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    《数系的扩充与复数的引入 综合》学案1(北师大版选修2-2)教案
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    《数系的扩充与复数的引入 综合》学案1(北师大版选修2-2)教案

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    《第五章 数系的扩充与复数的引入 综合》

    复数复习学案

     

    一.   知识结构

     

     

     

     

     

     

    二.   重点、难点、热点剖析

    由于复数在整个高中数学所处的地位的改变,今后高考时复数不会有太多太高的要求,试题数量稳定在一道试题,难度不会太大,复数的概念及复数的运算是复数应用的基础,是高考考查的重点,复数的运算是复数的中心内容,是高考命题的热点。而复数的乘、除更是考查的重点,主要考查基本运算能力,另外复数的有关概念众多,涉及知识面广,易与三角、几何、向量知识、不等式等结合起来考查。

    三.   技巧方法

    1   zabi(a,b),利用复数相等转化为实数问题是解决复数问题常用的方法,同时要学会以整体的角度出发去分析和求解,如果遇到复数就设zabi(a,b),有时带来不必要的运算上的困难,若能把握住复数的整体性质,充分运用整体思想求解,则能事半功倍。

    2   在简化运算中,如能合理运用i和复数的模等有关的性质,常能出奇制胜,事半功倍,所以在学习中注意积累并灵活运用。

    3   性质:是复数运算与实数运算相互转化的重要依据,也是把复数看作整体进行运算的主要依据,在解题中加以认识并逐渐领会。

    4   学习本章时,应注意联系全面学过的实数的性质,实数的运算内容,以便对复数的知识有较完整的认识。

    四、   注意点析

    1   要注意实数、虚数。纯虚数、复数之间的联系与区别,实数集和虚数集都是复数集的真子集,它们的并集是复数集,它们的交集是空集,纯虚数集是虚数集的真子集,

    2   当概念扩展到复数后,实数集R中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了,如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等。

    3   熟练掌握复数乘法、除法的运算法则,特别是除法法则,更为重要,是考试的重点。

    五、   思想方法

    1   数形结合这是本章的主要数学思想,例如复数本身的几何意义及四则运算的几何意义等。图形要画得合乎题意,充分利用图形的直观性,简捷巧妙的解题。

    2   方程的思想,主要体现在复数相等的充要条件和复数方程。

    3、转化思想,转化思想是复数的重要思想方法,既然在实数的基础上扩展到复数,自然复数中的许多问题都可以转化到实数集内解决,如求模运算,复数相等的充要条件及等,进行复数与实数间的转化。

    4、分类讨论思想:它是一种比较重要的解题策略和方法,在复数中它能够使复杂问题简单化,从而化整为零,各个击破。

    5、主要方法有:待定系数法、整体法;待定系数法是利用复数的代数形式,设复数zabi的形式代入,再利用复数相等或其它途径,转化为与ab相关的等式,求出ab即可得到复数z。在复数学习中有必要根据条件与待求结论的特点,通过研究问题的整体形式、整体结构或作某些整体处理,这样往往可以避繁就简,化难为易,顺速解决问题。

     

    六、   典例分析

        1、基本概念计算类

    1.若为纯虚数,则实数a的值为_________

    解:因为,

    为纯虚数,所以,3a80,且64a0

    2、复数方程问题

    2.证明:在复数范围内,方程i为虚数单位)无解。

    证明:原方程化简为zxyi(xy),代入上述方程得    整理得

    方程无实数解,所以原方程在复数范围内无解。

    点评:本题主要考查复数方程等知识,一般是设Z的代数形式,利用复数相等的充要条件转化为代数方程。

    3、综合类

    3.设z是虚数,是实数,且-1<<2

    1          |z|的值及z的实部的取值范围;

    2          ,求证:M为纯虚数;

    3          的最小值。

    分析:本题考查复数的概念、复数的模、复数的运算及不等式的知识,以及运算能力和推理能力。

    解:(1)设zabiab

      因为,是实数,

    所以,,即|z|1, 因为2a,-1<<2

    所以,z的实部的取值范围(-)。

    2(这里利用了(1)中)。  因为a(-),,所以M为纯虚数。

    3

    因为,a(-),所以,a1>0, 所以2×231

    a1,即a0时上式取等号,  所以,的最小值是1

    点评:本题以复数的有关概念为载体,考查学生的化归能力,考查了均值不等式的应用,综合考查学生运用所学知识解决问题的能力。正是高考的重点。

         4、创新类

    4.对于任意两个复数)定义运算“⊙”

    ,设非零复数在复平面内对应的点分别为,O为坐标原点,若0,则在中,的大小为_________.

    分析:本题立意新颖,解题入口宽,是一道不可多得的好题。

    解法一:(解析法)设,故得点,且0,即

    从而有  ,也即

    解法二:(用复数的模)同法一的假设,知

    2)=2×0

    由勾股定理的逆定理知

    解法三:(用向量数量积的知识)同法一的假设,知,则有

      

     

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