新教材苏教版步步高学习笔记【同步学案】章末检测试卷(二)

章末检测试卷(二)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分又不必要条件

答案　B

解析　∵a＝3⇒A⊆B，而A⊆B⇏a＝3，∴“a＝3”是“A⊆B的充分不必要条件”．

2．已知命题p：∃x>0，使x2＋2x＋1＝0成立，则p的否定是(　　)

A．∃x≤0，使x2＋2x＋1＝0不成立

B．∀x≤0，使x2＋2x＋1＝0不成立

C．∀x>0，使x2＋2x＋1＝0不成立

D．∃x>0，使x2＋2x＋1＝0不成立

答案　C

解析　“∃”改为“∀”，“成立”改为“不成立”．

3．已知命题p：“某班所有的男生都爱踢足球”，则命题p的否定为(　　)

A．某班至多有一个男生爱踢足球

B．某班至少有一个男生不爱踢足球

C．某班所有的男生都不爱踢足球

D．某班所有的女生都爱踢足球

答案　B

解析　命题p：“某班所有的男生都爱踢足球”是一个全称量词命题，它的否定是一个存在量词命题，即命题p的否定为“某班至少有一个男生不爱踢足球”．

4．下列命题中，与其他命题不同的命题是(　　)

A．存在一个平行四边形是矩形

B．任何一个平行四边形是矩形

C．有些平行四边形是矩形

D．有一个平行四边形是矩形

答案　B

解析　A，C，D都是含有存在量词的存在量词命题，B是含有全称量词的全称量词命题．

5．设P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在一次函数y＝－x＋1的图象上”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　P(2，－1)满足x＋y－1＝0，故P(2，－1)在一次函数的图象上，但图象上除P点外，还有无穷多个点．

6．下列全称量词命题中真命题的个数为(　　)

①末位是0的整数可以被2整除；

②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；

③正方形中任意两条边都相等．

A．1  B．2  C．3  D．0

答案　C

解析　要判断全称量词命题“∀x∈M，p(x)”为真命题，要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立，如果在M中找到一个元素x，使p(x)不成立，那么这个全称量词命题为假命题，故①正确，②正确，③正确．

7．下列结论中正确的是(　　)

A．∀n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是真命题

B．∀n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题

C．∃n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题

D．∃n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是假命题

答案　C

解析　当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，

当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除．

所以A，B，D错误，C项正确．

8．已知命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．a<0   B．0≤a≤4

C．a≥4   D．0<a<4

答案　D

解析　∵命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，即判别式Δ＝(a－2)2－4×4×<0，即Δ＝(a－2)2<4，通过二次函数的图象知，－2<a－2<2，即0<a<4.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9．下列命题中是真命题的是(　　)

A．∀x∈R,2x2－3x＋4>0

B．∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0

C．∃x∈N，使≤x

D．∃x∈N*，使x为29的约数

答案　ACD

解析　对于A，这是全称量词命题，

由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，

所以2x2－3x＋4>0恒成立，故A为真命题；

对于B，这是全称量词命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故B为假命题；

对于C，这是存在量词命题，当x＝0时，有≤x成立，故C为真命题；

对于D，这是存在量词命题，当x＝1时，x为29的约数成立，所以D为真命题．

10．下列条件中，－2<x<2的必要不充分条件是(　　)

A．－2≤x≤2   B．－2<x<3

C．0＜x≤2   D．1<x<3

答案　AB

解析　由－2<x<2，得必要不充分条件的x的范围包含{x|－2<x<2}，故选AB.

11．下列四个命题的否定为真命题的是(　　)

A．所有四边形的内角和都是360°

B．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0

C．∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数

D．对所有实数a，都有|a|>0

答案　BD

解析　A项，该命题的否定：有的四边形的内角和不是360°，是假命题；

B项，该命题的否定：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题，这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立．

C项，该命题的否定：∀x∈{x|x是无理数}，x2不是无理数，假命题；

D项，该命题的否定：存在实数a，有|a|≤0，真命题．

12．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为(　　)

A．2  B．－  C.  D．3

答案　BC

解析　由x2＋x－6＝0，可得x＝2或x＝－3.

对于ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；

当a≠0时，x＝－.

由题意知p⇏q，q⇒p，则可得a≠0，

此时应有－＝2或－＝－3，

解得a＝－或a＝.

