章末检测试卷(一)学案

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章末检测试卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝n2＋1
答案　C
解析　令n＝1,2,3,4，代入A，B，C，D检验，即可排除A，B，D，故选C.
2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＝(a≠1，n∈N＋)”时，验证当n＝1时，等式的左边为(　　)
A．1 B．1－a
C．1＋a D．1－a2
答案　C
解析　当n＝1时等式左边为1＋a.
3．已知数列2，x，y,3为等差数列，数列2，m，n,3为等比数列，则x＋y＋mn的值为(　　)
A．16 B．11 C．－11 D．±11
答案　B
解析　根据等差和等比数列的性质知x＋y＝5，mn＝6，所以x＋y＋mn＝11.
4．设等差数列{an}的前n项和是Sn，若－am A．Sm>0，且Sm＋1<0
B．Sm<0，且Sm＋1>0
C．Sm>0，且Sm＋1>0
D．Sm<0，且Sm＋1<0
答案　A
解析　因为－am 所以a1＋am>0，a1＋am＋1<0，
所以Sm>0，且Sm＋1<0.
5．已知数列{an}的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且a1＝1，a2＝2，a3＋a4＝6，a5＋a6＝11，则a7＋a8等于(　　)
A．16 B．19 C．20 D．23
答案　C
解析　设数列{an}的奇数项依次成公差为d的等差数列，偶数项依次成公比为q的等比数列，由题意知a1＝1，a2＝2，a3＋a4＝6，a5＋a6＝11，
所以可得 解得
故a7＋a8＝1＋3d＋2q3＝1＋3＋16＝20.
6．设Sn为等比数列{an}的前n项和，a1＝1且a1a2a3＝－8，则等于(　　)
A．－11 B．－8 C．5 D．11
答案　A
解析　设等比数列{an}的公比为q，
因为a1a2a3＝－8，
所以a＝－8，a2＝－2，
又a1＝1，
所以q＝－2，＝·＝＝＝－11.
7．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n－1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，则此数列的前55项和为(　　)

A．4 072 B．2 026 C．4 096 D．2 048
答案　A
解析　由题意可知，每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为Sn＝＝2n－1，若去除所有为1的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,4，…，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则Tn＝，可得当n＝10时，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212－1，则此数列前55项的和为S12－23＝4 072.
8．若数列{an}的前n项和为Sn，bn＝，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”．已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”且通项公式为bn＝n，设数列的前n项和为Tn，若Tn A．(－1,3) B．[－1,3]
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
答案　D
解析　由题意，得数列{an}的前n项和为Sn，
由“均值数列”的定义可得＝n，
所以Sn＝n2，
当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
a1＝1也满足an＝2n－1，所以an＝2n－1，
所以＝
＝，
所以Tn＝＝<，
又Tn 所以m2－m－1≥，整理得m2－2m－3≥0，
解得m≤－1或m≥3.
即实数m的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么它的(　　)
A．首项是－2 B．首项是2
C．公差是3 D．公差是－3
答案　AC
解析　⇒⇒a1＝－2，d＝3.
10．已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则(　　)
A．a1d>0 B．a1d<0
C．dS4<0 D．dS4>0
答案　BC
解析　依题意得a＝a3a8，
所以(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，
解得a1＝－d，
所以S4＝2(a1＋a4)＝2(a1＋a1＋3d)＝－d，
所以a1d＝－d2<0，dS4＝－d2<0.
11．已知递减的等差数列的前n项和为Sn，若S7＝S11，则(　　)
A．a10>0 B．当n＝9时，Sn最大
C．S17>0 D．S19>0
答案　BC
解析　由等差数列前n项和的特点可知，当n＝9时，Sn最大，故a9>0，a10<0，S17＝17a9>0，S19＝19a10<0，故BC正确．
12．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．14
答案　ACD
解析　由题意可得
＝＝＝，
则＝＝＝＝3＋，
由于为整数，则n＋1为15的正约数，则n＋1的可能取值有3,5,15，
因此，正整数n的可能取值有2,4,14.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知等差数列{an}的前13项之和为，则tan(a6＋a7＋a8)＝________.
答案　－1
解析　∵等差数列{an}的前13项之和为＝13a7，
∴a7＝，
则tan(a6＋a7＋a8)＝tan 3a7＝tan ＝－1.
