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．

19．(6分)在△ABC中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC向点C以4 cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒钟，△BPQ和△BAC相似？

第19题

解：设经t秒钟，△BPQ和△BAC相似．当△BPQ∽△BAC时，＝，即＝，解得t＝2；当△BPQ∽△BCA时，＝，即＝，解得t＝.综上所述，经2或秒钟，△BPQ和△BAC相似．

20．(7分)如图，已知AB＝3AC，BD＝3AE，且BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．

(1)求证：△ABD∽△CAE；

(2)连接BC，如果AC＝BD，AD＝2BD，设BD＝a，求BC的长．

第20题

(1)证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，∴∠ABD＝∠EAC.又∵AB＝3AC，BD＝3AE，∴＝＝3，∴△ABD∽△CAE.　(2)解：∵AB＝3AC，AC＝BD，∴AB＝3BD.又∵AD＝2BD，∴AD2＋BD2＝8BD2＋BD2＝9BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴∠E＝∠ADB＝90°.∵BD＝3AE，且△ABD∽△CAE，∴AE＝BD，EC＝AD＝BD.在Rt△BCE中，由勾股定理，得BC2＝(AB＋AE)2＋EC2＝2＋2＝12BD2＝12a2，∴BC＝2a.

21．(7分)小明想测量在太阳光下一栋楼高，他设计了一种测量方案：如图，小明站到点E处时，刚好使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，小明测得落在墙上的影子高度CD＝1.2 m，CE＝0.8 m，CA＝30 m(点A，E，C在同一直线上)，已知小明的身高EF是1.7 m，请你帮小明求出楼高AB.(结果精确到0.1 m)

第21题

解：过点D作DG⊥AB，分别交AB，EF于点G，H，则EH＝AG＝CD＝1.2 m，DH＝CE＝0.8 m，DG＝CA＝30 m，FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5(m)．∵EF∥AB，∴△DHF∽△DGB，∴＝，即＝，解得BG＝18.75 m，∴AB＝BG＋AG＝18.75＋1.2＝19.95(m)≈20.0(m)．即楼高AB约为20.0 m.

22．(9分)如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC和AB上，且BD＝AD＝AC，AD与CE交于点F，AE2＝EF·EC.求证：

(1)∠ADC＝∠DCE＋∠EAF；

(2)AF·AD＝AB·EF.

第22题

证明：(1)∵BD＝AD＝AC，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠ACD.∵AE2＝EF·EC，∴＝.又∵∠AEF＝∠CEA，∴△EAF∽△ECA，∴∠EAF＝∠ECA，∴∠ADC＝∠ACD＝∠DCE＋∠ECA＝∠DCE＋∠EAF.　(2)由(1)知△EAF∽△ECA，∴∠EFA＝∠BAC.又∵∠EAF＝∠B，∴△FAE∽△ABC，∴＝，∴FA·AC＝EF·AB.又∵AC＝AD，∴AF·AD＝AB·EF.

23．(9分)在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)，A(－2，－1)，B(－1，－3)，△O1A1B1与△OAB是以点P为位似中心的位似图形．

(1)在图中标出位似中心点P的位置，并写出点P及点B的对应点B1的坐标；

(2)以原点O为位似中心，画出△OAB的位似图形△OA2B2，使它与△OAB都在位似中心的同侧且它与△OAB的位似比为2∶1，并写出点B的对应点B2的坐标；

(3)△OAB内部一点M的坐标为(a，b)，写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标．

第23题

解：(1)点P的位置如图所示，点P的坐标为(－5，－1)，点B1的坐标为(3，－5)．　(2)△OA2B2如图所示，点B2的坐标为(－2，－6)．　(3)点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为(2a,2b)．

24．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D.求证：

(1)D是BC的中点；

(2)△BEC∽△ADC；

(3)BC2＝2AB·CE.

第24题

证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD是底边BC上的高．又∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∴D是BC的中点．　(2)∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，∴∠CBE＝∠CAD.又∵∠BCE＝∠ACD，∴△BEC∽△ADC.　(3)由△BEC∽△ADC，知＝，即CD·BC＝AC·CE.又∵D是BC的中点，∴CD＝BC.∵AB＝AC，∴BC·BC＝AB·CE，即BC2＝2AB·CE.

25．(12分)如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF＝∠A.

(1)∠BEF＝　　(用含α的代数式表示)；

(2)当AB＝AD时，猜想线段EB，EF的数量关系，并证明你的猜想；

(3)当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他条件不变(如图2)，求的值(用含m，n的代数式表示)．

第25题

(1)180°－2α　解析：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠A＋∠ABC＝180°，∴∠A＝180°－∠ABC＝180°－2α.又∵∠BEF＝∠A，∴∠BEF＝∠A＝180°－2α.

(2)解：EB＝EF.证明：连接BD交EF于点O，连接BF.∵AD∥BC，∴∠A＝180°－∠ABC＝180°－2α，∠ADC＝180°－∠C＝180°－α.∵AB＝AD，∴∠ADB＝(180°－∠A)＝α，∴∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝180°－2α.由(1)得，∠BEF＝180°－2α＝∠BDC.又∵∠EOB＝∠DOF，∴△EOB∽△DOF，∴＝.∵∠EOD＝∠BOF，∴△EOD∽△BOF，∴∠EFB＝∠EDO＝α，∴∠EBF＝180°－∠BEF－∠EFB＝α＝∠EFB，∴EB＝EF.

(3)解：延长AB至点G，使AG＝AE，连接GE，则∠G＝∠AEG＝＝α.∵AD∥BC，∴∠EDF＝∠C＝α，∠GBC＝∠A，∠DEB＝∠EBC，∴∠EDF＝∠G.∵∠BEF＝∠A，∴∠BEF＝∠GBC，∴∠GBC＋∠EBC＝∠DEB＋∠BEF，即∠EBG＝∠FED，∴△DEF∽△GBE，∴＝.∵AB＝mDE，AD＝nDE，∴AG＝AE＝(n＋1)DE，∴BG＝AG－AB＝(n＋1)DE－mDE＝(n＋1－m)DE，∴＝＝n＋1－m.