综上可得，a＝－或a＝.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．“∀x>0，x＋1>”的否定是______________，此否定是________命题．(第二空填“真”或“假”)

答案　∃x>0，使x＋1≤　假

解析　命题的否定：∃x>0，使x＋1≤.易知此否定为假命题．

14．给出下列命题：

①所有的合数都是偶数；

②∃x∈R，x2＋x＋1≤0；

③∃a∈∁RQ，b∈∁RQ，使得a＋b∈Q.

其中真命题为________．(填序号)

答案　③

解析　①9是合数，但它不是偶数，是假命题；

②x2＋x＋1＝2＋≥>0，是假命题；

③当a＝2－，b＝3＋时，a＋b＝5，是真命题．

15．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<m＋1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．

答案　{m|m>1}

解析　由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，

得AB，即

即m>1.

16．若存在实数m，使得命题“对任意的x∈R，都有m2<x2＋x＋1”是真命题，则m的取值范围为________．

答案　

解析　由于对任意的x∈R，都有m2<x2＋x＋1成立，

而x2＋x＋1＝2＋≥，

因此只需m2<，即－<m<.

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定．

(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；

(2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5>0.

解　(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，

因此，綈p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，

即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”．

(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，

因而是存在量词命题；

又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，

因此，綈p：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，

即“∀x∈R，x2＋2x＋5≤0”．

18．(12分)判断下列命题的真假，并写出它们的否定．

(1)∃x，y∈Z,3x－4y＝20；

(2)在实数范围内，有些一元二次方程无解；

(3)正数的绝对值是它本身．

解　(1)真命题．命题的否定：

∀x，y∈Z,3x－4y≠20.

(2)真命题．命题的否定：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．

(3)省略了量词“所有的”，该命题是全称量词命题，且为真命题．命题的否定：有的正数的绝对值不是它本身．

19．(12分)已知p：实数x满足a<x<4a(其中a>0)，q：实数x满足2<x<5.

(1)若a＝1，且p与q都为真命题，求实数x的取值范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

解　(1)当a＝1时，p：实数x满足1<x<4，

q：实数x满足2<x<5，

因为p与q都为真命题，所以

解得2<x<4，即x∈(2,4)．

(2)记A＝{x|a<x<4a，a>0}，B＝{x|2<x<5}，因为p是q的必要不充分条件，

所以BA，

所以等号不能同时取到，

解得≤a≤2，

所以实数a的取值范围是.

20．(12分)已知p：∃x∈R，使mx2－4x＋2＝0为假命题．

(1)求实数m的取值集合B；

(2)设A＝{x|3a<x<a＋2}为非空集合．若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解　(1)p等价于mx2－4x＋2＝0无实根，

当m＝0时，x＝，有实根，不符合题意；

当m≠0时，由已知得Δ＝16－4×2m<0，

∴m>2.∴B＝{m|m>2}．

(2)∵A＝{x|3a<x<a＋2}为非空集合，故a＋2>3a，∴a<1，

若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，则AB.

∴3a≥2，此时≤a＜1，

故a的取值范围为.

21．(12分)已知m∈Z，关于x的一元二次方程①mx2－4x＋4＝0和②x2－4mx＋4m2－4m－5＝0.求方程①和②的根都是整数的充要条件．

解　由方程①②都是一元二次方程，知m≠0.

方程①有实数根的充要条件是

解得m≤1，且m≠0.

方程②有实数根的充要条件是

解得m≥－，且m≠0.

所以－≤m＜0或0＜m≤1，

而m∈Z，故m＝－1或m＝1.

当m＝－1时，方程①为x2＋4x－4＝0，无整数根；

当m＝1时，方程①为x2－4x＋4＝0，

方程②为x2－4x－5＝0，均有整数根．

从而，方程①和②的根都是整数⇒m＝1；

反之，m＝1⇒方程①和②的根都是整数．故方程①和②的根都是整数的充要条件为m＝1.

22．(12分)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|2m<x<1}．

(1)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要条件，求实数m的取值范围；

(2)若B∩(∁RA)中只有一个整数，求实数m的取值范围．

解　(1)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要条件，则B⊆A，

∵A＝{x|－1≤x≤2}，

∴当B＝∅时，有2m≥1，解得m≥，

当B≠∅时，有解得－≤m<，

综上所述，实数m的取值范围是.

(2)∵A＝{x|－1≤x≤2}，

∴∁RA＝{x|x<－1，或x>2}，

①当m<时，B＝{x|2m<x<1}，

若(∁RA)∩B中只有一个整数，

则－3≤2m<－2，

得－≤m<－1；

②当m≥时，不符合题意，

综上，实数m的取值范围是.