14．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫作传播指数RO.它指的是，在自然情况下(没有外力介入，同时所有人都没有免疫力)，一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是RO＝1＋确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间(单位：天)．根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数为5天，根据以上RO计算，若甲得这种传染病，则4轮传播后由甲引起的得病的总人数约为________．
答案　120
解析　由题意知，RO＝1＋40%×5＝3，所以得病总人数为3＋32＋33＋34＝120(人)．
15．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10＝________.
答案　64
解析　依题意，有anan＋1＝2n，
所以an＋1an＋2＝2n＋1，
两式相除得＝2，
所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…也成等比数列，而a1＝1，所以a2＝2，
所以a10＝2×24＝32，a11＝1×25＝32.
又an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64.
16．数列{an}满足递推式an＝3an－1＋3n－1(n≥2)，且a1＝5，则使得为等差数列的实数λ＝________.
答案　－
解析　因为－＝＝(n≥2)，
若为等差数列，则为常数．
所以－1－2λ＝0，所以λ＝－.
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.
解　(1)设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1.由已知得，
解得
所以{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N＋.
(2)由(1)知log3an＝n－1.
故Sn＝.
由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3得，
m(m－1)＋(m＋1)m＝(m＋3)(m＋2)，
即m2－5m－6＝0.
解得m＝－1(舍去)或m＝6.
18．(12分)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式．
(1)证明　由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，
即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．
又因为a1＋b1＝1，
所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列．
由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，
即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.
又因为a1－b1＝1，
所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
(2)解　由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1，
所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，
bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋.
19．(12分)已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2，且a1＝2.
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；
(2)设bn＝，判断数列{bn}的前n项和Tn与的大小关系，并说明理由．
(1)证明　由题意，可得an＋1＋1＝3(an＋1)．
又a1＋1＝3≠0，所以数列{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列．
(2)解　Tn<，理由如下：
由(1)知，an＋1＝3n，即an＝3n－1，
所以bn＝＝＝－，
所以Tn＝＋＋…＋＝－<.
20．(12分)用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N＋)．
证明　(1)当n＝1时，等式左边＝＝，等式右边＝＝.
等式左边＝等式右边，所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，
即有＋＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋
＝＝＝
＝.
所以当n＝k＋1时，等式也成立，
由(1)(2)可知，对于一切n∈N＋，等式都成立．
21．(12分)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)．
(1)求证：是等比数列，并求{an}的通项公式an；
(2)数列{bn}满足bn＝(3n－1)··an，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式(－1)nλ 解　(1)由an＋1＝，得＝＝1＋，
即＋＝3，
又＋＝，
∴是以为首项，3为公比的等比数列，
∴＋＝×3n－1＝，即an＝.
(2)由(1)知bn＝，
Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×，
＝1×＋2×＋…＋(n－1)×＋n×，
两式相减得＝＋＋＋…＋－n×＝2－，
∴Tn＝4－，∴(－1)nλ<4－.
若n为偶数，则λ<4－，∴λ<3；
若n为奇数，则－λ<4－，
∴－λ<2，∴λ>－2.
∴－2<λ<3.
22．(12分)某化工厂从今年一月起若不改善生产环境，按生产现状每月收入为75万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚7万元，以后每月增加2万元，如果从今年一月起投资600万元添加回收净化设备(改设备时间不计)，一方面可以改善环境，另一方面可以大大降低原料成本．设添加回收净化设备并投产后n个月的累计收入为g(n)，据测算，当1≤n≤5(n∈N＋)时，g(n)＝n2＋kn(k是常数)，且前4个月的累计收入为416万元，从第6个月开始，每个月的收入都与第5个月相同，同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励200万元．
(1)求添加回收净化设备后前7个月的累计收入；
(2)从第几个月起投资开始见效，即投资改造后的纯收入(累计收入连同奖励减去改造设备费)多于不改造的纯收入(累计收入减去罚款)?
解　(1)由题意知g(4)＝42＋4k＝416，得k＝100，
即g(n)＝n2＋100n(1≤n≤5)，
第5个月净收入为g(5)－g(4)＝52＋100×5－(42＋100×4)＝109(万元)，
所以g(7)＝g(5)＋109×2＝525＋218＝743(万元)．
(2)由(1)知g(n)＝
即g(n)＝
若不投资改造，则前n个月总罚款为7n＋×2＝n2＋6n，
令g(n)－600＋200>75n－(n2＋6n)，
得g(n)＋n2－69n－400>0，
当1≤n≤5时，g(n)＋n2－69n－400>0不成立，
当n>5时，109n－20＋n2－69n－400>0，
即n2＋40n－420>0，即n(n＋40)>420，
又因为n∈N＋，所以n≥9，
所以经过9个月投资开始见效．