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    第二章 再练一课(范围:§1~§7)学案
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    第二章 再练一课(范围:§1~§7)学案

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    这是一份第二章 再练一课(范围:§1~§7)学案,共6页。

    再练一课(范围§1§7)

    一、单项选择题

    1已知函数f(x)xx0处的导数为12等于(  )

    A.-4  B4  C.-36  D36

    答案 A

    解析 根据题意知,函数f(x)xx0处的导数为12

    =-=-=-4.

    2下列导数运算正确的是(  )

    A.1   B(2x)x2x1

    C(cos x)sin x   D(xln x)ln x1

    答案 D

    解析 根据导数的运算公式可得1,故A错误;(2x)2xln 2,故B错误;(cos x)=-sin x,故C错误;(xln x)ln x1,故D正确

    3已知函数yf(x)的图象在点M(1f(1))处的切线方程是yx2f(1)f(1)的值等于(  )

    A1  B.  C3  D0

    答案 C

    解析 由已知得点M(1f(1))在切线上,所以f(1)2

    切点处的导数为切线斜率,所以f(1)

    所以f(1)f(1)3.

    4a>0b>0且函数f(x)4x3ax22bx2x1处有极值ab的最大值等于(  )

    A2  B3  C6  D9

    答案 D

    解析 f(x)12x22ax2b

    f(x)x1处有极值,

    f(1)122a2b0

    ab6.a>0b>0ab2

    26ab9.

    5对二次函数f(x)ax2bxc(a为非零整数)四位同学分别给出下列结论其中有且仅有一个结论是错误的则错误的结论是(  )

    A.-1f(x)的零点

    B1f(x)的极值点

    C3f(x)的极值

    D(2,8)在曲线yf(x)

    答案 A

    解析 Aabc0;由Bf(x)2axb,2ab0;由Cf(x)2axb,令f(x)0,可得x=-,则f 3,则3

    D4a2bc8,假设A选项错误,则解得满足题意,故A结论错误,同理易知当BCD选项错误时不符合题意,故选A.

    6若函数f(x)x33x2a有且仅有一个零点则实数a的取值范围为(  )

    A(0)(4,+)   B(,-8)(0,+)

    C[0,4]   D(8,0)

    答案 A

    解析 由题意知f(x)3x26x

    f(x)>0时,3x26x>0,得x<0x>2

    f(x)<0时,3x26x<0,得0<x<2.

    f(x)(0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,

    (2,+)上单调递增,

    x0时,有极大值f(0)a,当x2时,有极小值f(2)a4

    只有当f(0)a<0f(2)a4>0时,函数f(x)有且仅有一个零点,

    a<0a>4.

    二、多项选择题

    7yf(x)yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中不正确的是(  )

    答案 ABD

    解析 对于A选项,由函数yf(x)的图象可知,f(0)0,但函数yf(x)x0处的切线斜率不存在,不符合题意;

    对于B选项,由函数yf(x)的图象可知,函数yf(x)存在单调递增区间,但B选项的图象中,函数yf(x)没有单调递增区间,不符合题意;

    对于C选项,由函数yf(x)的图象可知,函数yf(x)R上为增函数,符合题意;

    对于D选项,由函数yf(x)的图象可知,函数yf(x)有两个单调区间,但D选项的图中,函数yf(x)有三个单调区间,不符合题意

    8定义在区间上的函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示则下列结论正确的是(  )

    A函数f(x)在区间(0,4)上单调递增

    B函数f(x)在区间上单调递减

    C函数f(x)x1处取得极大值

    D函数f(x)x0处取得极小值

    答案 ABD

    解析 根据导函数图象可知,f(x)在区间上,f(x)<0f(x)单调递减,在区间(0,4)上,f(x)>0f(x)单调递增,所以f(x)x0处取得极小值,没有极大值,所以ABD选项正确,C选项错误

     

    三、填空题

    9已知曲线yx23ln x的一条切线的斜率为1则该切线的方程为________

    答案 xy20

    解析 设切点为(x0y0)

    y2x2x0=-1,解得x0=-(舍去)x01y01

    故切线方程为y1=-1×(x1),即xy20.

