综合检测试卷(一)学案

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综合检测试卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等比数列{an}中，a5，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则a3·a9等于(　　)
A．－3 B．3 C．－4 D．4
答案　B
解析　∵a5，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，∴a5，a7是方程x2－4x＋3＝0的两个根，
∴a5·a7＝3，由等比数列的性质可得a3·a9＝a5·a7＝3.
2．设函数f(x)＝ax3＋b，若f′(－1)＝3，则a的值为(　　)
A．－1 B. C．1 D.
答案　C
解析　∵f′(x)＝3ax2 ，
∴f′(－1)＝3a＝3，
∴a＝1.
3．Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设S3＝a，S6＝3a，
根据S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是一个首项为a，公差为a的等差数列，
各项分别为a,2a,3a,4a，
故＝＝.
4．函数f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是(　　)
A．1＋ B．1 C．e＋1 D．e－1
答案　D
解析　f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，得x＝0.
又f(0)＝e0－0＝1，f(1)＝e－1>1，f(－1)＝＋1>1，
且e－1－＝e－－2＝>0，
所以f(x)max＝f(1)＝e－1.
5．函数y＝的大致图象可能是(　　)

答案　D
解析　当x＝e时，y＝1，即函数过点(e,1)，排除A；
∵y＝，∴y′＝－，x>0且x≠1，
当x>1时，函数单调递减；当0 6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＋a4＝，S6＝9S3.若bn＝log2an，则数列{bn}的前10项和是(　　)
A．－35 B．－25 C．25 D．35
答案　C
解析　设等比数列{an}的公比为q.由题意知q≠1，则解得所以an＝×2n－1＝2n－3，所以bn＝n－3，所以数列{bn}的前10项和T10＝＝5×(－2＋7)＝25.
7．中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》．这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得(　　)
A．78石 B．76石 C．75石 D．74石
答案　A
解析　今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，设他们分得的米数构成等差数列{an}，只知道甲比丙多分三十六石，因此公差d＝＝＝－18，则前3项和S3＝3a1＋×(－18)＝180，解得a1＝78.所以甲应该分得78石．
8．函数f(x)在定义域R上的导函数是f′(x)，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0.设a＝f(0)，b＝f()，c＝f(log28)，则(　　)
A．c C．a 答案　A
解析　∵当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，
∴f′(x)>0，
∴f(x)在区间(－∞，1)上单调递增．
又∵f(x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．
∵a＝f(0)＝f(2)，b＝f()，c＝f(log28)＝f(3)，
∴c 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．如图是导函数y＝f′(x)的图象，下列说法正确的是(　　)

A．(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间
B．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间
C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值
D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值
答案　ABD
解析　由题图，可知当x<－1或35或－10，所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)，所以函数y＝f(x)在x＝－1，x＝5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C说法错误，A，B，D正确．
10．等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，前n项和为Sn，下列选项正确的是(　　)
A．d>0 B．a1<0
C．当n＝5时，Sn最小 D．Sn>0时，n的最小值为8
答案　ABD
解析　由题意，设等差数列{an}的公差为d，
因为a7＝3a5，可得a1＋6d＝3(a1＋4d)，解得a1＝－3d，
又由等差数列{an}是递增数列，可知d>0，则a1<0，故A，B正确；
因为Sn＝n2＋n＝n2－n
＝2－，
由n∈N＋可知，当n＝3或4时，Sn最小，故C错误；
令Sn＝n2－n>0，解得n<0或n>7，即Sn>0时，n的最小值为8，故D正确．
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则(　　)
A．a8>0
B．a9<0
C.，，…，中最大的项为
D.，，…，中最大的项为
答案　ABD
解析　由S15＝＝15a8>0，得a8>0，A正确；由S16＝＝<0，得a9＋a8<0，所以a9<0，且d<0，B正确；因为d<0，所以数列{an}为递减数列，所以a1，…，a8为正，a9，…，an为负，且S1，…，S15为正，S16，…，Sn为负，则，…，为正，，…，为负，C错误；当n≤8时，Sn单调递增，an单调递减，所以单调递增，所以，，…，中最大的项为，D正确．
12．若函数f(x)＝ex－1与g(x)＝ax的图象恰有一个公共点，则实数a的可能取值为(　　)
A．2 B．0 C．1 D．－1
答案　BCD
解析　f(x)＝ex－1与g(x)＝ax恒过(0,0)，如图，

