数学3.1等比数列第2课时导学案及答案

第2课时　等比数列的性质

1．等比数列的单调性

阅读教材P23思考交流以下P24例3以上部分，完成下列问题．

对于等比数列{an}，通项公式an＝a1·qn－1＝·qn.根据指数函数的单调性，可分析当q＞0时的单调性如下表：

思考：(1)若等比数列{an}中，a1＝，q＝，则数列{an}的单调性如何？

[提示]　递减数列．

(2)等比数列{an}中，若公比q＜0，则数列{an}的单调性如何？

[提示]　数列{an}不具有单调性，是摆动数列．

2．等比中项

阅读教材P25练习2以上最后两段部分，完成下列问题．

(1)前提：在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列．

(2)结论：G叫作a，b的等比中项．

(3)满足关系式：G2＝ab．

思考：(1)任意两个数都有等差中项，任意两个数都有等比中项吗？

[提示]　不是，两个同号的实数必有等比中项，它们互为相反数，两个异号的实数无等比中项．

(2)两个数的等差中项是唯一的，若两个数a，b存在等比中项，唯一吗？

[提示]　不唯一，如2和8的等比中项是4或－4.

1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于(　　)

A．－　　　 B．－2

C．2 D．

D　[由a5＝a2q3，得q3＝＝＝，所以q＝，故选D．]

2．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，则此数列是(　　)

A．公比为q的等比数列

B．公比为q2的等比数列

C．公比为q3的等比数列

D．不一定是等比数列

B　[由于＝×＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋，所以

{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故选B．]

3．等比数列{an}中，若a1＝2，且{an}是递增数列，则数列{an}的公比q的取值范围是________．

(1，＋∞)　[因为a1＝2＞0，要使{an}是递增数列，则需公比q＞1.]

4．4－2与4＋2的等比中项是________．

2或－2　[由题意知4－2与4＋2的等比中项为

±＝±＝±2.]

【例1】　(1)设x,2x＋2,3x＋3成等比数列，则x＝_____________.

(2)设a，b，c是实数，若a，b，c成等比数列，且，，成等差数列，则＋的值为________．

(1)－4　(2)2　[(1)由题意得(2x＋2)2＝x(3x＋3)，

x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4，

当x＝－1时，2x＋2＝0，不符合题意，舍去，

所以x＝－4.

(2)由a，b，c成等比数列，，，成等差数列，得

即＝2，故(a－c)2＝0，

则a＝c，所以＋＝1＋1＝2.]

应用等比中项解题的两个注意点

(1)要证三数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零．

(2)已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与

an＋1的等比中项，即a＝an－1·an＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程．

1．(1)已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值是(　　)

A．1或　　 B．1或－

C．1或 D．1或－

(2)已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.

(1)D　(2)4×n－1　[(1)由题意得，a2b2＝(ab)2＝1，＋＝2，

所以或

因此的值为1或－.

(2)由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，

解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，

所以q＝＝＝，

所以an＝4×n－1.]

【例2】　已知四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积是－80，则这四个数为________．

1，－2,4,10或－，－2，－5，－8　[由题意设此四个数分别为，b，bq，a，则b3＝－8，解得b＝－2，q与a可通过解方程组求出，

即为或

所以此四个数为1，－2,4,10或－，－2，－5，－8.]

灵活设项求解等比数列的技巧

(1)三个数成等比数列设为，a，aq.

(2)四个符号相同的数成等比数列设为，，aq，aq3.

(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.

2．已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－，则这三个数依次为________．

－，1，－　[设这三个数分别为，a，aq，

则解得a＝1，q＝－，

所以这三个数依次为－，1，－.]

[探究问题]

1．在等差数列{an}中，an＝am＋(n－m)d，类比等差数列中通项公式的推广，你能得出等比数列通项公式推广的结论吗？

[提示]　an＝am·qn－m.