    10若函数f(x)ax33x2x恰好有三个单调区间则实数a的取值范围是________

    答案 (3,0)(0,+)

    解析 因为f(x)ax33x2x,所以f(x)3ax26x1

    若函数f(x)ax33x2x恰好有三个单调区间,

    f(x)有两个不同的零点,

    3ax26x10有两个不同的根,

    所以解得a>3a0.

    11x[1,2]x3x2xm恒成立则实数m的取值范围是________

    答案 (2,+)

    解析 f(x)x3x2x

    f(x)3x22x1.

    f(x)0,得x=-x1.

    又因为f f(2)2f(1)=-1f(1)=-1

    所以当x[1,2]时,f(x)max2

    所以m2.

    12已知定义在(0,+)上的函数f(x)的导函数为f(x)且满足f(x)·x<f(x)f(3)0>0的解集为________

    答案 (0,3)

    解析 g(x),因为f(x)·x<f(x)

    所以g(x)<0

    所以g(x)(0,+)上单调递减,

    f(3)0,所以g(3)0

    >0,即g(x)>0g(3)

    所以0<x<3.

    >0的解集为(0,3)

    四、解答题

    13已知函数f(x)ln x(aR)

    (1)a1求函数f(x)的单调区间

    (2)f(x)[1,+)内单调递增求实数a的取值范围

     f(x)的定义域为(0,+)

    f(x).

    (1)a1,则f(x)

    f(x)0,得x1(x=-2舍去)

    0<x<1时,f(x)<0;当x>1时,f(x)>0

    所以f(x)的单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(0,1)

    (2)由于f(x)[1,+)内单调递增,

    所以f(x)0[1,+)上恒成立,

    x2ax2a0[1,+)上恒成立.

    g(x)x2ax2a

    当-1,即a2时,g(x)[1,+)上单调递增,

    g(x)ming(1)1a

    因此1a0,所以-2a1

    当->1,即a<2时,

    g(x)ming=-2a

    因此-2a0,所以-8a<2.

    综上可得,实数a的取值范围是[8,1]

    14某公司为获得更大的收益每年要投入一定的资金用于广告促销经调查每年投入广告费t(百万元)可增加销售额约为t25t(百万元)(0t3)

    (1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内则应投入多少广告费才能使该公司获得的收益最大

    (2)现该公司准备共投入3百万元分别用于广告促销和技术改造经预测每投入技术改造费x(百万元)可增加的销售额为x3x23x(百万元)请设计一个资金分配方案使该公司由此获得的收益最大

     (1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元),则有f(t)(t25t)t=-t24t

    =-(t2)24(0t3)

    所以当t2时,f(t)取得最大值4

    即投入2百万元的广告费时,该公司获得的收益最大

    (2)设用于技术改造的资金为x(百万元)

    则用于广告促销的资金为(3x)(百万元)

    由此获得的收益是g(x)(百万元)

    g(x)=-x3x23x[(3x)25(3x)]3=-x34x3(0x3),所以g(x)=-x24.

    g(x)0,解得x=-2(舍去)x2.

    又当0x<2时,g(x)>0;当2<x3时,g(x)<0.

    g(x)[0,2)上单调递增,在(2,3]上单调递减,

    所以当x2时,g(x)取得极大值,也是最大值,即将2百万元用于技术改造,1百万元用于广告促销,可使该公司获得的收益最大

    15已知函数f(x).

    (1)求曲线yf(x)在点(0,-1)处的切线方程

    (2)证明a1f(x)e0.

    (1) f(x)f(0)2.

    因此曲线yf(x)在点(0,-1)处的切线方程是

    2xy10.

    (2)证明 a1时,f(x)e(x2x1ex1)ex.

    g(x)x2x1ex1,则g(x)2x1ex1.

    x<1时,g(x)<0g(x)单调递减;当x>1时,

    g(x)>0g(x)单调递增,所以g(x)g(1)0.

    因此f(x)e0.

     

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