高三理科数学第一轮复习讲义第81课时第十四章复数教案

课题：复数

教学目标：了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义；掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算；了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想

（一） 主要知识及主要方法：

虚数单位:

它的平方等于，即　; 

实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.

与－1的关系: 就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是.

的周期性：, ,  ,  .

复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示

复数的代数形式: 复数通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式.

复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数

复数集与其它数集之间的关系：

两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果，，，，那么,

复平面、实轴、虚轴：复数与有序实数

对是一一对应关系.建立一一对应的关系.点的横坐标是，

纵坐标是，复数可用点表示，这个

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，

轴叫做实轴，轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为， 它所确定的复数是表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

复数复平面内的点

这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.

复数与的和的定义：

复数与的差的定义：

复数的加法运算满足交换律:

复数的加法运算满足结合律:

乘法运算规则：

设，(、、、)是任意两个复数，那么它们的积

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

乘法运算律：

(1)

复数除法定义：满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：或者

除法运算规则：

①设复数 (、)，除以 (，)，其商为（、)，

即∵

∴

由复数相等定义可知解这个方程组，得

于是有:

②利用于是将的分母有理化得：

原式

.

∴(

点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为是有理数，而是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法.

共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数.

（二）典例分析：

（全国Ⅰ）设是实数，且是实数，则

（全国Ⅱ）设复数满足，则

（北京）           

（福建）复数等于

（安徽）若为实数，，则等于

(天津)是虚数单位，

（四川）复数的值是

（江西）化简的结果是

（湖南）复数等于

（湖北）复数，且，若是实数，则有序实数对可以是             （写出一个有序实数对即可）

(上海，)对于非零实数、，以下四个命题都成立：

    ① ；                    ② ； 

    ③ 若，则；        ④ 若，则．

那么，对于非零复数、，仍然成立的命题的所有序号是        

（重庆）复数的虚部为             

（浙江）已知复数，，则复数          

（上海）若复数同时满足－＝，＝（为虚数单位），则＝      

（浙江）已知，其中、是实数，是虚数单位，则

（湖北）设、为实数，且，则            

（福建）设则复数为实数的充要条件是（  ）

（江西）已知复数满足，则＝

（全国Ⅰ）如果复数是实数，则实数

（四川）复数的虚部为

             .                       

（重庆）复数的值是