2．在等差数列{an}中，由2a2＝a1＋a3,2a3＝a2＋a4，…我们推广得到若2p＝m＋n，则2ap＝am＋an，若{an}是等比数列，我们能得到什么类似的结论．

[提示]　若2p＝m＋n，则a＝am·an.

3．在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，类比这个性质，若{an}是等比数列，有哪个结论成立？

[提示]　若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.

【例3】　(1)在等比数列{an}中，an＞0，若a3·a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝________.

(2)设{an}为公比q＞1的等比数列，若a2 018和a2 019是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2 030＋a2 031＝________.

(3)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q为整数，则an＝________.

思路探究：利用等比数列的性质求解．

(1)128　(2)2·312　(3)－(－2)n－1　[(1)a3a5＝a＝4，又an＞0，所以a4＝2，

a1a2a3a4a5a6a7＝(a1·a7)·(a2·a6)·(a3·a5)·a4

＝a·a·a·a4＝a＝27＝128.

(2)解方程4x2－8x＋3＝0得x1＝，x2＝，因为q＞1，故a2 019＝，a2 018＝，故q＝3，

∴a2 030＋a2 031＝a2 018q12＋a2 019·q12＝(a2 018＋a2 019)q12

＝2·312.

(3)在等比数列{an}中，由a4a7＝－512得a3a8＝－512，

又a3＋a8＝124，解得a3＝－4，a8＝128或a3＝128，a8＝－4，

因为公比q为整数，所以q＝＝－＝－2，

故an＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1.]

1．(变条件)将例3(3)中等比数列满足的条件改为“a4＋a7＝2，a5a6＝－8”，求a1＋a10.

[解]　因为{an}是等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8，

又a4＋a7＝2，解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，

当a4＝4，a7＝－2时，q3＝－，a1＋a10＝＋a7q3＝－7，

当a4＝－2，a7＝4时，q3＝－2，a1＋a10＝＋a7q3＝－7.

故a1＋a10＝－7.

2．(变结论)例3(3)题的条件不变，求log4|a2|＋log4|a3|＋log4|a8|＋log4|a9|.

[解]　因为a4a7＝－512，所以a2a9＝a3a8＝－512，

故log4|a2|＋log4|a3|＋log4|a8|＋log4|a9|

＝log4(|a2a9|·|a3a8|)＝log45122＝log229

＝9.

等比数列的常用性质

性质1：通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N＋)．

性质2：若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.特别的，若k＋φ＝2m(m，k，φ∈N＋)，则ak·aφ＝a.

性质3：若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λbn}，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．

性质4：在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列．

性质5：或⇔{an}递增；

或⇔{an}递减；q＝1⇔{an}为常数列；q＜0⇔{an}为摆动数列．

1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．

2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．

3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)数列－1，－2，－4，－8，－16是递减数列．(　　)

(2)等比数列{an}中，a1＞1，q＜0，则数列|a1|，|a2|，|a3|，…，|an|，…是递增数列．(　　)

(3)若G是a，b的等比中项，则G2＝ab，反之也成立．(　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

[提示]　(1)正确；(2)不正确，如a1＝2，q＝，则|an|＝2×＝是递减数列；(3)不正确，当G是a，b的等比中项时，G2＝ab成立，但当G2＝ab时，G不一定是a，b的等比中项，如G＝a＝b＝0.

2．在等比数列{an}中，a4＝6，则a2a6的值为(　　)

A．4　　　　 B．8

C．36 D．32

C　[因为{an}是等比数列，所以a2a6＝a＝36.]

3．在等比数列{an}中，a888＝3，a891＝81，则公比q＝_____________.

3　[因为a891＝a888q891－888＝a888q3，

所以q3＝＝＝27.

所以q＝3.]

4．在等比数列{an}中，a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．

[解]　在等比数列{an}中，由a3a4a5＝a＝8，得a4＝2，又因为a2a6＝a3a5＝a，

所以a2a3a4a5a6＝a＝25＝32.