当a≤0时，两函数图象恰有一个公共点，
当a>0时，函数f(x)＝ex－1与g(x)＝ax的图象恰有一个公共点，
则g(x)＝ax为f(x)＝ex－1的切线，且切点为(0,0)，
由f′(x)＝ex，所以a＝f′(0)＝e0＝1，
综上所述，a的可能取值为0，－1或1.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，则a＝________.
答案　3
解析　由f(x)＝－x3＋ax2－4，
可得f′(x)＝－3x2＋2ax，
因为x＝2是函数f(x)的极值点，可得f′(2)＝0，
所以－3×4＋2a×2＝0，解得a＝3.
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1,2Sn＝an＋1－1，则Sn＝________.
答案　
解析　当n＝1时，有2S1＝a2－1，
∴a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3；
当n≥2时，由2Sn＝an＋1－1得出2Sn－1＝an－1，
上述两式相减得2an＝an＋1－an，
∴an＋1＝3an，
得＝3且＝3，
∴数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，
因此，Sn＝＝.
15．在数列{an}中，已知a1＝2，anan－1＝2an－1－1(n≥2，n∈N＋)，记数列{an}的前n项之积为Tn，若Tn＝2 021，则n的值为________．
答案　2 020
解析　由anan－1＝2an－1－1(n≥2，n∈N＋)及a1＝2，得a2＝，a3＝，a4＝，…，an＝.
数列{an}的前n项之积为
Tn＝×××…×＝n＋1.
∴当Tn＝2 021时，n的值为2 020.
16．若函数f(x)＝ax3－x2＋1存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　当a＝0时，f(x)＝－x2＋1有两个零点，不符合题意；
当a≠0时，f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
①若a>0，则>0，令f′(x)>0，得x<0或x>；令f′(x)<0，得0 又f(－1)＝－a－<0，f(0)＝1，则此时f(x)在(－∞，0)上存在零点，不符合题意．
②若a<0，则<0，令f′(x)>0，得0，则f(x)在上单调递增，
在，(0，＋∞)上单调递减．
要使存在唯一的零点x0且x0>0，则满足f ＝1－>0，解得a<－，
综上，实数a的取值范围是.
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝3，anbn＋bn＝nbn＋1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前n项和．
解　(1)由已知b1＝1，b2＝3，a1b1＋b1＝b2，得a1＝2，
∴数列{an}是以2为首项，3为公差的等差数列，
∴an＝2＋3(n－1)＝3n－1(n∈N＋)．
(2)由(1)知，(3n－1)bn＋bn＝nbn＋1，
即bn＋1＝3bn，
∴数列{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列，
记{bn}的前n项和为Sn，
则Sn＝＝(n∈N＋)．
18．(12分)已知函数f(x)＝x2＋aln x.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值．
解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f′(x)＝x－＝，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
函数f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
函数f(x)单调递增，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为，无极大值．
(2)当a＝1时，易知函数f(x)在[1，e]上单调递增，
所以f(x)min＝f(1)＝，
f(x)max＝f(e)＝e2＋1.
19．(12分)在等差数列{an}中，a2＝3，a5＝9，在等比数列{bn}中，b1＝a2，b2＝a5.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.
解　(1)在等差数列{an}中，设首项为a1，公差为d.
由a2＝3，a5＝9，
得
解得
所以an＝2n－1.
又设的公比为q，
由b1＝a2＝3，b2＝a5＝9，得q＝3，
所以bn＝3n.
(2)cn＝anbn＝(2n－1)·3n，
Tn＝3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n，①
3Tn＝32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－3)×3n＋(2n－1)·3n＋1，②
由①－②得
－2Tn＝3＋2(32＋33＋34＋…＋3n)－(2n－1)·3n＋1
＝3＋2×－(2n－1)·3n＋1
＝－6＋2(1－n)·3n＋1，
所以Tn＝3＋(n－1)·3n＋1.
20．(12分)正项数列{an}的前n项和Sn满足S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N＋，都有Tn<.
(1)解　由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，
得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.
由于数列{an}是正项数列，所以Sn>0，所以Sn＝n2＋n.
则a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，
又a1＝2＝2×1满足上式．
综上，数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N＋)．
(2)证明　因为an＝2n，所以bn＝
＝＝.
Tn＝
＝<＝.
所以对于任意的n∈N＋，都有Tn＜.
21．(12分)某小型玩具厂研发生产一种新型玩具，年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入3万元，设该厂一年内共生产该新型玩具x千件并全部销售完，每千件的销售收入为F(x)万元，且满足函数关系：F(x)＝11.1－.
(1)写出年利润G(万元)关于该新型玩具年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在此新型玩具的生产中所获年利润最大？最大利润为多少？
解　(1)依题意得，G(x)＝xF(x)－(10＋3x)＝8.1x－－10(x>0)．
(2)由(1)得G′(x)＝8.1－＝，
令G′(x)＝0，得x＝9.
∴当x∈(0,9)时，G′(x)>0，G(x)单调递增；
当x∈(9，＋∞)时，G′(x)<0，G(x)单调递减．
∴当x＝9时，有G(x)max＝8.1×9－－10＝38.6.
∴当年产量为9千件时，该厂在此新型玩具的生产中获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．
22．(12分)已知函数f(x)＝3(x－1)－2xln x.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x≥1时，f(x)≤aln x恒成立，求实数a的取值范围．
解　(1)因为函数f(x)＝3(x－1)－2xln x，
所以f′(x)＝1－2ln x，
令f′(x)>0，
解得0 所以f(x)的单调递增区间为.
(2)因为当x≥1时，f(x)≤aln x恒成立，
所以当x≥1时，3(x－1)－2xln x－aln x≤0恒成立，
令g(x)＝3(x－1)－2xln x－aln x，则g(1)＝0，
且g′(x)＝，
令h(x)＝x－a－2xln x，
则h′(x)＝－1－2ln x，h(1)＝1－a，
因为当x≥1 时，h′(x)≤0恒成立，
所以h(x)在[1，＋∞)上单调递减．
当a≥1时，h(x)≤h(1)≤0，g(x)在[1，＋∞)上单调递减，
故g(x)≤g(1)＝0，符合要求；
当a∈(－e,1)时，h(1)>0，h(e)＝－e－a<0，h(x)单调递减，
故存在x0∈(1，e)使得h(x0)＝0，
则当x∈(1，x0)时，h(x)>0，g(x)单调递增，g(x)>g(1)＝0，不符合要求；
当a∈(－∞，－e]时，<0，h(x)单调递减，
故存在 x0∈使得h(x0)＝0，
则当x∈(1，x0) 时，h(x)>0，g(x)单调递增，g(x)>g(1)＝0，不符合要求．
综上a≥1.