章末检测试卷(二)学案

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章末检测试卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0) 的几何意义是(　　)
A．在x＝x0处的函数值
B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值
C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率
D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率
答案　C
2．已知函数f(x)＝ln x，导函数为f′(x)，那么f′(2)等于(　　)
A．－ B．－ C. D．1
答案　C
解析　因为f(x)＝ln x，则f′(x)＝，
所以f′(2)＝.
3．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案　C
解析　∵y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数y＝f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又其图象过原点，故顶点在第三象限．
4．若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(2)x＋m(m∈R)，则(　　)
A．f(0) C．f(0)>f(5) D．以上答案都不对
答案　C
解析　∵f(x)＝x2＋2f′(2)x＋m，
∴f′(x)＝2x＋2f′(2)，
∴f′(2)＝2×2＋2f′(2)，
∴f′(2)＝－4，
∴f(x)＝x2－8x＋m，
图像为开口向上的抛物线，其对称轴方程为x＝4，
∴f(0)>f(5).
5．设曲线y＝在点(1,0)处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，则a等于(　　)
A．－ B. C．－2 D．2
答案　A
解析　由题意得，
y′＝＝(x>0)，
∵曲线在点(1,0)处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，
∴＝－a，解得a＝－.
6．函数f(x)＝的部分图象大致为(　　)


答案　C
解析　f(x)＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(－x)＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；f(1)＝<1，故排除A；∵当x>0时，f′(x)＝，又当x>1时，f′(x)>0，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故排除D.
7．若函数f(x)＝(x>1)有最大值－4，则实数a的值是(　　)
A．1 B．－1 C．4 D．－4
答案　B
解析　由函数f(x)＝(x>1)，得f′(x)＝＝，要使得函数f(x)有最大值－4，则a<0，
则当x∈(1,2)时，f′(x)>0，函数f(x)在(1,2)上单调递增，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，
所以当x＝2时，函数f(x)取得最大值，即f(x)max＝f(2)＝＝－4，解得a＝－1，满足题意．
8．x＝1是函数f(x)＝(x2＋2ax－a2－3a＋3)ex的极值点，则a的值为(　　)
A．－2 B．3
C．－2或3 D．－3或2
答案　B
解析　由f(x)＝(x2＋2ax－a2－3a＋3)ex，
得f′(x)＝(x2＋2ax＋2x－a2－a＋3)ex，
∵x＝1是函数f(x)的极值点，
∴f′(1)＝6－a2＋a＝0，解得a＝3或a＝－2，
当a＝－2时，f′(x)＝(x2－2x＋1)ex≥0恒成立，即f(x)单调递增，无极值点，舍去；
当a＝3时，f′(x)＝(x2＋8x－9)ex＝0时，x＝1或x＝－9，
满足x＝1为函数f(x)的极值点，
∴a＝3.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图象的一部分如图所示，则(　　)

A．函数f(x)有极大值f(3)
B．函数f(x)有极小值f(－)
C．函数f(x)有极大值f()
D．函数f(x)有极小值f(－3)
答案　AD
解析　当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；
当－33时，f′(x)<0.
∴f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(－3)．
10．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的值可以是(　　)
A．－ B．－1 C. D．2
答案　ABC
解析　由题意得f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，则Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.
11．设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)(　　)
A．在区间内无零点
B．在区间内有零点
C．在区间(1，e)内无零点
D．在区间(1，e)内有零点
答案　AD
解析　由题意得f′(x)＝(x>0)，
令f′(x)>0，得x>3；
令f′(x)<0，得0 令f′(x)＝0，得x＝3，
故函数f(x)在区间(0,3)上单调递减，
在区间(3，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的极小值为f(3)＝1－ln 3<0，
又f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，f ＝＋1>0.
所以f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．
12．已知f(x)为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f(x)>xf′(x)恒成立，可以使不等式x2f －f(x)>0的x的取值范围为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
答案　BCD
解析　令F(x)＝，
则F′(x)＝，
因为f(x)>xf′(x)，
所以F′(x)<0，F(x)为定义域上的减函数，
由不等式x2f －f(x)>0得>，
所以1.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数g(x)＝x3－6x2＋9x－10的零点有________个．
答案　1
解析　g(x)＝x3－6x2＋9x－10，
故g′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
故函数在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在[1,3]上单调递减，
则函数的极大值为g(1)＝1－6＋9－10＝－6<0，
函数的极小值为g(3)＝27－54＋27－10＝－10<0，
当x→＋∞时，f(x)→＋∞，故函数共有1个零点．
14．若函数的导数为f′(x)，且f(x)＝2f′(2)x＋x3，则f′(2)＝________.
答案　－12
解析　由题意得f′(x)＝2f′(2)＋3x2，
∴f′(2)＝2f′(2)＋12，
∴f′(2)＝－12.
15．若函数y＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调函数，则a的最大值是________．
答案　3
解析　y′＝－3x2＋a，由题意得－3x2＋a≤0在区间[1，＋∞)上恒成立，即a≤3x2在区间[1，＋∞)上恒成立，据此可得a≤3，即a的最大值是3.
16．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如表所示，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．下列关于f(x)的命题：


x
－1
0
4
5
f(x)
1
2
2
1
①函数f(x)的极大值点为0,4；
②函数f(x)在[0,2]上单调递减；
③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1 ⑤函数y＝f(x)－a的零点个数可能为0,1,2,3,4.其中正确命题的序号是________．
答案　①②⑤
解析　由f(x)的导函数y＝f′(x)的图象知，函数f(x)的极大值点为0,4，故①正确；
因为在[0,2]上f′(x)≤0，故函数f(x)在[0,2]上单调递减，故②正确；
由表和图象知0≤t≤5，所以③不正确；
由f(x)＝a知，因为极小值f(2)未知，所以函数y＝f(x)－a零点的个数可能为0,1,2,3,4，所以④不正确，⑤正确．
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝aln x＋x2－3b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－4＝0.
(1)求实数a，b的值；
(2)若曲线C：y＝－x3－4b，求曲线C过点(2,4)的切线方程．
解　(1)f′(x)＝＋2x，
因为直线2x＋y－4＝0的斜率为－2，且过点(1,2)，
所以即
解得
(2)由(1)知y＝＋，则y′＝x2.
设切点为(x0，y0)，则切线斜率k＝y′＝x，
故切线方程为y－－＝x(x－x0)．
由切线过点(2,4)，代入可解得x0＝2或x0＝－1，
∴切点为(2,4)或(－1,1)，
则切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
18．(12分)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋4，x＝1是函数f(x)的一个极值点．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[－1,2]时，求函数f(x)的最小值．
解　(1)由题意，得f′(x)＝6x2－2ax，
f′(1)＝0，则a＝3.
f(x)＝2x3－3x2＋4，f′(x)＝6x(x－1)，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
当x∈(0,1)时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(1，＋∞)．
(2)当x∈[－1,2]时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
f′(x)

＋
0
－
0
＋

f(x)
－1
↗
极大值
↘
极小值
↗
8

当x＝－1时，f(－1)＝2(－1)3－3(－1)2＋4＝－1；
当x＝1时，f(1)＝2－3＋4＝3，
所以当x∈[－1,2]时，函数f(x)的最小值为－1.
19．(12分)设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求f′(2)的值；
(2)求f(x)的单调区间和极值；
(3)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同的实根，求实数a的取值范围．
解　(1)∵f′(x)＝3x2－6，∴f′(2)＝6.
(2)f′(x)＝3(x2－2)，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝，
当x<－或x>时，f′(x)>0；
当－ ∴函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－)，(，＋∞)，单调递减区间是(－，)．
∴当x＝－时，f(x)取得极大值为f(－)＝5＋4，
当x＝时，f(x)取得极小值为f()＝5－4 .
(3)令g(x)＝f(x)－a，则g′(x)＝f′(x)，
由(2)可得g(x)的极大值为5＋4－a，
极小值为5－4－a，
∵g(x)＝0有3个不同的实根，故
解得5－4 ∴当5－4 ∴实数a的取值范围是(5－4，5＋4)．
20．(12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.
(1)若对任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；
(2)若函数f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．
解　(1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝32－≥－，
由f′(x)≥m恒成立，可得m≤－，
即m的最大值为－.
(2)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－2)(x－1)，
由f′(x)>0，得x>2或x<1；
由f′(x)<0，得1 ∴f(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，
∴f(x)极大值＝f(1)＝－a，f(x)极小值＝f(2)＝2－a.
∵f(x)恰有一个零点，∴－a<0或2－a>0，
即a<2或a>.
∴a的取值范围为(－∞，2)∪.
21．(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件．已知当每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，经物价部门核定，每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．
(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值．
解　(1)设该产品一年的销售量为Q(x)＝，
则＝500，所以k＝500e40，
则该产品一年的销售量Q(x)＝，
则该产品一年的利润L(x)＝(x－a－30)
＝500e40·(35≤x≤41)．
(2)L′(x)＝500e40·.
①若2≤a≤4，则33≤a＋31≤35，
当35≤x≤41时，L′(x)≤0，L(x)单调递减，
所以当x＝35时，L(x)取得最大值为500(5－a)e5；
②若4 令L′(x)＝0，得x＝a＋31，
易知当x＝a＋31时，L(x)取得最大值为500e9－a.
综上所述，当2≤a≤4，且每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a)e5万元；
当4 22．(12分)已知函数f(x)＝2ax－＋ln x.
(1)若f(x)在x＝1，x＝处取得极值．
①求a，b的值；
②若存在x0∈，使得不等式f(x0)－c≤0成立，求c的最小值；
(2)当b＝a时，若f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，求a的取值范围．
解　(1)①函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2a＋＋.
∵f(x)在x＝1，x＝处取得极值，
∴f′(1)＝0，f′＝0，
即解得
②若存在x0∈，使得不等式f(x0)－c≤0成立，
则只需c≥f(x)min.
∵f′(x)＝－－＋＝－
＝－，
∴当x∈时，f′(x)≤0，函数f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；
当x∈[1,2]时，f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，
∴f(x)在x＝处取得极小值，
即f ＝＋ln ＝－ln 2，
又f(2)＝－＋ln 2，
∴f(x)min＝f(2)，
∴c≥f(x)min＝－＋ln 2，
∴c∈，
故cmin＝－＋ln 2.
(2)当a＝b时，f′(x)＝.
当a＝0时，f(x)＝ln x，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，∵x>0，
∴2ax2＋x＋a>0，
∴f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a<0时，设g(x)＝2ax2＋x＋a＝2a2＋a－，
∵－>0，
故只需Δ≤0，从而得a≤－，
此时f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
综上可得，a∈∪[0，＋∞)．